2023-2024学年福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）高二下学期7月期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年闽侯县闽江口协作校（七校）高二下学期7月期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，则的外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7.设为实数，则关于的不等式的解集不可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限
C. D.
10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各个，从中不放回的依次取出个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则( )
A. B. 与相互独立
C. 与相互独立 D.
11.如图，在正方体中，是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的取值范围是
D. 二面角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据，，，，，，，，，的第百分位数为 ．
13.已知函数，则的单调递减区间为 ．
14.已知，，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别为边，，所对的角，且满足．
求的大小
若，，求的面积
16.本小题分
某校为了调动学生学习诗词的热情，举办了诗词测试，随机抽取了名学生的测试成绩，根据测试成绩所得分数均在，将所得数据按照，，分成组，得到频率分布直方图如图所示．
求的值，并求出测试成绩在内的学生人数；
试估计本次测试成绩的平均分；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
从测试成绩在和内
学生用分层抽样的方法抽出人，再从这人中随机抽取两人分享背诵诗词的方法求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的值域．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，，的外接圆的圆心在线段上，平面，为上一点，且．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“区间”性质：对任意，均有；性质：对任意，均有．
分别判断说明区间是否为下列两函数的“区间”；
；
．
若是函数的“区间”，求的取值范围．
参考答案
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15.
因为，且在中，，
所以，由正弦定理得，
所以，，
故，，所以．
在中，由余弦定理得，解得负根舍去，
所以．

16.
由题意得，
解得，
所以测试成绩在内学生的人数为；
由频率分布直方图可知，本次测试成绩的平均分为
；
抽取的成绩在内的人数为，记为，
抽取的成绩在内的人数为，记为，
则从人中随机抽取人的情况有：，共种，
其中恰有一人的成绩在内的有，共种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为．

17.
因为
，
令，
解得，
所以的单调递增区间为；
因为，则，
所以，
所以，所以函数在区间上的值域为．

18.
因为平面，平面，所以，，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
因为的外接圆的圆心在线段上，所以，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面；
因为，
又，
所以．

19.
对于，由一次函数性质得它在上单调递减，
所以当时，，故区间是的“区间”，
对于，由反比例函数性质得它在上单调递减，
所以当时，，此时不满足，
也不满足，故区间不是的“区间”，
若是函数的“区间”，
而，不满足性质，必然满足性质，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
当时，上单调递增，
且，
即，所以，
满足，符合题意，
当时，在上单调递减，
所以，而，符合题意，
当时，在上单调递减，
，所以，不符合题意，
综上可得的取值范围为．

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