九年级数学上点拨与训练：21.1.2一元二次方程有关概念的应用（含解析）

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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第二课时 一元二次方程有关概念的应用
学习目标：
1.会利用一元二次方程的定义确定字母的值；
2.会利用一元二次方程的项的定义求字母的值；
3.会利用一元二次方程的根的定义求字母或代数式的值；
4.会利用根的定义求方程的根。
二、老师告诉你
一元二次方程及其相关概念的定义的应用，主要体现在利用一元二次方程或项的定义求字母的值；利用根的定义求字母或代数式的值；利用根的定义求方程的根等。
三、课堂导练
应用1 利用一元二次方程的定义确定字母取值
【新知导学】
例1-1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________.
【对应导练】
1．已知关于x的方程.
（1）当m取何值时，此方程是一元二次方程？并求出此时方程的解.
（2）当m取何值时，此方程是一元一次方程？
2．已知关于的方程.
（1）当取何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当取何值时，该方程是一元一次方程？
应用2 利用一元二次方程项的定义求字母的值
【新知导学】
例2-1．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．
例2-2．若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a-2）2+|b-3|+=0，试写出这个一元二次方程．
【对应导练】
1．求关于x的一元二次方程m2-3mx+m（2x2-1）=（m+1）x的二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项．
2．若关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+m2-4=0的常数项为0，求m的值．
应用3 利用一元二次方程的定义及一般形式解新定义问题
【新知导学】
例3-1 .将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
例3-2 .阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　﹣x2﹣4x﹣3＝0　．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【对应导练】
阅读与理解
已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，回答问题：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　；
（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．
①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．
2 .已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．
我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．
例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，则Q（x）＝　 　；
（2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝2x的解；
（3）已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，Q（x）为P（x）的导出多项式，若关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．
应用4 利用一元二次方程的根的定义求字母或代数式的值
【新知导学】
例4-1．关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（　　）
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. -1
例4-2．已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【对应导练】
1．已知一元二次方程x2-2x-1=0的一个根为a,则3a2-6a-1=_____
2．已知t2-3t+1=0，则t+=_____．
3．先化简，再求值： ，其中m是方程 的根．
应用5 利用一元二次方程某项系数求方程的根
【新知导学】
例5-1 .若关于x的一元二次方程的常数项为0,求（1）a的值；（2）方程的解
例5-2．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值.
【对应导练】
1．已知、、均是有理数,试判断关于的方程是不是一元二次方程.若是,请指出二次项系数、一次项系数及常数项;若不是,请说明理由.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．若0是一元二次方程（m-1）x2+6x+m2-1=0的一个根，则m取值为（　　）
A. 1 B. -1
C. ±1 D. 以上都不是
2．方程（m-2）-mx+5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 2或-3
3．一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一个根是0，则a的值是（　　）
A. 2 B. 1 C. 2或-2 D. -2
4．关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
5．若x=1是方程（m+3）x2-mx+m2-12=0的根，则m的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 2
6．关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0，则m的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0
7．若x=1是方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0的一个根，则k值满足（　　）
A. k=±1 B. k=1 C. k=-1 D. k≠±1
8．若m是方程x2-x-1=0的一个根，则m2-m+2020的值为（　　）
A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0，则a=_____．
10．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b=ab-a2．根据这个法则，下列结论中错误的是 _____．（只填写序号）
①-3；
②若a+b=0，则a*b=b*a；
③（x-3）*（x+2）=0是一元二次方程；
④方程（x+2）*2=3有一个解是x=-3．
11．若关于的方程是一元二次方程，则________．
12．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＞0）的对称轴是直线x=1，图象与x轴交于点（-1，0）．下列四个结论：
①方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3；
②3a+c=0；
③对于任意实数t,总有at2+bt≥a+b；
④不等式ax2+（b-k）x+c-k≥0（k为常数）的解集为x＜-1或x＞3+．
其中正确的结论是_____（填写序号）．
13．已知a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，则a2-4a+2025的值是 _____．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（6分）已知x=0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一个根，求直线y=mx-2经过哪些象限．
15．（7分）若（a+1）x|2a-1|=5是关于x的一元二次方程，则a是多少，且该一元二次方程的解为多少？
16．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
17．（6分）先化简，再求值：1-，其中a是方程a2+2a=0的一个根．
18．（7分）关于x的一元二次方程mx2-（m-4）x-m2=0的一个根是1，求m及另一个根．
19．（7分）已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，且a≠b,求的值．
20 .（8分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+2015）的值．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
第二课时 一元二次方程有关概念的应用
学习目标：
1.会利用一元二次方程的定义确定字母的值；
2.会利用一元二次方程的项的定义求字母的值；
3.会利用一元二次方程的根的定义求字母或代数式的值；
4.会利用根的定义求方程的根。
二、老师告诉你
一元二次方程及其相关概念的定义的应用，主要体现在利用一元二次方程或项的定义求字母的值；利用根的定义求字母或代数式的值；利用根的定义求方程的根等。
三、课堂导练
应用1 利用一元二次方程的定义确定字母取值
【新知导学】
例1-1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______________.
答案：
解析：方程是关于x的一元二次方程，
，
解得，
故答案为：.
例1-2．已知是关于x的一元二次方程，则___________.
答案：-1
解析：方程是关于x的一元二次方程，
，，
解得：.
故答案为： 1.
【对应导练】
1．已知关于x的方程.
（1）当m取何值时，此方程是一元二次方程？并求出此时方程的解.
（2）当m取何值时，此方程是一元一次方程？
答案：解：（1）当时，关于x的方程是一元二次方程，
方程的解为，.
（2）当或0时，关于x的方程是一元一次方程.
解析：
2．已知关于的方程.
（1）当取何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当取何值时，该方程是一元一次方程？
答案：（1）是一元二次方程，
则，解得.
当时，方程是一元二次方程.
（2）是一元一次方程，
①，解得；
②，解得.
当或时，方程是一元一次方程.
应用2 利用一元二次方程项的定义求字母的值
【新知导学】
例2-1．关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值．
【解析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：由题意，得
m2+3m+2=0，且m+1≠0，
解得m=-2，
m的值是-2．
例2-2．若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a-2）2+|b-3|+=0，试写出这个一元二次方程．
【解析】根据非负数的和等于零，可得每个非负数同时为零，可得a、b、c的值，根据二次项系数、一次项系数、常数项，可得答案．
解：由（a-2）2+|b-3|+=0，得
，
解得，
关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，得4x2+3x-7=0．
【对应导练】
1．求关于x的一元二次方程m2-3mx+m（2x2-1）=（m+1）x的二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项．
【解析】把右边的项移到左边，去括号，合并同类项，得到关于x的一元二次方程的一般形式，确定二次项系数，一次项及一次项系数，常数项．
解：m2-3mx+2mx2-m-（m+1）x=0
2mx2+（-3m-m-1）x+m2-m=0
2mx2+（-4m-1）x+m2-m=0
故二次项是2mx2，
二次项系数是：2m；
一次项是：（-4m-1）x,
一次项系数是：-4m-1，
常数项是：m2-m.
2．若关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+m2-4=0的常数项为0，求m的值．
【解析】根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+m2-4=0的常数项为0，
∴m-2≠0，m2-4=0，
解得：m=-2．
应用3 利用一元二次方程的定义及一般形式解新定义问题
【新知导学】
例3-1 .将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
【分析】根据二阶行列式计算方法列出方程．
【解答】解：根据题意，得：（x+1） 2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，
它符合一元二次方程的定义．
【点评】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题的关键．
例3-2 .阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 　﹣x2﹣4x﹣3＝0　．
（2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
【分析】（1）根据对称方程的定义可得答案；
（2）由题意得m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，再解即可．
【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0，
故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0；
（2）由﹣5x2﹣x＝1，
移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，
∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，
∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，
答：（m+n）2的值是1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义．
【对应导练】
阅读与理解
已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，回答问题：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　；
（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．
①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．
【分析】（1）利用题目已知的规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x），即可解答；
（2）①根据题目已知的规定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）导出的多项式Q（x），进行计算即可；
②根据题目已知的规定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2导出的多项式Q（x），再根据关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，进行计算即可．
【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 x+（﹣2）＝2x﹣2，
故答案为：2x﹣2，
（2）①∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 2x+8＝4x+8，
∵Q（x）＝0，
∴4x+8＝0，
∴x＝﹣2，
∴关于x的方程Q（x）＝0的解为：x＝﹣2；
②∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 （a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，
∵Q（x）＝﹣x，
∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，
∴（2a﹣3）x＝6，
∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，
∴2a﹣3≠0，
∴x＝，
∴2a﹣3的值为：±1，±2，±3，±6，
∴a的值为：2，1，，，0，3，，，
∴正整数a的值为：2，1，3，
又∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴正整数a的值为：1，3，
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解，根据题目的已知理解P（x），Q（x）是解题的关键．
2 .已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．
我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．
例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，则Q（x）＝　 　；
（2）若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝2x的解；
（3）已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，Q（x）为P（x）的导出多项式，若关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．
【分析】（1）利用题目已知的规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x），即可解答；
（2）根据题目已知的规定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）导出的多项式Q（x），进行计算即可；
（3）根据题目已知的规定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2导出的多项式Q（x），再根据关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，进行计算即可．
【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 x+（﹣2）＝2x﹣2，
故答案为：2x﹣2；
（2）∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 2x+8＝4x+8，
∵Q（x）＝2x，
∴4x+8＝2x，
∴x＝﹣4，
∴关于x的方程Q（x）＝2x的解为：x＝﹣4；
（3）∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 （a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，
∵Q（x）＝﹣x，
∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，
∴（2a﹣3）x＝6，
∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，
∴2a﹣3≠0，
∴x＝，
∴2a﹣3的值为：±1，±2，±3，±6，
∴a的值为：2，1，，，0，3，，，
∴正整数a的值为：2，1，3，
又∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴正整数a的值为：1，3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解，根据题目的已知理解P（x），Q（x）是解题的关键．
应用4 利用一元二次方程的根的定义求字母或代数式的值
【新知导学】
例4-1．关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（　　）
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. -1
【答案】C
【解析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
解：∵x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2-2p+1=0，解此方程得到p=1．故本题选C．
例4-2．已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+4＝0，变形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0，
∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，
∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7
＝a﹣4++7
＝+3
＝+3
＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
【对应导练】
1．已知一元二次方程x2-2x-1=0的一个根为a,则3a2-6a-1=_____
【答案】2
【解析】利用一元二次方程的解的定义得到a2-2a=1，再变形得到3a2-6a-1=3（a2-2a）-1，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵一元二次方程x2-2x-1=0的一个根为a,
∴a2-2a-1=0，即a2-2a=1，
∴3a2-6a-1=3（a2-2a）-1=3×1-1=2．
故答案为2．
2．已知t2-3t+1=0，则t+=_____．
【答案】3
【解析】根据方程的解的定义得到t≠0，根据等式的性质计算，得到答案．
解：∵t2-3t+1=0，
∴t≠0，
等式两边同时除以t,得t-3+=0，
解得：t+=3，
故答案为：3．
3．先化简，再求值： ，其中m是方程 的根．
【答案】，
【解析】先应用分式的混合运算将式子化简为；再由是方程的根可得：，即，最后将“”整体代入中可求得原式的值.
解：原式
.
∵是方程的根，
∴，即，
∴原式==.
应用5 利用一元二次方程某项系数求方程的根
【新知导学】
例5-1 .若关于x的一元二次方程的常数项为0,求（1）a的值；（2）方程的解
答案：（1）（2）x=0,或x=-3
解析:（1）一元二次方程程的常数项为0,
,
,
解得,
a=2时，原方程为x2+3x=0 即 x(x+3)=0
解得x=0,x=-3
例5-2．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值.
答案：解：解方程，得.
①若是两个方程相同的实数根.
将代入方程，得，
，此时原方程为，
解得，符合题意，
；
②若是两个方程相同的实数根.
将代入方程，得，
，此时原方程为，
解得，符合题意。
.
综上所述：的值为1或.
【对应导练】
1．已知、、均是有理数,试判断关于的方程是不是一元二次方程.若是,请指出二次项系数、一次项系数及常数项;若不是,请说明理由.
答案：是.原方程整理得,∵是有理数,∴,∴原方程是一元二次方程.其中二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
2．已知关于的一元二次方程.
1.若,求证:必是该方程的一个根.
2.当,,之间的关系是__________时,方程必有一根是
答案：（1）.必是方程的一个根.
（2）.
解析：（1）.∵∴
当时,
∴必是方程的一个根.
（2）.当时,
∴当时,方程的一个根是
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．若0是一元二次方程（m-1）x2+6x+m2-1=0的一个根，则m取值为（　　）
A. 1 B. -1
C. ±1 D. 以上都不是
【答案】B
【解析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．
解：把x=0代入（m-1）x2+6x+m2-1=0中得：
m2-1=0，
解得：m=1或m=-1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1，
故选：B．
2．方程（m-2）-mx+5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A. -3 B. 2 C. 3 D. 2或-3
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义得出m-2≠0且m2+m-4=2，求出m即可．
解：∵方程（m-2）-mx+5=0是关于x的一元二次方程，
∴m-2≠0且m2+m-4=2，
解得：m=-3，
故选：A．
3．一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一个根是0，则a的值是（　　）
A. 2 B. 1 C. 2或-2 D. -2
【答案】D
【解析】把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，解得a1=2，a2=-2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
解：把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，解得a1=2，a2=-2，
因为方程为一元二次方程，
所以a-2≠0，
所以a=-2．
故选：D．
4．关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
【答案】D
【解析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
解：（m-3）x2+m2x=9x+5，
（m-3）x2+（m2-9）x-5=0，
由题意得：m-3≠0，m2-9=0，
解得：m=-3，
故选：D．
5．若x=1是方程（m+3）x2-mx+m2-12=0的根，则m的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 2
【答案】C
【解析】根据方程的解的定义把x=1代入方程（m+3）x2-mx+m2-12=0得到关于m的方程，然后解此一次方程即可．
解：把x=1代入方程（m+3）x2-mx+m2-12=0，得（m+3）-m+m2-12=0，
解得m=±3，
故选：C．
6．关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0，则m的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 0
【答案】B
【解析】根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可求出m的值．
解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2-2m=0的常数项为0，
∴，
解得：m=2，
∴m的值为2．
故选：B．
7．若x=1是方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0的一个根，则k值满足（　　）
A. k=±1 B. k=1 C. k=-1 D. k≠±1
【答案】C
【解析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x=1代入原方程即可解得k的值．
解：把x=1代入方程（k-1）x2+（k2-1）x-k+1=0，
可得k-1+k2-1-k+1=0，
即k2=1，
解得k=-1或1；
但当k=1时k-1和k2-1均等于0，故应舍去；
所以，取k=-1；
故选：C．
8．若m是方程x2-x-1=0的一个根，则m2-m+2020的值为（　　）
A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根的定义，把x=m代入方程得：m2-m=1，
把m2-m=1代入m2-m+2020得，m2-m+2020=1+2020=2021
故选C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0，则a=_____．
【答案】-1
【解析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a=±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
解：把x=0代入（a-1）x2-2x+a2-1=0得a2-1=0，解得a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故答案为-1．
10．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b=ab-a2．根据这个法则，下列结论中错误的是 _____．（只填写序号）
①-3；
②若a+b=0，则a*b=b*a；
③（x-3）*（x+2）=0是一元二次方程；
④方程（x+2）*2=3有一个解是x=-3．
【答案】①③④
【解析】根据运算法则为a*b=ab-a2，一一判断即可．
解：①，故①符合题意；
②若a+b=0，则b=-a,∴a*b=a*（-a）=a×（-a）-a2=-2a2，b*a=（-a）*a=（-a）×a-（-a）2=-2a2，
∴a*b=b*a,故②不符合题意；
③（x-3）*（x+2）=（x-3）（x+2）-（x-3）2=x2-x-6-x2+6x-9=5x-15=0，是一元一次方程，故③符合题意；
④方程（x+2）*2=3，即2（x+2）-（x+2）2=3，
整理得x2+2x+3=0，由于a=1，b=2，c=3，
∴Δ=b2-4ac=22-12=-8＜0，
方程无实数解，故④符合题意；
综上，①③④符合题意；
故答案为：①③④．
11．若关于的方程是一元二次方程，则________．
【答案】
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行分析即可．
解：由关于x的方程是一元二次方程，得
|k|+1=2且k-1≠0．
解得k=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
12．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＞0）的对称轴是直线x=1，图象与x轴交于点（-1，0）．下列四个结论：
①方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3；
②3a+c=0；
③对于任意实数t,总有at2+bt≥a+b；
④不等式ax2+（b-k）x+c-k≥0（k为常数）的解集为x＜-1或x＞3+．
其中正确的结论是_____（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】由抛物线与x轴的交点关于对称轴对称可以判断①；根据x=-1时y=0和对称轴等于1即可判断②；由抛物线开口向上，抛物线在顶点处去的最小值a+b+c,再由抛物线的性质对于任意t都有at2+bt+c≥a+b+c恒成立，即可判断③；设y=ax2+（b-k）x+c-k,由②得c=-3a,b=-2a,即y=ax2-（2a+k）x-3a-k,再由当x=-1时，y=0，对称轴，可求出y=ax2-（2a+k）x-3a-k与x轴的另一交点，然后分情况讨论即可判断④．
解：∵抛钱与x轴交于点（-1，0），且抛物线的对称轴：x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的解即为抛物线与x轴交点的横坐标：x1=-1，x2=3，
故①正确；
将（-1，0）代入抛物线得：a-b+c=0，
又∵抛物线的对称轴x=-=1，即：2a+b=0，
∴3a+c=0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴x=1，且a＞0，抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为a+b+c,
∴对任意t,at2+bt+c≥a+b+c,
即at2+bt≥a+b,
故③正确；
由②可知：c=-3a,b=-2a,
∴y=ax2+（b-k）x+c-k=ax2-（2a+k）x-3a-k,
对称轴x=-=1+，
当x=-1时，y=0，
设y=ax2-（2a+k）x-3a-k与x轴另一交点横坐标为t,
则=1+，
得：t=3+，
当3+＜-1，即k＜-4a时，
ax2-（2a+k）x-3a-k≥0的解集为：x≤3+或x≥-1，
当k≥-4a时，ax2-（2a+k）x-3a-k≥0的解集为：x≥3+或x≤-1，
故④错误．
故答案为：①②③．
13．已知a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，则a2-4a+2025的值是 _____．
【答案】2023
【解析】先利用一元二次方程根的定义得到a2-4a=-2，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
解：∵a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，
∴a2-4a+2=0，
∴a2-4a=-2，
∴a2-4a+2025=-2+2025=2023．
故答案为：2023．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（6分）已知x=0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一个根，求直线y=mx-2经过哪些象限．
【解析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．从而确定直线y=mx所经过的象限．
解：∵x=0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一个根，
∴4m2-4=0，
解得：m=±1，
根据题意，得m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1＜0．
∴直线y=mx-2经过的象限是第二、三、四象限．
15．（8分）若（a+1）x|2a-1|=5是关于x的一元二次方程，则a是多少，且该一元二次方程的解为多少？
【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意得：|2a-1|=2且a+1≠0，
解得：a=或a=-．
当a=时，该方程是x2=5，此时x=±．
当a=-时，该方程是x2=5，此时x=±．
综上所述，a的值是或-；该方程的解为x=±或x=±．
16．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解析】（1）把x=1代入方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0得ca+c-2b+a-c=0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a=b=c,代入方程，即可得出x2-x=0，再解方程即可．
解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x=1代入方程（a+c）x2-2bx+（a-c）=0得：a+c-2b+a-c=0，
∴2a=2b,
∴a=b,
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c,
∵（a+c）x2-2bx+（a-c）=0，
∴（a+a）x2-2ax+a-a=0，
即x2-x=0，
解得：x1=0，x2=1，
即这个一元二次方程的根是x1=0，x2=1．
17．（8分）先化简，再求值：1-，其中a是方程a2+2a=0的一个根．
【解析】先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=-，接着利用因式分解法解方程，然后利用分式有意义的条件得到a的值，最后把a的值代入计算即可．
解：原式=1-
=1-
=
=-，
解方程a2+2a=0得a1=0，a2=-2，
∵a+2≠0，
∴a=0，
当a=0时，原式=-=1．
18．（9分）关于x的一元二次方程mx2-（m-4）x-m2=0的一个根是1，求m及另一个根．
【解析】首先将方程的根代入方程得到有关m的方程，从而求得m的值，然后得到方程，求解即可得到方程的另一根．
解：∵关于x的一元二次方程mx2-（m-4）x-m2=0的一个根是1，
∴m-（m-4）-m2=0，
解得：m=±2，
∴方程变为x2-3x+2=0或x2+x-2=0，
解得：x=1，x=2或x=1，x=-2，
∴方程的另一根为±2，
∴m的值为±2，另一根为±2．
19．（9分）已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，且a≠b,求的值．
【解析】方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式．
解：由x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，
得：a+b=40，又a≠b,
得：．
故的值是20．
20 .（8分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+2015）的值．
【答案】4032
【详解】试题分析：由于m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，所以m2﹣m﹣2=0，所以m2﹣m=2，m2﹣2=﹣m，然后代入原式即可求出答案．
试题解析：由题意可知：m2﹣m﹣2=0，
∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，
∴m﹣=1，
∴原式=2×（1+2015）=4032
【点评】掌握一元二次方程的解的定义是解题关键。
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