2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年湖南省益阳市安化县高二下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数等于( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数过定点，则抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列中，若，则( )
A. B.
C. D.
6.已知，那么的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.关于函数，下列结论中错误的是( )
A. 定义域为 B. 在上单调递增
C. 当时， D. 当时，
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列前项和为，，则下列结论成立的有( )
A. 数列为等差数列
B. 数列的前项和为
C. 若，则
D. 若，则的最小值为
10.湖南张家界是级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为和，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为设“第一天去玻璃栈道”；“第二天去玻璃栈道”；“第一天去凤凰古城”；“第二天去凤凰古城”，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数下列说法正确的是( )
A. 的单调减区间是
B. 是函数的一个极值点
C. 只有一个零点
D. 对任意的恒成立时，取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则实数 ．
13.若一个三位数的各位数字之和为，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”．
14.若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，．
求角；
为边的中点，，求面积的最大值．
16.本小题分
树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取人，女生中随机抽取人，进行成绩统计分析，其中成绩在分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表：
男生成绩：
分数段
频数
女生成绩：
分数段
频数
根据上述数据完成下列列联表：
优秀 非优秀 合计
男生
女生
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？
参考公式：，，
以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取人参加全市中学生跳绳比赛设人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知函数，．
，求的单调区间；
若方程有两个解，求的取值范围；
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为．
求椭圆的方程；
直线与椭圆相交于，两点，且，求证：为坐标原点的面积为定值．
19.本小题分
立德中学高中数学创新小组开展一项数学实验给出两块相同的边长都为的正三角形薄铁片如图、图，其中图，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形阴影部分每个四边形中有且只有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱底面是正三角形的直棱柱形容器．
试求图剪拼的正三棱锥体积的大小；
设正三棱柱底面边长为，将正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域，并求其最值．
如果给出的是一块任意三角形的纸片如图，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请仿照图设计剪拼方案，用虚线标示在图中，并作简要说明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：
根据题意，，
则，由于，则，
则，所以；
因为为边的中点，所以，
则，
即，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为．

16.解：
依题意可得列联表：
优秀 非优秀 合计
男生
女生
合计
零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立，
由列联表可得，
依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关，
该结论犯错误的概率不超过．
高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为，
则，所以的可能取值为、、、，
则，
，，
所以的分布列为：
所以．

17.解：
由题意，函数定义域为，
，，
当时，恒成立，即在单调递增；
当时，令，则；令，则；
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时， 的 单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
方程有两个解，即有两个解，
令，则，
令，则，在单调递增；
令，则，在单调递减；
所以函数的最大值为，
如图所示，所以的取值范围为．


18.解：
根据题意，．
在椭圆上下顶点，面积的最大值．
此时．
所以，则求椭圆的方程．
如图所示，设，
联立直线与椭圆的方程得，
．
，，
又
，
因为点到直线的距离，且，
所以．
综上，的面积为定值．

19.解：
解：正三棱锥底面是边长为的正三角形，其面积为．
如图所示：在正三棱锥中，

高，
解：结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得：
三棱柱的高，其底面积，
则三棱柱容器的容积，
即所求函数关系式为，
，
令，即，
解得：，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
在时，正三棱柱形容器的容积有最大值为：
解：如图，

分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．
以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，
可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，
再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．

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