2025年高考数学一轮复习-2.3.1-函数的奇偶性、周期性与对称性
1.下列函数是偶函数的是（ ）
A.y＝sin x B.y＝cos x
C.y＝x3 D.y＝3x
2.已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f（x＋3）＝，且f（3）＝，则f（2 025）＝（ ）
A.－ B.
C.－1 D.1
3.函数f（x）＝的图象（ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于坐标原点对称 D.关于直线 y＝x对称
4.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－.若f（2）＋f（0）＝1，则f（－3）＝（ ）
A.－4 B.－3
C.－2 D.1
5.设定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝ln x－1，则f（），f（），f（）的大小关系为（ ）
A.f（）＜f（）＜f（） B.f（）＜f（）＜f（）
C.f（）＜f（）＜f（） D.f（）＜f（）＜f（）
6.（多选）已知f（x）为奇函数，且f（x＋1）为偶函数，若f（1）＝0，则（ ）
A.f（3）＝0 B.f（3）＝f（5）
C.f（x＋3）＝f（x－1） D.f（x＋2）＋f（x＋1）＝1
7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f（3）＝ .
8.函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程为 .
9.写出一个同时具有性质①②③的函数f（x）＝ .
①f（x）是定义域为R的奇函数； ②f（1＋x）＝f（1－x）； ③f（1）＝2.
10.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式.
11.函数y＝f（x）的图象关于原点对称的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数.给定函数f（x）＝x3＋3x2，则函数f（x）的图象的对称中心是（ ）
A.点（1，－2） B.点（－2，1）
C.点（1，2） D.点（－1，2）
12.（多选）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋4）－f（x）＝2f（2），若y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，且对任意的x1，x2∈（0，2），且x1≠x2 ，都有＞0，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）是偶函数 B.f（x＋4）＝f（x）
C.f（22）＝0 D.f（x）在（－4，－2）上单调递减
13.设f（x）是R上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.
（1）求f（π）的值；
（2）当－4≤x≤4时，求 f（x）的图象与x轴所围成图形的面积.
14.已知函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）－2为奇函数，且f（1－x）＝f（3＋x），则f（2 023）＝ .
15.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.
（1）判断函数f（x）＝的奇偶性，并求函数g（x）＝－的图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出“函数y＝f（x）的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为偶函数”的一个推广结论.
参考答案与解析
1.D 存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“ x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.
2.B 对于A， x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.
3.A 若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.
4.B 方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1） （－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.
5.C 法一 因为xy≠0，且＋＝－2 x2＋y2＝－2xy x2＋y2＋2xy＝0 （x＋y）2＝0 x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.
法二 充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2.
必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.
6.AB 由≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.
7.AD A、B选项，p的否定是“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“ x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“ x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.
8.假 解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以 p为假命题.
9.－1（答案不唯一） 解析：由于当x＞0时，x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋＝－2.
10.（－∞，－2] 解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
11.D 改写为 ， 改写为 ，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“ x∈R， n∈N*，都有n＞x2”.
12.C 选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.
13.ABD 对于A选项，若xc2＞yc2 ，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由＜＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出＜＜0（因为x，y的正负不确定），所以“＜＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.
14. （，＋∞） 解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝；若A是B的充分不必要条件，则A B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞}，故＜2，即b＞，故b的取值范围是（，＋∞）.
15.（－∞，0） 解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，
则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.
1.B 对于B，因为cos（－x） ＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于A，因为sin（－x）＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于C，因为（－x）3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确.综上所述，选B.
2.B 由f（x＋3）＝得f（x）的周期T＝6，f（2 025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝.
3.B 由题意知 f（x）的定义域为R，且f（x）＝＝3x＋3－x，f（－x）＝3－x＋3x，∴f（－x）＝f（x），故 f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称.
4.A 因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.又因为f（2）＋f（0）＝1，所以f（2）＝4－＝1，解得a＝6，所以f（x）＝2x－（x＞0），所以f（－3）＝－f（3）＝－（6－）＝－4.
5.C 由题意知，函数f（x）的图象如图所示，f（）＝f（），又因为f（x）在（－∞，1）上单调递减，所以f（）＞f（）＞f（），即f（）＞f（）＞f（）.故选C.
6.ABC 因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），又因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（x＋1）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，又因为f（1）＝0，f（3）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（5）＝f（1）＝0，故A、B正确；f（x＋3）＝f（x＋3－4）＝f（x－1），所以C正确；f（2）＝f（2－4）＝f（－2），同时根据奇函数的性质得f（2）＝－f（－2），所以f（2），f（－2）既相等又互为相反数，故f（2）＝0，所以f（2）＋f（1）＝0≠1，即f（x＋2）＋f（x＋1）＝1对于x＝0不成立，故D不正确.
7.－21 解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函数，依题意，g（x）＝f（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，则 f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21.
8.x＝ 解析：内层函数t＝｜2x—1｜的对称轴是直线x＝，所以函数f（x）＝lg｜2x－1｜图象的对称轴方程是x＝.
9.2sin（答案不唯一） 解析：由题意可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝1，又f（x）是定义域为R的奇函数，f（1）＝2，所以f（x）＝2sin符合.
10.解：（1）证明：因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期为4的周期函数.
（2）因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.因为f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4].
11.D f（x）＝x3＋3x2＝（x＋1）3－3x－1＝（x＋1）3－3（x＋1）＋2，易知y＝f（x－1）－2＝x3－3x为奇函数，故y＝f（x－1）－2的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）的图象的对称中心是点（－1，2）.故选D.
12.ABC 由y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则f（1＋x－1）＝f（1－x－1），即f（－x）＝f（x），故f（x）是偶函数，故选项A正确；由f（x＋4）－f（x）＝2f（2），令x＝－2，可得f（2）＝0，则f（x＋4）＝ f（x），则f（x）的周期T＝4，故选项B正确；f（22）＝f（4×5＋2）＝f（2）＝0，故选项C正确；又f（x）在（0，2）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，因为周期T＝4，则f（x）在（－4，－2）上单调递增，故选项D错误.故选A、B、C.
13.解：（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.
（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），
得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，
即f（1＋x）＝f（1－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线 x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示.
当－4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×（×2×1）＝4.
14.2 解析：因为f（x＋1）－2为奇函数，所以f（－x＋1）－2＝－[f（x＋1）－2]，即f（1＋x）＋f（1－x）＝4，在该式中，令x＝0，可得2f（1）＝4，则f（1）＝2.又f（1－x）＝f（3＋x），所以f（1＋x）＋f（3＋x）＝4，①.所以f（x＋3）＋f（x＋5）＝4，②.由①②可得f（x＋5）＝f（x＋1），即f（x＋4）＝f（x），所以函数 f（x）为周期函数，且该函数的周期为4.所以f（2 023）＝f（4×505＋3）＝f（3）＝4－f（1）＝2.
15.解：（1）f（x）＝为奇函数，
证明如下，首先f（x）定义域为R，关于原点对称，
又f（－x）＝＝＝－＝－f（x），故f（x）为奇函数，
1＋g（x）＝1－＝＝＝f（x－1），
故g（x）＝f（x－1）－1，于是g（x＋1）＋1＝f（x）是奇函数，
由题意知，g（x）对称中心是（1，－1）.
（2）函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）为偶函数.(共52张PPT)
2.3.1 函数的奇偶性、
周期性与对称性
课标要求 考情分析
1.了解函数奇偶性的概念和 几何意义. 2.会运用基本初等函数的图 象分析函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正 周期的含义，会判断、应 用简单函数的周期性. 考点考法：高考命题常以基本初等函数为载
体，考查函数的奇偶性、周期性和图象的对
称性及其应用.函数的奇偶性与单调性、周期
性的综合问题是高考热点，常以选择题的形
式出现.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.函数的奇偶性
类别 偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数 的 定义域为 ，如果 ,都有 ,且________________ 一般地，设函数 的定义域为 ，
如果 ,都有 ,且
______________
图象特征 关于_____对称 关于______对称
[提醒] 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
轴
原点
2.函数的周期性
（1）周期函数：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在一个非零
常数 ,使得对每一个 都有 ,且________________,那么函数
就叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的
______,那么这个最小______就叫做 的____________.
[提醒] 并非所有周期函数都有最小正周期.
正数
正数
最小正周期
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数 在 上是偶函数.( )
×
（2）若函数 为奇函数，则一定有 成立.( )
×
（3）若 是函数的一个周期，则 也是函数的周期.( )
√
2.（多选）下列函数中为偶函数的是( )
A. B. C. D.
解析：选BC.根据偶函数的定义知偶函数满足 ，且定义域关于原点对称知，A为奇函数；B，C为偶函数；D既不是奇函数，也不是偶函数.
√
√
3.已知函数 满足 .当 时， ,则
___.
8
解析：因为 ,所以 是以3为周期的周期函数，所以 .
4.（人A必修第一册 习题 变设问）已知函数 是定义在 上
的奇函数，当 时， ，则 ____.
解析： ,又 为奇函数，所以 .
1.函数的奇偶性
（1）如果函数 是奇函数且在 处有定义，则一定有 .如
果函数 是偶函数，那么 .
（2）在公共定义域内有：奇 奇=奇，偶 偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=
偶，奇×偶=奇.
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
2.函数的周期性
对 定义域内任一自变量 的值：
（1）若 ,则 .
（2）若 ,则 .
（3）若 ,则 .
3.函数图象的对称性
（1）若函数 是偶函数，则函数 的图象关于直线
对称；
（2）若函数 是奇函数，则函数 的图象关于点
中心对称；
（3）若对于 上的任意 都有 或 或
,则 的图象关于直线 对称.
【用一用】
1.已知定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，若
，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意， ，则 或 .故选D.
√
2.(2023·山东青岛模拟)已知函数 是定义在 上的奇函数，满足
，且当 时， ，则
___.
1
解析：因为 ，所以 ，所以函数 的周期为4，
所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 函数的奇偶性（多维探究）
角度1 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性.
（1） ;
【解】 原函数的定义域为 ,关于原点对称,
并且对于定义域内的任意一个 都有
,
所以函数 为奇函数.
（2） ;
【解】 由 得 ,
即函数 的定义域是 ,关于原点对称.
因此 ,
所以 ,
因此函数 是偶函数.
（3） ;
【解】 的定义域为 ,关于原点对称.
又 , ,
所以 既是奇函数又是偶函数.
（4）
【解】 方法一（定义法）：当 时， ，
；
当 时， ，
，
所以 为奇函数.
方法二（图象法）：如图，作出函数 的图象，由奇函数的图象关于
原点对称的特征知函数 为奇函数.
判定函数奇偶性的两种常用方法
（1）定义法
（2）图象法
角度2 函数奇偶性的应用
例2.（1）(2023·河南汝州模拟)已知函数 是定义域为 的奇函数，当
时， ，若 ，则
( )
A. B. C. D.
解析：由奇函数的性质可知 ,解得
,
所以 .故选D.
√
（2）(2022·高考全国卷乙)若 是奇函数，则
____， _____.
解析： .因
为 为奇函数，所以 ,所以
.当
时， 对任意的 恒成立，则
解得 当
时， 对任意的 恒成立，则
无解.综上， .
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇
偶性求出 的解析式，或充分利用奇偶性构造关于 的方程式
（组），从而得到 的解析式.
（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函
数值求解.
（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，进而得出参数的值.对于在 处有定义的奇函数 ，可考虑列等式 求解.
【对点训练】
1.设函数 ，则下列函数中为偶函数的是( )
A. B. C. D.
解析：选A. ,则 ，因为 是偶函数，故 为偶函数.B,C,D既不是奇函数，又不是偶函数.故选A.
√
2.(2023·河北高三模拟)函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则 在 上的解析式为_______________________.
解析：由已知得，当 时， ，
当 时， ，则 .又因为 为奇函数，所以
，
所以
考点二 函数的周期性（师生共研）
例3.（1）(2023·广东六校联考)函数 在 上满足 ,
且 其中 ,若 ,则
( )
A. B. C. D.
解析：由 ,得 是周期为2的周期函数，又
,所以 ,即 ,所以 .故选C.
√
（2）(2023·重庆南开中学质检)（多选）已知定义在 上的函数 满足
， ， ，且 为奇函数，则
( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 是周期为3的周期函数 D.
√
√
解析：因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 是周期为3的周期函数，所以C正确；
因为 ， ，所以 ,
，因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，所以 .因为
，所以 ，所以 ，所以
，所以
,所
以D错误；
因为 ， ，所以 不可能为奇函数，所以A错误；
因为 且 是周期为3的周期函数，所以
，所以 为偶函数，所以B
正确.
（1）判断函数的周期性只需证明 ，便可证明函数是周期函数,且周期为 ,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
（2）根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 是函数的周期，则 （ 且 ）也是函数的周期.
函数周期性的判定与应用
【对点训练】
1.已知 对于任意 都有 ，且 在区间 上
单调递增，则 , , 的大小关系是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为 对于任意 都有 ，所以 的
周期为2，所以 ， .因为 在区间
上单调递增，
所以 ，即 ，故选D.
√
2.已知函数 满足对 ，有 ，
，当 时， ，若 ，则
__.
解析：因为 ， 所以 ，所
以函数 的周期是4.
又 ，所以
，
因为当 时， ，所以 ，解
得 .
考点三 函数性质的综合应用（多维探究）
[高考考情] 函数性质的综合应用，尤其是单调性与奇偶性的综合应用是高考的热点，多以选择题的形式呈现，重点考查比较大小、求值、解不等式等问题，难度中档.
角度1 函数的单调性与奇偶性
例4 (2023·四川宜宾模拟)若函数 为奇函数，则关于 的不
等式 的解集为_______.
解析：由 ，得 ，即
当 时， 在 上单调递减，又 为奇函数，
故 在 上单调递减.
由 为奇函数,则不等式 可化为
，得 ，解得 .
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
（1）比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小.
（2）不等式问题，解题步骤是①将所给的不等式转化为两个函数值的大
小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的
符号“ ”，转化为解不等式（组）的问题.
角度2 函数的奇偶性与周期性
例5 函数 对任意 都有 成立，且函数
的图象关于点 对称， ，则
的值为___.
4
解析：因为 的图象关于点 对称，所以函数 的
图象关于原点对称，即函数 是 上的奇函数，所以
， 所以 ，故 的周期为
4.所以 ， ，
，所以
.
综合应用奇偶性与周期性解题的技巧
（1）根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期；
（2）利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化；
（3）代入已知的解析式求解，即得欲求的函数值.
角度3 函数的对称性和周期性
例6.（1）(2023·湖南岳阳模拟)已知函数 是 上的偶函数，且 的
图象关于点 对称，当 时， ，则
的值为( )
A. B. C. D.
√
解析：因为 是 上的偶函数，所以 .
又 的图象关于点 对称，则 ，
所以 ，则 ，得
，
所以 是周期为4的周期函数.
当 时， ，则 ， ，
， ，则
，
则 .故选C.
（2）（多选）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且
在 上是增函数.则下列命题正确的是( )
A. 是周期函数 B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上是增函数 D.
√
√
√
解析：因为 ，所以 ，所
以 的周期为4，即 是周期函数，故A正确；
因为 ，所以 .又因为 为奇函数，
所以 ，所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
因为 是定义在 上的奇函数，所以 .因为 在 上为
增函数，且 为奇函数，所以 在 上为增函数.因为 关于
直线 对称，所以 在 上为减函数，故C错误；
因为 ，令 得 ，故D正确.
函数 满足的关系 表明的是函数图象的对称性，函数 满足的关系 表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
【对点训练】
1.已知定义在 上的奇函数 满足 ,且在 上是增
函数，则( )
A. B.
C. D.
√
解析：选B.由题设知 ,所以函数 的图象关于直线 对称.又函数 是奇函数，其图象关于坐标原点对称，函数 在 上是增函数，故 在 上也是增函数.综上，函数 在 上是增函数，在 上是减函数.又 ,所以 .
2.(2023·吉林梅河口模拟)已知函数 对 满足
，且 ，若 的图象关于直线
对称， ，则 ___.
2
解析：因为 的图象关于直线 对称，所以 的图
象关于直线 对称，
即 是偶函数.
对于 ，令 ，可得 .又
，所以 ，则 ，所以函数 对
满足 ，所以 ，所以
，即 是周期为4的周期函数.
所以 .
