2025高考数学一轮复习-第9讲-二次函数与幂函数-专项训练【原卷版】
(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)已知常数α∈Q,如图为幂函数y=xα的图象,则α的值可以为( )
A. B. C.- D.-
2.(5分)(2023·德州模拟)幂函数f(x)=(m2+m-5)在区间(0,+∞)上单调递增,则f(3)等于( )
A.27 B.9 C. D.
3.(5分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
4.(5分)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则m的取值范围是( )
A.[0,4] B. [,4] C. [,+∞) D. [,3]
5.(5分)(多选题)幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是( )
A.m=3
B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)的图象关于原点对称
【加练备选】
(多选题)已知幂函数f(x)= (m+)xm,则下列结论正确的有( )
A.f(-32)=
B.f(x)的定义域是R
C.f(x)是偶函数
D.不等式f(x-1)≥f(2)的解集是[-1,1)∪(1,3]
6.(5分)(多选题)已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(5分)已知幂函数f(x)的部分对应值如表:
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是 .
8.(5分)(2023·南通模拟)已知①f(0)=0;②f(4-x)=f(x);③在区间(2,3)上单调递减,则同时满足条件①②③的一个函数f(x)= .
9.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则+的最小值为 .
10.(10分)已知二次函数f(x)的最小值为3,且f(1)=f(3)=5.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方,求实数m的取值范围.
11.(10分)已知二次函数f(x)的最小值为1,函数y=f(x+1)是偶函数,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.
【能力提升练】
12.(5分)若幂函数f(x)的图象过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为( )
A.1 B. C.2 D.
13.(5分)(多选题)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a的可取值为( )
A.- B. C.-5 D.5
14.(10分)现有三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x-2;②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足 .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值.
2025高考数学一轮复习-第9讲-二次函数与幂函数-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)已知常数α∈Q,如图为幂函数y=xα的图象,则α的值可以为( )
A. B. C.- D.-
【解析】选C.由幂函数y=xα的图象关于y轴对称知,函数y=xα是偶函数,排除B,D选项;再根据幂函数y=xα的图象在第一象限内从左到右下降,可得α<0,排除A选项.
2.(5分)(2023·德州模拟)幂函数f(x)=(m2+m-5)在区间(0,+∞)上单调递增,则f(3)等于( )
A.27 B.9 C. D.
【解析】选A.由题意,得m2+m-5=1,
即m2+m-6=0,解得m=2或m=-3,
当m=2时,可得函数f(x)=x3,
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,符合题意;
当m=-3时,可得f(x)=x-2,
此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意,即幂函数f(x)=x3,则f(3)=27.
3.(5分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
【解析】选C.若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,故应排除B.
4.(5分)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-,-4],则m的取值范围是( )
A.[0,4] B. [,4] C. [,+∞) D. [,3]
【解析】选D.二次函数图象的对称轴为直线x=,且f()=-,f(3)=f(0)=-4,结合函数图象(如图所示),可得m∈[,3].
5.(5分)(多选题)幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是( )
A.m=3
B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)的图象关于原点对称
【解析】选ABD.因为幂函数f(x)=(m2-5m+在(0,+∞)上单调递增,
所以解得m=3,
所以f(x)=x3,
所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),
故f(x)=x3为奇函数,函数图象关于原点对称,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递增.
【加练备选】
(多选题)已知幂函数f(x)= (m+)xm,则下列结论正确的有( )
A.f(-32)=
B.f(x)的定义域是R
C.f(x)是偶函数
D.不等式f(x-1)≥f(2)的解集是[-1,1)∪(1,3]
【解析】选ACD.幂函数f(x)= (m+)xm,所以m+=1,所以m=-,所以f(x)=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),B错误;因为f(-32)=(-32=,A正确;f(x)==,定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数,C正确;因为f(x)=,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,又f(x)是偶函数,所以不等式f(x-1)≥f(2)等价于f(|x-1|)≥f(2),所以
解得-1≤x<1或16.(5分)(多选题)已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的值可以为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选BC.函数y=x2-4x+1是开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线,
因为函数的定义域为[1,t],
所以当x=1时,y=-2,当x=2时,y=-3,
因为在[1,t]内函数的最大值与最小值之和为-5,
所以当y=-2时,x=1或x=3,所以2≤t≤3.
7.(5分)已知幂函数f(x)的部分对应值如表:
x 1
f(x) 1
则不等式f(|x|)≤2的解集是 .
【解析】设幂函数为f(x)=xα,则()α=,所以α=,所以f(x)=.不等式f(|x|)≤2等价于|x≤2,所以|x|≤4,所以-4≤x≤4.所以不等式f(|x|)≤2的解集是[-4,4].
答案:[-4,4]
8.(5分)(2023·南通模拟)已知①f(0)=0;②f(4-x)=f(x);③在区间(2,3)上单调递减,则同时满足条件①②③的一个函数f(x)= .
【解析】由题意可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,且在(2,3)上单调递减,且f(0)=0,可取f(x)=-x2+4x满足条件.
答案:-x2+4x(答案不唯一)
9.(5分)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则+的最小值为 .
【解析】因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则a>0,
所以f(x)min===1,
即ac-1=a,可得a=>0,则c>1,
所以+=c+-1≥2-1=3,
当且仅当c=2时,等号成立,
因此+的最小值为3.
答案:3
10.(10分)已知二次函数f(x)的最小值为3,且f(1)=f(3)=5.
(1)求f(x)的解析式;
【解析】(1)根据题意得二次函数f(x)的顶点坐标为(2,3),
设f(x)=a(x-2)2+3,然后把点(3,5)代入得a=2,所以f(x)=2(x-2)2+3=2x2-8x+11.
(2)若y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方,求实数m的取值范围.
【解析】(2)y=f(x)的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方 f(x)-(2x+2m+1)>0恒成立,
令g(x)=2x2-8x+11-(2x+2m+1)=2x2-10x+10-2m,
若g(x)=2x2-10x+10-2m>0恒成立,
则Δ=(-10)2-4×2×(10-2m)<0,解得m<-,
即实数m的取值范围为(-∞,-).
11.(10分)已知二次函数f(x)的最小值为1,函数y=f(x+1)是偶函数,且f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式;
【解析】(1)因为函数y=f(x+1)是偶函数,
所以f(x)的图象关于直线x=1对称.
又因为f(x)的最小值为1,
所以可设f(x)=m(x-1)2+1,
又f(0)=3,所以m=2,
所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.
(2)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.
【解析】(2)要使f(x)在区间[2a,a+1]上单调,
则或
解得≤a<1或a≤0,
所以实数a的取值范围为(-∞,0]∪[,1).
【能力提升练】
12.(5分)若幂函数f(x)的图象过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为( )
A.1 B. C.2 D.
【解析】选B.设f(x)=xα,
因为f(x)的图象过点(2,),
所以f(2)=2α=,则α=,所以f(x)=,所以y=+1-x=-(-)2+,所以所求最大值为.
13.(5分)(多选题)若二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6,则a的可取值为( )
A.- B. C.-5 D.5
【解析】选BC.显然a≠0,有f(x)=a(x+1)2-a+1,
当a>0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(3)=15a+1,
由15a+1=6,解得a=,符合题意;
当a<0时,f(x)在[-2,3]上的最大值为f(-1)=1-a,
由1-a=6,解得a=-5,符合题意,
所以a的值为或-5.
14.(10分)现有三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x-2;②不等式f(x)<0的解集为{x|1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足 .
(1)求函数f(x)的解析式;
【解析】(1)条件①:因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b=2x-2,
即2(a-1)x+a+b+2=0对任意的x恒成立,
所以解得
条件②:因为不等式f(x)<0的解集为{x|1所以
解得且a>0.
条件③:函数y=f(x)的图象过点(3,2),
所以9a+3b+c=2.
若选择条件①②:则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
若选择条件①③:则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
若选择条件②③:则a=1,b=-3,c=2,此时f(x)=x2-3x+2.
(2)设g(x)=f(x)-mx,若函数g(x)在区间[1,2]上的最小值为3,求实数m的值.
【解析】(2)由(1)知g(x)=x2-(m+3)x+2,其图象的对称轴为直线x=,
(ⅰ)当≤1,即m≤-1时,g(x)min=g(1)=3-(m+3)=-m=3,解得m=-3,
(ⅱ)当≥2,即m≥1时,g(x)min=g(2)=6-(2m+6)=-2m=3,解得m=-(舍去),
(ⅲ)当1<<2,即-1g(x)min=g()=-+2=3,无解.
综上所述,实数m的值为-3.(共56张PPT)
第9讲 二次函数与幂函数
第二章
基本初等函数
激 活 思 维
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
A
4．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，那么实数m的取值范围为 ( )
A．{0，－3} B．[－3，0]
C．{0，3} D．(－∞，－3]∪[0，＋∞)
A
【解析】
由题意得Δ＝4(m＋3)2－4×3×(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，所以实数m的取值范围是{0，－3}．
5．已知函数y＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a＝_______．
【解析】
－2
1．二次函数解析式的三种形式
(1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
2．二次函数的图象和性质(此处略)
聚 焦 知 识
3．五种常见幂函数
4．幂函数的性质
(1) 幂函数在_____________上都有定义；
(2) 幂函数的图象都过点__________；
(3) 当α＞0时，幂函数的图象都过点__________与__________，且在(0，＋∞)上单调________；
(4) 当α＜0时，幂函数的图象都________点(0，0)，在(0，＋∞)上单调________．
(0，＋∞)
(1，1)
(0，0)
(1，1)
递增
不过
递减
幂函数
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】C
定义域不关于原点对称，y＝f(x)为非奇非偶函数，A，B错误；
【解析】
由题意得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3.
当m＝2时，f(x)＝x3，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
当m＝－3时，f(x)＝x-2，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．故幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.
A
D
【解析】
当α＝－2时，f(x)＝x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，故A不合题意；
当α＝2时，f(x)＝x2为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，图象不经过第三象限，故B不合题意；
已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，则f(x)的最小值是__________________．
二次函数的动态问题
2
【解析】
当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－2.
【答案】
1．若函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，则函数的最小值g(a)＝____________________.
【解析】
因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以其图象的对称轴为直线x＝1.
当－2＜a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a＞1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.
2．函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值为__________________．
【解析】
3．已知f(x)＝x2－6x＋10在区间[a，a＋1]上的最大值为4，则实数a的值为________________．
【解析】
4．已知函数f(x)＝x|x－a|在区间(0，1)上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是________________．
【解析】
若a＜0，作出函数f(x)的大致图象，如图(1)所示，易得函数f(x)在(0，1)上无最值．
图(1)
【答案】
图(2)
(1) 若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实根都小于1，则实数m的取值范围是______．
二次方程根的分布
3
【解析】
【答案】
(2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是____________．
【解析】
3
(3) 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是____________．
【解析】
(－3，0)
3
显然a≠0，关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f(x)＝ax2＋x＋2(对开口方向进行讨论，分a＞0和a＜0).
①若a＞0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＜0，且f(1)＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈ ；(若发现f(0)＝2，结合图象也可知a＞0不可能).
②若a＜0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＞0，且f(1)＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0.
综上，实数a的取值范围是(－3，0).
随 堂 练习
【解析】
B
A
【解析】
f(x)＝(x＋a)2－a2，对称轴是x＝－a.
综上，a＝±1.
3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为___________________．
f(x)＝x2－4x＋3
【解析】
因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，即a＝1，故f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为______________．
(－4，－2)
【解析】
配套精练
【解析】
B
2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(1－x)＝f(x)，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)＝ ( )
A．－4x2＋4x＋7 B．4x2＋4x＋7
C．－4x2－4x＋7 D．－4x2＋4x－7
A
【解析】
【解析】
【答案】B
由m∈Z，及0≤m≤3，得m＝0，1，2，3，代入m2－2m－3分别是－3，－4，－3，0，由f(x)在定义域内满足f(－x)＝f(x)，知f(x)是偶函数，因此m2－2m－3＝－4或0.
4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是 ( )
【解析】
A
B
C
D
若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A可能；
【答案】C
二、 多项选择题
5．已知函数y＝xm2－5m＋4(m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可以为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
BC
【解析】
因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－5m＋4＜0，解得1＜m＜4.因为m∈Z，所以m＝2或3.
当m＝2时，函数y＝x-2为偶函数，符合题意；当m＝3时，函数y＝x-2为偶函数，符合题意．
综上，m＝2或m＝3.
6．已知函数f(x)＝ax2－2bx－1，则下列结论正确的是 ( )
A．若f(x)是偶函数，则b＝0
B．若f(x)＜0的解集是(－1，1)，则ab＝1
C．若a＝1，则f(x)＞0恒成立
D． a≤0，b＜0，f(x)在(－∞，0)上单调递增
【解析】
对于A，函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即ax2＋2bx－1＝ax2－2bx－1，即4bx＝0对任意的x∈R恒成立，则b＝0，故A正确；
对于C，若a＝1，则f(x)＝x2－2bx－1，Δ＝4b2＋4＞0，故f(x)＞0不恒成立，故C错误；
【答案】ABD
三、 填空题
7．已知函数f(x)＝x2－2ax＋3的值域是[－1，＋∞)，则a＝_______．
±2
【解析】
f(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2－a2＋3，故f(x)min＝f(a)＝－a2＋3＝－1，解得a＝±2.
【解析】
【解析】
综上，m＝－2，n＝0，m＋n＝－2.
【答案】－2
四、 解答题
10．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0分别满足下列条件．
(1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
【解答】
设y＝f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6.
依题意有f(2)＜0，即4＋4(m－1)＋2m＋6＜0，得m＜－1.
10．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0分别满足下列条件．
(2) 有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4；
【解答】
10．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0分别满足下列条件．
(3) 至少有一个正根．
【解答】
方程至少有一个正根，则有三种可能：
综上，m≤－1.
②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)＜0，得m＜－3；
11．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1) 若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；
【解答】
11．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(2) 若a＞0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
【解答】
【解析】
【答案】B
【解析】
D
14．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
(1) 求实数a，b的值；
【解答】
14．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
(2) 解关于x的不等式mx2－(m＋b)x＋b＞0.
【解答】
由(1)得不等式即为mx2－(m－3)x－3＞0，即(x－1)·(mx＋3)＞0.
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