2023-2024学年四川省攀枝花市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含答案）

2023-2024学年四川省攀枝花市高一下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某中学高一、高二、高三年级的学生分别为人、人、人，为了解不同年级学生身体素质情况，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了人，则其他年级应该抽取的学生人数为( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C. 圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面
D. 四边形可确定一个平面
3.已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.复数( )
A. B. C. D.
5.已知随机事件，，中，与相互独立，与对立，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则．
C. 若，，，则 D. 若，，，则
7.将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.年月日，位于攀枝花市三线文化广场的三线建设英雄纪念碑正式落成，与攀枝花中国三线建设博物馆交相呼应，充分展示三线建设的丰功伟绩，传承弘扬“三线精神”，凝聚赓续奋斗的力量源泉、某校研究性学习小组想要测量该纪念碑的高度，现选取与碑底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高约为 结果保留整数，参考数据：，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数及其共轭复数，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 一定是纯虚数
10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是( )
A. B. C. 与相互独立 D. 与互斥
11.下列有关平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知，均为非零向量，若，则
B. 若且，则
C. 在中，若，则点为边上靠近的三等分点
D. 在平面四边形中，若，则四边形为矩形
12.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点，点为线段上的一个动点，下列说法正确的是( )
A. 平面与底面的交线平行于
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成的角为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一组数据，，，，的平均数为，则此组数据的极差为 ．
14.已知平面向量与的夹角为，且，，则 ．
15.甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 ．
16.正四面体外接球的体积为，则其内切球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知点，，．
若，，三点共线，求；
若，求．
18.本小题分
袋中有个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？
从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
19.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均不低于分分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第百分位数；
现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是和，落在的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是和，据此估计这份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差．
20.本小题分
如图，平面，，平面．

求证：；
若，，，求三棱锥的体积．
21.本小题分
在，，这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
的内角，，所对的边分别为，，，已知___________只需填序号．
求角；
设是上一点，且，，求面积的最大值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
22.本小题分
如图，在正方形中，点、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使，两点重合于，连接，．
求证：；
点是上一点，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
参考答案
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16. 或
17.解：
点，，，则，，
由，，三点共线，得，则，解得，即，
所以．
由知，，，
由，得，解得，，
所以．

18.解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件，，，
由于，，为互斥事件，
根据已知得
解得
从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是；
由知黑球、黄球、绿球个数分别为，，，
得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有种情况，两个绿球共种情况，
而从个球中取出个球的情况共有种，
所以两个球同色的概率为：，
则得到的两个球颜色不相同的概率是：．

19.解：
由频率分布直方图各小矩形的面积之和为，
得，所以；
成绩落在内的 频率为，
落在内的频率为，
则第百分位数，，解得，
所以第百分位数为．
依题意，抽取份答卷中，落在内的有份，落在内的有份，
落在的“典型答卷”的平均成绩，
落在的“典型答卷”的方差，
所以估计这份答卷中落在的所有答卷的成绩的方差为．

20.解：
由，平面，平面，得平面，
而平面，平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以．
由，平面，平面，得平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，
由知平面平面，则平面，即点到平面的距离为，
由已知得平面，平面，得，的面积，
三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积为．

21.解：
若选，则，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，即；
若选，则，
因为，所以，
因为，所以，
而，
所以，即；
若选，则，
因为，所以，
所以，
因为，
所以；
综上所述，无论选择，还是，都有；
由题意，
所以，即，
所以，即，等号成立当且仅当，
从而面积，等号成立当且仅当，
综上所述，面积的最大值为．

22.解：
证明：在正方形中，连接，则，
因为点、分别是、的中点，所以，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
解：由平面，所以为直线与平面所成角，
所以，
令，则，
所以，
设，连接，
由知平面，因为平面，所以，
因为，所以为二面角的平面角，
因为为的中点，，所以为等腰三角形，
所以，
因为，所以，
所以，
，，
在中，由余弦定理得
，
所以二面角的余弦值为．

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