24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习（含答案）2024—2025学年人教版数学九年级上册

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24.1.2 垂直于弦的直径
A层
知识点一 垂径定理及其推论
1.如图,在半径为5 的⊙O 中,弦AB=6,OP⊥AB 于点 P,则OP 的长为 ( )
A.3 B.2.5 C.4 D.3.5
【变式题】垂径定理：求圆心到弦的距离→求半径或弦
(1)如图,在⊙O 中,弦 AB=6,C 是 AB 的中点,且OC=2,则⊙O的半径长为 .
(2)如图,在⊙O 中,∠OAB=45°,圆心 O 到弦AB 的距离OE=2cm,则弦 AB 的长为 cm.
2.如图,已知 AB 是半圆O 的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则 CD 与AB 之间的距离是 .
3.已知 AB、CD 为⊙O 的两条弦,圆心 O 到它们的距离分别为OM、ON.若 AB>CD,则OM ON(填“>”“=”或“<”).
4.半径为12cm的圆中,垂直平分半径的弦长为 cm.
5.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点E,CD=10,BE=2,求⊙O 的半径OC 的长.
知识点二 垂径定理的应用
6.往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示.若水面宽度AB=24cm，则水的最大深度为( )
A.5cm B.8cm C.10cm D.12cm
7.将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，测量了台阶高a 为16 cm，直角顶点到轮胎与地面接触点之间的距离 AB 为 32cm，请计算轮胎的直径为 ( )
A.35 cm B.70cm C.80cm D.40cm
8.如图是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以O为圆心，AB 为直径的圆.隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点 A 到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点 B 到路面的距离为4.0m.请求出路面 CD 的宽度(精确到0.1m).
B层
9.如图,⊙P 与y 轴交于点M(0,--4),N(0,-10),圆心 P 的横坐标为--4,则⊙P 的半径为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
10.点 P 是⊙O 内一点,过点 P 的最长弦的长为 10 cm，最短弦的长为6cm,则OP 的长为 ( )
A.3cm B.4 cm C.5cm D.6 cm
11.已知AB 是⊙O 的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接 OA.若 △AOM 中有 一 个 角 是 30°, 则弦 AB 的长为 .
12.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为 60米，拱高 PM 为18米，当水面上升到跨度只有30米时，就要采取紧急措施.如果拱顶离水面只有4米，即 PN=4米时，是否需要采取紧急措施
13.如图,在半径为5的⊙O中，AB、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P,且AB=CD=8,求OP 的长.
C层
14.如图,在半径为5 的扇形OAB 中,∠AOB=90°,点 C 是弧AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当 BC=6时,求线段OD 的长;
(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边 如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由.
24.1.2 垂直于弦的直径
1. C 【变式题】】(1) (2)4
2.3 3.< 4.12
5.解:∵弦CD⊥AB 于点E,CD=10,∴CE= CD=5,∠OEC=90°.设OB=OC=x,则OE=x-2.在 Rt△OCE 中,由勾股定理得 即 解得 即
6. B 7. C
8.解:连接OC.由题意知AB=1.6+6.4+4=12(m).∴OC=OB=6m,OE=OB--BE=6-4=2(m).由题意可知AB⊥CD.∵AB 过点O,∴CD=2CE.在 Rt△OCE 中,由勾股定理得 路面 CD 的宽.度约为11.3m.
9. C10. B 11.12 或4
12.解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O,连接 OA,OA'.设半径为 x 米,则 米.由垂径定理可知AM=BM,A'N= B'N.∵AB = 60 米,∴AM=30米,且 OM=OP--PM=(x--18)米.在Rt△AOM中，由勾股定理可得 AM ,即 解得 x =34.∵PN=4米,∴ON=OP--PN=34--4=30(米).在Rt△A'ON 中,由勾股定理可得 (米), 米>30 米.∴不需要采取紧急措施.
13.解:如图,作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,连接OB,OD.由垂径定理、勾股定理得OM= 同理可得 ON=3.∵弦 AB、CD 互相垂直,∴∠DPB=90°.∵OM⊥ AB, ON⊥ CD, ∴∠OMP=∠ONP=90°.∴ 四边 形 MONP 是 矩 形.∵OM=ON,∴四边形 MONP 是正方形.
14.解:((1)∵OD⊥BC,BC=6,∴BD= BC=3.∵∠BDO=90°,OB=5,BD=3,∴OD =
(2)存在，DE 的长度保持不变.理由如下：连接AB,∵∠AOB=90°,OA=OB =5,∴AB = ∴D 和E 分别是线段 BC 和 AC 的中点.
DE的长度保持不变.