2023-2024学年甘肃省陇南市第一中学高二下学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年甘肃省陇南市第一中学高二下学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-02 21:07:11 | ||
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文档简介
2023-2024学年甘肃省陇南市第一中学高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则所有的取值构成的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知，若为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩高于分的人数占总人数的，数学考试成绩在分到分含分和分之间的人数为，则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A. B. C. D.
5.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
6.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活小张对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去底面不铺，若购买油毡纸一平方米需要元，则买油毡纸至少要花费的费用约为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
7.已知椭圆的长轴的顶点分别为、，点为椭圆的一个焦点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，设函数若存在，使得，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列命题正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数之和为 B. 第项的二项式系数最大
C. 常数项为 D. 有理项的个数为
10.已知等差数列的公差，其前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列 B. 若，则有最大值
C. ，，成等差数列 D. 若，，则
11.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B. 函数是奇函数 C. D. 的一个周期为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从这个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为的概率是 ．
13.已知等比数列各项均为 正数，前项和为，若，则 ．
14.已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，且．
求的外接圆的半径
若，且，求边上的高．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
求双曲线的标准方程；
过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，在第一象限两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
19.本小题分
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得分，未命中得分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得分，并继续射击；若本次未命中，则得分，并终止射击．
设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变是，求；
甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，所以，
设外接圆的半径为，
由正弦定理得，得，
所以的外接圆半径为
由可知，，解得，
由余弦定理，得，
即，解得，
设边上的高为，
则，
所以．
16.解：证明：由于是等边三角形，为的中点，
所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，且，
所以平面；
取的中点，连接，则由是的中点，知是三角形的中位线，故，
因为平面，所以平面，
而，平面，故，，
故三线两两相互垂直，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由，，，，
，知，，，
所以， ，
设平面的法向量为，则
，即
令，则，，故 ，
显然平面的一个法向量为 ，
而，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.
由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为；
当时，等价于，
令，
恒成立，则恒成立，，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，符合题意．
综上所述，，所以的取值范围为．
18.解：
依题意左、右顶点分别为，，
所以，解得，
将代入得，解得，
故双曲线方程为；
设，，直线的方程为，
将代入整理得，，
，，又由，
代入上式得，解得，，
因为的重心在轴上，所以，
所以，代入双曲线得，
故或．
19.解：设 ，故 ，
所以 ，
故 ；
由知 ，
设乙同学的总得分为随机变量 的所有可能取值为 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
故 ，
即 ，代入 ，
故 ，
设 ，
易知，当 时， ，且 ，
则满足题意的 最小为．
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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则所有的取值构成的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知，若为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分分，统计结果显示数学成绩高于分的人数占总人数的，数学考试成绩在分到分含分和分之间的人数为，则可以估计参加本次联考的总人数约为( )
A. B. C. D.
5.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
6.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活小张对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去底面不铺，若购买油毡纸一平方米需要元，则买油毡纸至少要花费的费用约为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
7.已知椭圆的长轴的顶点分别为、，点为椭圆的一个焦点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，设函数若存在，使得，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列命题正确的是( )
A. 偶数项的二项式系数之和为 B. 第项的二项式系数最大
C. 常数项为 D. 有理项的个数为
10.已知等差数列的公差，其前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 是等差数列 B. 若，则有最大值
C. ，，成等差数列 D. 若，，则
11.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B. 函数是奇函数 C. D. 的一个周期为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从这个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为的概率是 ．
13.已知等比数列各项均为 正数，前项和为，若，则 ．
14.已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，且．
求的外接圆的半径
若，且，求边上的高．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
求双曲线的标准方程；
过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，在第一象限两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
19.本小题分
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得分，未命中得分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得分，并继续射击；若本次未命中，则得分，并终止射击．
设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变是，求；
甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，所以，
设外接圆的半径为，
由正弦定理得，得，
所以的外接圆半径为
由可知，，解得，
由余弦定理，得，
即，解得，
设边上的高为，
则，
所以．
16.解：证明：由于是等边三角形，为的中点，
所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，且，
所以平面；
取的中点，连接，则由是的中点，知是三角形的中位线，故，
因为平面，所以平面，
而，平面，故，，
故三线两两相互垂直，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由，，，，
，知，，，
所以， ，
设平面的法向量为，则
，即
令，则，，故 ，
显然平面的一个法向量为 ，
而，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.
由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为；
当时，等价于，
令，
恒成立，则恒成立，，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，符合题意．
综上所述，，所以的取值范围为．
18.解：
依题意左、右顶点分别为，，
所以，解得，
将代入得，解得，
故双曲线方程为；
设，，直线的方程为，
将代入整理得，，
，，又由，
代入上式得，解得，，
因为的重心在轴上，所以，
所以，代入双曲线得，
故或．
19.解：设 ，故 ，
所以 ，
故 ；
由知 ，
设乙同学的总得分为随机变量 的所有可能取值为 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
故 ，
即 ，代入 ，
故 ，
设 ，
易知，当 时， ，且 ，
则满足题意的 最小为．
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