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2.6 对数与对数函数
课标要求 考情分析
1.理解对数的概念及其运算性质，会用换 底公式将一般对数转化成自然对数或常 用对数. 2.通过具体实例，了解对数函数的概念. 能用描点法或借助计算工具画出具体对 数函数的图象，探索并了解对数函数的 单调性与特殊点. 3.知道对数函数
与指数函数
互为反函数. 考点考法：高考命题常以考查
对数的运算性质为主，考查学
生的运算能力；对数函数的单
调性及应用是考查热点，常以
选择题或填空题的形式出现.
核心素养：数学抽象、逻辑推
理、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.对数
（1）对数的概念
如果
（
，且
），那么数
叫做以
为底
的对数，记
作
_______，其中
叫做对数的底数，
叫做真数.
（2）对数的性质、运算性质与换底公式
①对数的性质
___;
（
，且
）.
②对数的运算性质
如果
且
，
，
，那么
_______________；
_______________；
_________
.
③换底公式：
_____（
,且
，
,
,且
）.
2.对数函数
（1）概念
函数
（
,且
）叫做对数函数，其中
是自变量，定义
域是________.
[提醒] 对数函数
的3个特征：（1）底数
，且
；
（2）自变量
；（3）系数为1.
（2）图象及性质
底数
图象 ____________________________________________ ____________________________________________
性质 定义域：________ 值域：
图象过定点______，即恒有
当
时，恒有
； 当
时，恒有
当
时，恒有
；
当
时，恒有
在
上是________ 在
上是________
增函数
减函数
3.反函数
指数函数
（
，且
）与对数函数
（
，且
）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.函数
与
的图象关于
对称.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若
,则
.( )
×
（2）对数函数
（
，且
）在
上是增函数.
( )
×
（3）函数
与函数
是同一个函数.( )
×
2.（人A必修第一册
习题
变条件）计算：
2
( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B.原式
.故选B.
√
3.函数
的图象大致是( )
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
√
解析：选C.函数
的图象是由函数
的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点
，函数
的定义域为
，且在
上是增函数，故选C.
4.（人A必修第一册
练习
变设问）函数
的定义域为
___________.
5.函数
在
上的最大值与最小值的差是1，则
_ _____.
2或
解析：分两种情况讨论：①当
时，有
，解得
；②当
时，有
，解得
.所以
或
.
1.换底公式的三个重要结论
（1）
;（2）
;
（3）
.
2.对数函数图象的特点
（1）对数函数的图象恒过点
，
，
，依据这三点的坐标
可得到对数函数的大致图象；
（2）函数
与
（
，且
）的图象关于
轴对
称；
（3）在第一象限内，不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
【用一用】
1.如图所示，关于三个对数函数的图象，下列选项正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A.作直线
（图略），则该直线与三个函数图象交点的横坐
标为相应的底数，可得
.
√
2.(2023·海南海口一中模拟)计算：
___.
4
解析：原式
.
核心考点 师生共研
02
考点一 对数的运算（自主练透）
1.(2022·高考浙江卷)已知
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C.由
两边取以2为底的对数，得
.
又
，
所以
,
所以
,故选C.
√
2.计算：
__.
解析：原式
.
3.计算：
___.
1
解析：原式
.
4.设
,且
,则
_____.
解析：由
得，
,
,
所以
.
因为
,
所以
.
所以
,
所以
（
舍去）.
对数运算的一般思路
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数的运算性质化简、合并.
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
考点二 对数函数的图象及应用（师生共研）
例1.（1）已知
（
且
,
且
）,则函
数
与
的图象可能是( )
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
√
解析：
，即
,即
.
当
时，
，函数
与
均为减函数，四个图象均不满足；
当
时，
，函数
与
均为增函数，排除A，C，D，则在同一坐标系中两函数的图象可能是B，故选B.
（2）若方程
在
上有解，则实数
的取值范围为_ ______.
解析：若方程
在
上有解，则函数
和函数
在
上有公共点，
由图象知
解得
.
对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【对点训练】
1.(2023·山东威海一模)已知函数
（
且
，
,
为常数）的图象如图，则下列结论正确的是( )
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
√
解析：选D.因为函数
为减函数，所以
，排除A，B.又因为函数
的图象与
轴的交点在正半轴，所以
,即
，
又因为函数
的图象与
轴有交点，所以
,所以
，排除C.故选D.
2.(2023·天津红桥区高三期末检测)已知函数
如
果互不相等的实数
,
,
，满足
，则
的取值范围是
______.
解析：画出函数
的图象，如图所示.不
妨设
,其中
,故
,且
，所以
的取值范围
是
.
考点三 对数函数的性质及应用（多维探究）
[高考考情] 对数函数的性质及应用是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查比较大小、解不等式等问题，难度中档.
角度1 比较对数值的大小
例2 已知
,
,
,则
,
,
的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
√
解析：方法一（中间量法）：因为
,
,
,所以
.
方法二（图象法）：
，在同一平
面直角坐标系中作出函数
,
的图象，如图，由图可知
.
比较对数值大小的方法
若底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为
同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相 同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较
角度2 解对数方程或不等式
例3.（1）(2023·山东青岛模拟)已知函数
， 则关于
的不等式
的
解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，
，
则函数
的图象是以直线
为对称轴且开口向下的抛物线，所以
.
由
，可得
,解得
.
所以不等式
的解集为
.
√
（2）(2023·上海华师大二附中模拟)方程
的解为________.
解析：由题意及对数函数的性质，得
,解得
，又因为
且
,解得
.
解对数不等式的两种类型及方法
类型 方法
借助
的单调性求解，如果
的取值不确定，
需分
与
两种情况讨论
需先将
化为以
为底的对数式的形式，再借助
的单调性求解
角度3 对数函数性质的综合应用
例4.（1）若
在区间
上单调递减，则
实数
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析：令函数
，对称轴
为直线
,要使函数
在
上递减，
则
即
解得
，即
.
√
（2）(2023·福建龙岩一中高三阶段练习)（多选）关于函数
，下列说法中正确的是( )
A.定义域为
B.图象关于
轴对称
C.图象关于原点对称 D.在
上单调递增
解析：因为
,所以
，即
,解得
,
所以定义域为
，故A正确；
√
√
√
因为
,所以
图象关于原点对称，故B错误，C
正确;
又
在
上单调递减，所以
在
上单
调递增，
又
在
上单调递增，所以
在
上单调
递增，故D正确.
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【对点训练】
1.（多选）已知函数
，则( )
A.
在
上单调递增 B.
在
上的最大值为0
C.
的图象关于直线
对称 D.
的图象关于点
对称
解析：选
，定义域为
，
,
令
,
,
因为
,
，则在
上单调递增，在
上单调递减，
√
√
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故A错误；
,故B正确；
因为
,
,
所以
,
所以
的图象关于直线
对称，故C正确，D错误.
2.函数
的单调递增区间为__________.
解析：由
得
的定义域为
.
由复合函数单调性知
的单调递增区间即为
的单调递减区间（定义域内），
所以
的单调递增区间为
.
3.已知函数
，则使不等式
成立的实
数
的取值范围是_ _________________.
解析：函数
的定义域为
，
，
故函数
为偶函数，且当
时，
.
因为函数
，
均为
上的减函数，故函数
在
上为减函数，
由
得
，则
即
解得
且
.
故使不等式成立的实数
的取值范围是
.2025年高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数-专项训练（原卷版）
[基础强化]
一、选择题
1．lg ＋2lg 2－()－1＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(，＋∞)
C． D．(，1]
3．函数f(x)＝log(x2－2x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，0) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，1)
4．若函数f(x)＝(m－2)xa是幂函数，则函数g(x)＝loga(x＋m)(a>0且a≠1)的图像过点( )
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(－3，0) D．(3，0)
5．[2024·江西省高三联考]设a＝log0.222 022，b＝sin (sin 2 022)，c＝2 0220.22则a，b，c的大小关系为( )
A．a
C．b6．[2024·河北省高三二模]已知x＝()，y＝log45，z＝log34，则x、y、z的大小关系为( )
A．y>x>z B．x>y>z
C．z>x>y D．x>z>y
7．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则( )
A．f(x)在(0，2)上单调递增
B．f(x)在(0，2)上单调递减
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称
8．若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
9．[2024·重庆市高三质量检测]若函数f(x)＝loga(－3x2＋4ax－1)有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(，1) B．(1，)
C．(0，) D．(，＋∞)
二、填空题
10．已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.
11．函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．
12．函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________.
[能力提升]
13．[2024·江西省九江市二模]牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T－Tc＝()(T0－Tc)，其中Tc是环境温度，h为常数．现有一个105 ℃的物体，放在室温15 ℃的环境中，该物体温度降至75 ℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30 ℃，则m的值约为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．2.9 B．3.4
C．3.9 D．4.4
14．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
15．[2024·江西省高三一模] 纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．
0 1 2 3 4 5
1 2 4 8 16 32
6 7 8 9 10 11
64 128 256 512 1 024 2 048
12 … 19 20 21 22
4 096 … 524 288 1 048 576 2 097 152 4 194 304
23 24 25 …
8 388 608 16 777 216 33 554 432 …
如512×1 024，我们发现512是9个2相乘，1 024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算9＋10＝19.那么接下来找到19对应的数524 288，这就是结果了．若x＝log4(20 211 226×1 314 520)，则x落在区间( )
A．(15，16) B．(22，23)
C．(42，44) D．(44，46)
已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g(x)＝ax＋m－3的图像不经过第一象限，则m的取值范围为________
参考答案与解析
1．B 原式＝lg ＋lg 4－2＝lg －2＝1－2＝－1.
2．D 由题意得log(3x－2)≥0，即0<3x－2≤1.
∴3．A 函数f(x)＝log(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝log(x2－2x)的单调增区间为(－∞，0).
4．A ∵f(x)＝(m－2)xa为幂函数，∴m－2＝1，m＝3，
∴g(x)＝loga(x＋3)，又g(－2)＝0，
∴g(x)的图像过(－2，0).
5．A 因为a＝log0.222 0222 0220＝1，所以a6．D ∵y＝log45>1，z＝log34>1，
∴＝＝log45·log43≤()2＝()2＝(log4)2<(log44)2＝1，
即z>y，
∵＝log33，而(3)3＝34＝81>43＝64，
∴＝log33>log34，又＝()1<()，
∴x>z，综上，x>z>y.
7．C f(x)的定义域为(0，2)，
f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (－x2＋2x).
设u＝－x2＋2x，x∈(0，2)，
则u＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，
在(1，2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln (－x2＋2x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
∴选项A、B错误；
∵f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴选项C正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln (2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln (2－x)]＝2[ln x＋ln (2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图像不关于点(1，0)对称，
∴选项D错误．
8．B 由y＝logax的图像可知loga3＝1，
所以a＝3.对于选项A：y＝3－x＝为减函数，A错误；
对于选项B：y＝x3，显然满足条件；
对于选项C：y＝(－x)3＝－x3在R上为减函数，C错误；
对于选项D：y＝log3(－x)，当x＝－3时，y＝1，D错误．
故选B.
9．A 依题意a∈(0，1)∪(1，＋∞)且－3x2＋4ax－1>0，所以Δ＝16a2－12>0，解得a>或a<－，综上可得a∈(，1)∪(1，＋∞)，
令－3x2＋4ax－1＝0的根为x1、x2且x1若a∈(1，＋∞)，则y＝logau在定义域上单调递增，u(x)＝－3x2＋4ax－1在(x1，)上单调递增，在(，x2)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f(x)＝loga(－3x2＋4ax－1) 在(x1，)上单调递增，在(，x2)上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若a∈(，1)，则y＝logau在定义域上单调递减，u(x)＝－3x2＋4ax－1在(x1，)上单调递增，在(，x2)上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f(x)＝loga(－3x2＋4ax－1)在(x1，)上单调递减，在(，x2)上单调递增，所以函数在x＝取得最小值，所以a∈(，1).
10．－7
解析：∵f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，a＝－7.
11．8
解析：因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，所以函数f(x)＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝－log2(－2＋4)＝9－1＝8.
12.
解析：∵0<－x2＋2≤2，∴log2(－x2＋2)≤log22＝.
13．B 由75－15＝()(105－15)，有()＝，
又30－15＝()(75－15)，
有()＝，即()m＝，
则m lg ＝lg ，
解得m＝＝≈3.4.
14．C 4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
15．B x＝log4(20 211 226×1 314 520)＝log2(20 211 226×1 314 520)，设20 211 226＝2m，1 314 520＝2n，由表格得知：220＝1 048 576，221＝2 097 152，224＝16 777 216，225＝33 554 432，所以2416．[－1，＋∞)
解析：∵函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f(0)＝0，∴f(－2)＝loga3＝－1，∴a＝，∴g(x)＝－3，令g(x)＝0，得x＝－m－1，则－m－1≤0，求得m≥－1，故m的取值范围为[－1，＋∞).