解题技巧专题：切线证明的常用方法 同步练习 （含答案）2024—2025学年人教版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
解题技巧专题：切线证明的常用方法
——把握本质，体会异同
类型一 有切点，连半径，证垂直
一、利用角度转换证垂直
1.如图,四边形 ABCD内接于⊙O,AB 为⊙O 的直径,过点 C 作CE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E,延长 EC,AB 交于点 F,∠ECD=∠BCF.求证:CE 为⊙O的切线.
二、利用勾股定理的逆定理证垂直
2.如图,C 是⊙O 上一点,点 P 在直径AB 的延长线上,⊙O的半径为3,PB=2,PC=4.求证:PC 是⊙O 的切线.
三、利用全等证垂直
3.如图,四边形 ABCD 为矩形,E 为BC 边的中点,连接AE,以 AD 为直径的⊙O交AE 于点F,连接CF.求证:CF 与⊙O 相切.
方法总结：切线判定的方法①：已知直线与圆有公共点时，需连接该公共点与圆心得半径，证明该半径垂直于这条直线，即“连半径，证垂直”.
类型二 无切点，作垂直，证半径
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,O 为 BC 的中点,AC 与半圆O 相切于点 D.求证:AB 是半圆O所在圆的切线.
方法总结：切线判定的方法②：当题目中没有指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于圆半径，简称“作垂直，证半径”.
解题技巧专题：切线证明的常用方法
1.证明:连接OC,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠OBC +∠ADC=180°.又∵∠ADC+∠CDE =180°,
∴∠CDE=∠OBC.∵CE⊥AD,∴∠E=90°.
∴∠CDE+∠ECD=90°.∵∠ECD=∠BCF,
∴∠OCB+∠BCF=90°.∴∠OCF =90°,即
OC⊥EF.∵OC 是⊙O的半径,∴CE 为⊙O 的切线.
2.证明:连接OC.∵⊙O 的半径为3,PB=2,∴OC=OB=3.∴OP=OB+PB=5.∵PC=4, 是直角三角形，∠OCP=90°.∴OC⊥PC.∵C 是⊙O上一点,∴PC是⊙O的切线.
3.思路分析：
证明:连接OF,OC.∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°.∵E 为BC边的中点， BC.∴AO=EC.又AO∥EC,∴四边形 OAEC是平行四边形.∴AE∥OC.∴∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA.∵OA =OF,∴∠OAF =∠OFA.∴∠DOC= ∠FOC. ∵在 △ODC 和△OFC 中,△OFC(SAS).∴∠OFC=∠ODC=90°.∴OF⊥CF.∴CF 与⊙O 相切.
4.证明:如图,过点 O 作 OE⊥AB 于 点 E,连 接 OD,OA.∵AB=AC,点 O 是 BC 的中点,∴AO平分∠BAC.∵AC 与半圆 O 相切于点D,∴OD⊥AC.∵OE⊥AB,∴OE=OD.∴点O到直线AB 的距离等于半圆O 的半径.∴AB 是半圆O 所在圆的切线.