模型构建专题：旋转中的常见模型（含答案） 2024—2025学年人教版数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 模型构建专题：旋转中的常见模型（含答案） 2024—2025学年人教版数学九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 567.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-03 05:45:56 | ||
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文档简介
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模型构建专题：旋转中的常见模型
◆类型一 “手拉手”模型
模型与结论:如图①,△ACN≌△MCB,∠NFB=60°(△ACM 与△BCN 都是等边三角形).
如 图 ②,△DAC ≌△BAE, BE ⊥CD(△ADB 与△ACE 都是等腰直角三角形).
如图③,△DOA≌△FOC,AD⊥CF(四边形ABCO 与四边形EFOD 都是正方形).
1.将正方形 ABCD 和正方形BEFG 如图①所示放置，已 知 将 正 方 形BEFG 绕点B 顺时针旋转一定的角度α(0°<α≤360°)到图②所示,连接AE,CG.
(1)写出线段 AE 与 CG 的关系: ;
(2)当旋转至某一个角度时，点 C，E，G 在同一条直线上，求出此时AE 的长.
2.【问题背景】如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,AD=AE,连接 DC,BE,点 P 为 DC 的中点.
(1)【观察猜想】观察图①,猜想线段 AP 与 BE的数量关系是 ，位置关系是 ;
(2)【拓展探究】把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图②的位置，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请证明；否则写出新的结论并说明理由；
(3)【问题解决】把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若DE=4,BC=8,请直接写出线段 AP 长的取值范围.
类型二 “半角”模型
模型说明:如图,正方形 ABCD 中,∠EAF=45°,△ADF 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 90°, 得 到△ABG,可得△AEF≌△AEG,EF=DF+BE.
模型说明:如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠DAE=45°,将△ABD 绕点 A 逆 时 针 旋 转 90°,得到△ACG,可得
3.如图①,在△ABC 中,BA=BC,D,E 是AC边上的两点，且满足 以点B 为旋转中心，将△CBE 按逆时针方向旋转得到△ABF,连接DF.
(1)求证:DE=DF;
(2)如图②,若AB⊥BC,其他条件不变.求证:
4.如图,在△ABC 中,∠CAB =∠B = 30°,∠MCN=60°,∠MCN 的两边交 AB 边于E、F 两点,△BCF 绕点C 顺时针旋转 120°后得到△ACK.
(1)若 求证：
(2)在(1)的条件下,若 直接写出EF 的长.
◆类型三 构造旋转模型
5.(1)如图①,在等边三角形 ABC 内有一点 P,且 ,将△BPC 绕点 B逆时针旋转60°,得到△BP'A,并连接PP',由旋转的性质可得△BPP'为等边三角形，△PP'A为直角三角形,∠BPC=∠BP'A=150°.求等边三角形ABC 的边长;
(2)如图②,在正方形 ABCD 内有一点P,且 类比第一小题的方法求∠BPC 的度数和正方形ABCD的面积.
模型构建专题：旋转中的常见模型
1.解:(1)AE=CG,AE⊥CG
(2)设EG 的中点为 H,连接 BH,则由 BE=6易得BH=EH=HG=3 当 E 在线段 CG.上时,如图③所示.由(1)可知 AE =CG.在Rt△CBH中,.BC=5 ,BH=EH =3 , 当点 E在 CG 的延长线上时，如图④所示.同理，CH= 综上所述， 或 .
2.解:
(2)结论成立.证明如下:如图②,延长 AP 到 J,使得PJ=PA,连接 JC.延长PA交BE于O.∵PA=PJ,∠APD=∠CPJ,PD=PC,∴△APD ≌△JPC(SAS).∴AD=CJ,∠ADP = ∠JCP.∴AD∥CJ.∴∠DAC+∠ACJ=180°.∵∠BAC=∠EAD=90°,∴∠EAB+∠DAC=180°.∴∠EAB=∠ACJ. 又∵AB = AC, AE = AD= CJ,∴△EAB≌△JCA(SAS).∴BE=AJ,∠CAJ ∵∠CAJ+∠BAO=90°,∴∠ABE+∠BAO=90°.∴∠AOB=90°.∴PA⊥BE.
解析:∵△AED,△ABC都是等腰直角三角形,DE=4,BC=8,∴AD= 由(2)可知 CJ =
3.证明: 由△CBE 旋转而成,∴BE =BF,∠ABF =∠CBE.∴∠DBF =∠DBE.在△DBE 与△DBF 中 △DBF(SAS).∴DE=DF.
(2)∵将△CBE 按逆时针方向旋转得到△ABF,∴BA = BC.又 ∵∠ABC = 90°, ∴∠BAC=∠BCE=45°.由旋转得 AF = CE,∠FAB =∠BCE=45°.∴∠DAF = 90°.在Rt△ADF 中, 同(1)可得
4.(1)证明:如图,连接 KE,作KH⊥AC 于 H.∵∠CAB =∠B=30°,∴∠ACB=120°.又∵∠MCN = 60°, ∴ ∠ACE + ∠BCF = 60°.
∵△BCF绕点 C 顺时针 旋转 120°后得到△ACK,∴BF=AK,∠KCA=∠FCB,CK=CF,∠KAC=∠B=30°.∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB +∠ACE = 60°.∴∠KCE =∠FCE. 在 △CKE 和 △CFE 中,
EF, 为直角三角形，∠AEK = 90°. ∴ ∠KEC = ∠FEC = 45°. ∴∠KCA=45°.设 KH=a,在 Rt△KHC 中, 在 Rt△KHA 中,AK=2a,∴AK : 即BF= CF.
(2)解: 解析:∵KH=a,∠KCH=45°,∠KHC=90°,∴HC=a.在Rt△KHA中,由勾股定理易得AH= a,∴AC=AH+ 解得a=1.∴AK=2a=2.在 Rt △AEK 中,∠KAE = ∠KAC +∠CAE=60°,∴∠AKE=30°.∴AE= AK=
5.解:(1)如图①,过点 B 作BM⊥AP',交 AP'的延长线于点 M,∴∠MP'B = 30°.∴ BM = 由 勾 股 定 理 得P'M= 由勾股定理得
(2)如图②,将△CPB 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△AEB,连接 EP.与(1)类似,可得 AE = ∠EBP=∠ABC=90°.∴∠BEP=45°.由勾股定理得 EP=2.∵AE=1,AP= ,EP=2, .过点 B 作BF⊥AE,交 AE 的延长线于点 F,∴∠FEB= .由勾股定理易得FE=BF=1.∴AF=2.∴在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 正方形ABCD 的面积为5.
模型构建专题：旋转中的常见模型
◆类型一 “手拉手”模型
模型与结论:如图①,△ACN≌△MCB,∠NFB=60°(△ACM 与△BCN 都是等边三角形).
如 图 ②,△DAC ≌△BAE, BE ⊥CD(△ADB 与△ACE 都是等腰直角三角形).
如图③,△DOA≌△FOC,AD⊥CF(四边形ABCO 与四边形EFOD 都是正方形).
1.将正方形 ABCD 和正方形BEFG 如图①所示放置，已 知 将 正 方 形BEFG 绕点B 顺时针旋转一定的角度α(0°<α≤360°)到图②所示,连接AE,CG.
(1)写出线段 AE 与 CG 的关系: ;
(2)当旋转至某一个角度时，点 C，E，G 在同一条直线上，求出此时AE 的长.
2.【问题背景】如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,AD=AE,连接 DC,BE,点 P 为 DC 的中点.
(1)【观察猜想】观察图①,猜想线段 AP 与 BE的数量关系是 ，位置关系是 ;
(2)【拓展探究】把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图②的位置，(1)中的结论是否仍然成立 若成立，请证明；否则写出新的结论并说明理由；
(3)【问题解决】把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若DE=4,BC=8,请直接写出线段 AP 长的取值范围.
类型二 “半角”模型
模型说明:如图,正方形 ABCD 中,∠EAF=45°,△ADF 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 90°, 得 到△ABG,可得△AEF≌△AEG,EF=DF+BE.
模型说明:如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠DAE=45°,将△ABD 绕点 A 逆 时 针 旋 转 90°,得到△ACG,可得
3.如图①,在△ABC 中,BA=BC,D,E 是AC边上的两点，且满足 以点B 为旋转中心，将△CBE 按逆时针方向旋转得到△ABF,连接DF.
(1)求证:DE=DF;
(2)如图②,若AB⊥BC,其他条件不变.求证:
4.如图,在△ABC 中,∠CAB =∠B = 30°,∠MCN=60°,∠MCN 的两边交 AB 边于E、F 两点,△BCF 绕点C 顺时针旋转 120°后得到△ACK.
(1)若 求证：
(2)在(1)的条件下,若 直接写出EF 的长.
◆类型三 构造旋转模型
5.(1)如图①,在等边三角形 ABC 内有一点 P,且 ,将△BPC 绕点 B逆时针旋转60°,得到△BP'A,并连接PP',由旋转的性质可得△BPP'为等边三角形，△PP'A为直角三角形,∠BPC=∠BP'A=150°.求等边三角形ABC 的边长;
(2)如图②,在正方形 ABCD 内有一点P,且 类比第一小题的方法求∠BPC 的度数和正方形ABCD的面积.
模型构建专题：旋转中的常见模型
1.解:(1)AE=CG,AE⊥CG
(2)设EG 的中点为 H,连接 BH,则由 BE=6易得BH=EH=HG=3 当 E 在线段 CG.上时,如图③所示.由(1)可知 AE =CG.在Rt△CBH中,.BC=5 ,BH=EH =3 , 当点 E在 CG 的延长线上时，如图④所示.同理，CH= 综上所述， 或 .
2.解:
(2)结论成立.证明如下:如图②,延长 AP 到 J,使得PJ=PA,连接 JC.延长PA交BE于O.∵PA=PJ,∠APD=∠CPJ,PD=PC,∴△APD ≌△JPC(SAS).∴AD=CJ,∠ADP = ∠JCP.∴AD∥CJ.∴∠DAC+∠ACJ=180°.∵∠BAC=∠EAD=90°,∴∠EAB+∠DAC=180°.∴∠EAB=∠ACJ. 又∵AB = AC, AE = AD= CJ,∴△EAB≌△JCA(SAS).∴BE=AJ,∠CAJ ∵∠CAJ+∠BAO=90°,∴∠ABE+∠BAO=90°.∴∠AOB=90°.∴PA⊥BE.
解析:∵△AED,△ABC都是等腰直角三角形,DE=4,BC=8,∴AD= 由(2)可知 CJ =
3.证明: 由△CBE 旋转而成,∴BE =BF,∠ABF =∠CBE.∴∠DBF =∠DBE.在△DBE 与△DBF 中 △DBF(SAS).∴DE=DF.
(2)∵将△CBE 按逆时针方向旋转得到△ABF,∴BA = BC.又 ∵∠ABC = 90°, ∴∠BAC=∠BCE=45°.由旋转得 AF = CE,∠FAB =∠BCE=45°.∴∠DAF = 90°.在Rt△ADF 中, 同(1)可得
4.(1)证明:如图,连接 KE,作KH⊥AC 于 H.∵∠CAB =∠B=30°,∴∠ACB=120°.又∵∠MCN = 60°, ∴ ∠ACE + ∠BCF = 60°.
∵△BCF绕点 C 顺时针 旋转 120°后得到△ACK,∴BF=AK,∠KCA=∠FCB,CK=CF,∠KAC=∠B=30°.∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB +∠ACE = 60°.∴∠KCE =∠FCE. 在 △CKE 和 △CFE 中,
EF, 为直角三角形，∠AEK = 90°. ∴ ∠KEC = ∠FEC = 45°. ∴∠KCA=45°.设 KH=a,在 Rt△KHC 中, 在 Rt△KHA 中,AK=2a,∴AK : 即BF= CF.
(2)解: 解析:∵KH=a,∠KCH=45°,∠KHC=90°,∴HC=a.在Rt△KHA中,由勾股定理易得AH= a,∴AC=AH+ 解得a=1.∴AK=2a=2.在 Rt △AEK 中,∠KAE = ∠KAC +∠CAE=60°,∴∠AKE=30°.∴AE= AK=
5.解:(1)如图①,过点 B 作BM⊥AP',交 AP'的延长线于点 M,∴∠MP'B = 30°.∴ BM = 由 勾 股 定 理 得P'M= 由勾股定理得
(2)如图②,将△CPB 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△AEB,连接 EP.与(1)类似,可得 AE = ∠EBP=∠ABC=90°.∴∠BEP=45°.由勾股定理得 EP=2.∵AE=1,AP= ,EP=2, .过点 B 作BF⊥AE,交 AE 的延长线于点 F,∴∠FEB= .由勾股定理易得FE=BF=1.∴AF=2.∴在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 正方形ABCD 的面积为5.
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