24.2.2 直线和圆的位置关系第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆 同步练习（含答案）

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24.2.2 直线和圆的位置关系
第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆
A层
知识点一 切线长定理
1.如图,P 为⊙O 外一点,PA,PB 分别切⊙O于A,B.若∠P=60°,PA=3,则AB=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图,PA、PB 为⊙O的切线,切点分别为A、B,PO 交AB 于点C,PO 的延长线交⊙O 于点D.下列结论不一定成立的是 ( )
A.△BPA 为等腰三角形
B. AB 与 PD 相互垂直平分
C.点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上
D. PC 为△BPA 的边AB 上的中线
3.如图,AB,AC,BD 是⊙O的切线,P,C,D 为切点.若AB=8,AC=5,则 BD 的长为 .
【变式题】如图,⊙O 为四边形 ABCD 的内切圆,AD=3,AB=4,CD=5,则BC= .
4.如图,AC 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点A,PB 切⊙O 于 B,且∠APB=60°.
(1)求∠BAC 的度数;
(2)若 PA=1,求点 O 到弦AB 的距离.
知识点二 三角形的内切圆
5.边长为2 的等边△ABC 的内切圆的半径为( )
A.1 B C.2
6.如图,I 是△ABC 的内心,∠BIC=120°,则∠A 的度数为 .
7.如图,P 是△ABC的内心,连接 PA、PB、PC,△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S 、S 、S ,则. (填“<”或“=”或“>”).
8.如图,⊙I 是△ABC 的内切圆,切点分别是D、E、F.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,则∠DFE 的度数为 ;
(2)若∠DFE=50°,求∠A 的度数.
B层
9.如图,PA、PB、CD 分别切⊙O 于 A、B、E,CD 交PA、PB 于C、D 两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE 的度数为 ( )
A.50°
B.62°
C.66°
D.70°
10.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何 ”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步 ”该问题的答案是 步.
【变式题】直角三角形→非直角三角形已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为 .
11.如图,AB 是⊙O的直径,AD 和BC 分别切⊙O 于A,B 两点,CD 与⊙O 有公共点E,且AD=DE.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若 AB=12,BC=4,求 AD 的长.
12.如图,已知 PA、PB 分别切⊙O 于 A、B,E 为劣弧AB 上一点,过 E 点的切线交 PA 于 C,交PB 于 D.
(1)若 PA=6,求△PCD 的周长;
(2)若∠P=50°,求∠DOC 的度数.
C层
13.如图,△ABC 内接于以 AB 为直径的⊙O中,且点 E 是△ABC 的内心,AE 的延长线与BC 交于点F,与⊙O 交于点 D,⊙O的切线PD 交 AB 的延长线于点 P.
(1)试判断△BDE 的形状，并说明理由；
(2)若∠APD=30°,BE=2,求 AE 的长.
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆1. B 2. B 3.3 【变式题】6
4.解:(1)∵PA 切⊙O 于点 A,PB 切⊙O于点B,∴PA=PB,∠PAC=90°.∵∠APB=60°,∴△APB 是等边 三 角 形.∴∠BAP = 60°.
(2)作OD⊥AB 于 D,则 由(1)得△APB 是等边三角形,∴AB=PA=1.∴AD= .∵∠BAC = 30°, ∴ AO = 2OD. 即点O到弦AB 的距离为
5. A 6.60° 7.<
8.解:(1)60° 解析:如图,连接ID、IE.∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠A=60°.∵⊙I 是△ABC 的内切圆,切点分别是 D、E、F,∴∠IDA=∠IEA = 90°.∴∠DIE = 180°--∠A = 120°.
(2) 如 图, 连 接 ID、IE.∵ ∠DFE = 50°,∴∠DIE=100°.∵AB、AC 分别与⊙I 相切于点 D、E,∴∠ADI=∠AEI = 90°.∴∠A=180°-∠DIE=80°.
9. D
10.6
【变式题】 解析:如图,AB=7,BC=5,AC=8,内切圆的半径为r,切点为G、E、F,作AD⊥BC于 D,设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理可知 即72— 解得x=1,∴BD=1.
方法归纳：
11.(1)证明:连接OD,OE.∵AD 切⊙O于 A 点,AB 是⊙O 的直径,∴∠DAB=90°.∵AD=DE,OA=OE,OD=OD,∴△ADO≌△EDO(SSS).∴∠OED=∠OAD=90°.∴CD是⊙O的切线.
(2)解:过 C 作 CH⊥AD 于 H.∵AB 是⊙O的直径,AD 和 BC 分别切⊙O 于A,B 两点,∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°.∴四边形ABCH 是矩形.∴CH=AB=12,AH=BC=4.∵CD是⊙O的切线,∴AD=DE,CE=BC.∴DH=AD-BC=AD-4,CD=AD+4. (AD+4) .∴AD=9.
12.解:(1)∵PA、PB 与⊙O相切,∴PA=PB=6.同理可得 AC=CE,BD=DE.∴△PCD 的周长为 PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12.
(2)如图,连接OE.∵PA,PB 与 ⊙O 相 切,∴∠OAP= ∠OBP = 90°.∵∠P=50°,∴∠AOB = 在 Rt△AOC 和Rt△EOC 中, Rt△EOC(HL).∴∠AOC=∠COE.同理可得
13.解:(1)△BDE 为等腰直角三角形，理由如下:如图,∵点 E 是
△ABC的内心,∴BE 平分∠ABC,AF 平分∠BAC.∴∠1=∠2,∠3=∠6.∵∠4=∠6,∴∠2+∠3=∠1+∠4.∵∠5=∠2+∠3,∴∠5=∠1+∠4,即∠5=∠DBE.∴DB=DE.∵AB 为直径,∴∠ADB =90°.∴△BDE 为等腰直角三角形.
(2)连接OD,∵△BDE为等腰直角三角形, 的切线 PD 交 AB 的延 长 线 于 点 P,∴OD⊥PD.∴∠ODP=90°.∵∠APD= 在 Rt△ABD中, 则AD= ,∴AE=