浙教版八上数学期末总复习学案第二章：特殊三角形
等腰三角形的基本概念：
例1.已知等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形的底角为( )
A. B. C. D.
变式训练1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为时，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. D.
变式训练2.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．12 B．15 C．12或15 D．1821世纪教育网版权所有
例2.如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )
A．40° B．35° C．25° D．20°
变式训练1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )21教育网
A．18° B．24° C．30° D．36°21·cn·jy·com
变式训练2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，
则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
直角三角形的基本概念：
例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
变式训练1.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．cm C．cm D．cm
变式训练2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
变式训练3.如图， 矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________
特殊三角形的拓展应用：
例4.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.
变式训练：如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.21cnjy.com
求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD
变式训练：如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.www.21-cn-jy.com
(1)求证：BF＝2AE;
(2)若CD＝，求AD的长．
例6.如图，已知△ABC中，∠B=90 o，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
变式训练：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．
（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．
浙教版八上数学期末总复习学案第二章：特殊三角形答案
等腰三角形的基本概念：
例1.已知等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形的底角为( )
A. B. C. D.
解析：这一类问题的关键是没有明确说明这个外角是顶角的外角还是底角的外角，因此两种情况均符合题设，当这个的外角是底角的外角时，底角是；当这个的外角是顶角的外角时，底角是；故本题选择C。【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为时，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. D.
解析：本题由于没有明确说明这个等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，两种情况均符合题设，于是本题选择D。21·世纪*教育网
变式训练2.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．12 B．15 C．12或15 D．1821世纪教育网版权所有
解析：本题很容易发现，3不能作为腰，只能充当底边，6为腰，于是周长为6+6+3=15
故本题选择B
例2.如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )
A．40° B．35° C．25° D．20°
变式训练1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )21cnjy.com
A．18° B．24° C．30° D．36°www-2-1-cnjy-com
故本题选择A
变式训练2.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，
则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
解析：AB=AC，D为BC中点
∴AD 平分∠BAC，AD⊥BC
∴∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°∴∠C=∠ADC ?∠DAC=55° 故本题选择C
直角三角形的基本概念：
例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为（ ）21教育网
A. B. C. D.
解析：在△ADC中，∠C=90°，AC=2，
所以CD=,
因为∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD,
所以∠B=∠BAD,所以BD=AD=,所以BC=+1，故本题选择D.
变式训练1.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．cm C．cm D．cm
解：如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器
底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，www.21-cn-jy.com
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
故本题选择：A．
变式训练2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
解析：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，∴CD=2BD=2，
由勾股定理得：BC=
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=，
∴AC=2BC=2，故本题选择A．
变式训练3.如图， 矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________
解析：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°,BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中
∴△ODP≌△OEG, ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP
设AP=EP=x，则PD=GE=6－x，DG=x，
∴CG=8－x，BG=8－（6－x）=2+x
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2
即：62+（8－x）2=（x+2）2, 解得：x=4.8 ∴AP=4.8.
特殊三角形的拓展应用：
例4.如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.
解析：（1）作图如下：
（2）∵△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=37°，∴∠BAC=53°.
∵AD=BD，∴，∠B=∠BAD=37°
∴∠CAD=∠BAC∠BAD=16°.
变式训练：如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
解析：作图如下图：
（1）证明：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：设BE=x，
∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=x，
∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，
∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.2-1-c-n-j-y
求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD
变式训练：如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF. 21*cnjy*com
(1)求证：BF＝2AE;
(2)若CD＝，求AD的长．
解析：(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°.∴AD＝BD.
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠CBE.
又∵∠CDA＝∠BDF＝90°，
∴△ADC≌△BDF(ASA)．∴AC＝BF.
∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝EC，即AC＝2AE，
∴BF＝2AE.
(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF＝CD＝.
∴在Rt△CDF中，CF＝.
∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF＝FC＝2.
∴AD＝AF＋DF＝2＋.
例6.如图，已知△ABC中，∠B=90 o，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
解析： (1)BQ=2×2=4 cm BP=AB-AP=16-2×1=14 cm PQ=
(2) BQ=2t BP=16-t ， 2t =16-t 解得：
(3) ①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°
∴∠A=∠ABQ， ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=10， ∴BC+CQ=22
∴t=22÷2=11秒。
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=24
∴t=24÷2=12秒。
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，
则BE==，
所以CE=，
故CQ=2CE=14.4,
所以BC+CQ=26.4，
∴t=26.4÷2=13.2秒。
由上可知，当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形。
变式训练：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．
（1）若AC=BC，∠B：∠C=2：1，写出图中的所有等腰三角形，并给予证明．
（2）若AB+BD=AC，求∠B：∠C的比值．
解析：（1）等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC， 证明：∵AC=BC∴△ABC是等腰三角形 ∴∠B=∠BAC ∵∠B：∠C=2：1? ∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B=∠BAC=72°，∠C=36° ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=36° ∵∠B=∠ADB=72°， ∴△ABD和△ADC是等腰三角形 （2）方法1：在AC上截取AE=AB，连接DE又∠BAD=∠DAE，AD=AD ∴△ABD≌△ADE， ∴∠AED=∠B，BD=DE ∵AB+BD=AC，∴BD=EC，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C ∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C即∠B：∠C=2：1 21·cn·jy·com
浙教版八上数学期末总复习学案第二章：特殊三角形复习作业
选择题：
1.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为( )
A. 68° B．32° C. 22° D．16°www.21-cn-jy.com
2.已知一个三角形三个内角度数的比是，则其最大内角的度数（ ）
A． B． C． D．
3.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4
4.在平面直角坐标系中，点A，B，动点C在轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为( )2·1·c·n·j·y
A.2 B.3 C.4 D.5 【来源：21·世纪·教育·网】
5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，B=70°，则C的度数为（ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°21·世纪*教育网
6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
7.如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）
A. 8cm B.cm C.5.5cm D.1cm 21*cnjy*com
8.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=( )cm【来源：21cnj*y.co*m】
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
9.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是( )21·cn·jy·com
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③【出处：21教育名师】
10.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
二．填空题：
11.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，则边AC的长为________
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是________21世纪教育网版权所有
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________21cnjy.com
14.在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是______________
15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=3，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的C’点，折痕为BE，则C'E的长是____________
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________
17.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为
18.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC=
19.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为
20.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于
三．解答题：
21.如图(1)，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．(1)求证：BE＝CE；
(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图(2)，∠BAC＝45°，原题设其他条件不变．求证：△AEF≌△BCF.21教育网
22.某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
[操作发现]
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图(1)，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论：①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB.其中正确的是____________(填序号即可)．【版权所有：21教育】
[数学思考]
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图(2)，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．21教育名师原创作品
[类比探索]
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图(3)，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．2-1-c-n-j-y
答：____________________.
（1） （2） （3）
如图， △ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=12，求BC长．
（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接
BE，CD，请你完成图形（尺规作图，保留作图痕迹），并猜想BE与CD的关系：___________；
你是通过证明_______________ 得到的。
如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，
CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，
∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
浙教版八上数学期末总复习学案第二章：特殊三角形复习作业答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
B
A
A
A
B
B
C
填空题：
12. 2 13. 2 14. 15.
解答题：
21.证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE.
在△ABE和△ACE中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)．
∴BE＝CE.
(2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF.
由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF.
在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，
∴△AEF≌△BCF.
22.①MD＝ME.
如图，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MF＝AC.
又∵EG是等腰直角三角形AEC斜边上的中线，
∴EG⊥AC，且EG＝AC. ∴MF＝EG.
同理可证DF＝MG.
∵MF∥AC， ∴∠MFA＋∠BAC＝180°.
同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°.
∴∠MFA＝∠MGA.
又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°.
同理可得∠DFA＝90°.
∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＋∠EGA，
即∠DFM＝∠MGE.又MF＝EG，DF＝MG，
∴△DFM≌△MGE(SAS)．∴MD＝ME.
②MD⊥ME.
如图，设MD与AB交于点H，
∵AB∥MG，∴∠DHA＝∠DMG.
又∵∠DHA＝∠FDM＋∠DFH，
即∠DHA＝∠FDM＋90°.
∵∠DMG＝∠DME＋∠GME，∴∠DME＝90°.
即MD⊥ME.
[类比探究]等腰直角三角形
23.解：（1）∵DE垂直平分AC ， ∴CE=AE。 ∴ ∠ECD=∠A=36°； （2）∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠ECD =36°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ECD=72°-36°=36°， ∴∠BEC=72°=∠B， ∴BC=EC=5。21世纪教育网版权所有
24.解：（1）完成图形，如图所示：BE=CD △ACD≌△AEB
（2）BE=CD
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
∵在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
则AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100米，
连接CD，则由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，
