2025年高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知常数 ，如图为幂函数 的图象，则 的值可以为( )
A. B. C. D.
2.已知 ，若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
3.设 ，则“函数 的图象经过点 ”是“函数 在 上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. （多选）已知幂函数 ,则( )
A.
B. 的定义域是
C. 是偶函数
D. 不等式 的解集是
5. （多选）已知函数 的定义域为 ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为 ，则实数 的值可以为( )
A. B. C. D.
6. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 .
7.已知① ；② ；③在区间 上单调递减，则同时满足条件①②③的一个函数 .
8. 已知函数 ，且 ，则 ；若 ，则实数 的取值范围是 .
9. 已知二次函数 的最小值为1，函数 是偶函数，且 .
（1） 求 的解析式；
（2） 若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围.
[B级 综合运用]
10. 已知实数 , 满足等式 ，则下列关系式不可能成立的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数 ，且 是偶函数，则下列大小关系可能正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数 是幂函数，对任意 , ,且 ，满足 ，若 , ，且 ，则 的值( )
A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断
13. 当 时，函数 的值域为 ，且当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
14. 现有三个条件：①对任意的 都有 ;②不等式 的解集为 ；③函数 的图象过点 .请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解.
已知二次函数 ，且满足 .
（1） 求函数 的解析式；
（2） 设 ,若函数 在区间 上的最小值为3，求实数 的值.
注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分.
[C级 素养提升]
15. （多选）已知两个变量 ， 的关系式 ，则以下说法正确的是( )
A.
B. 对任意实数 ，都有 成立
C. 若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
D. 若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
16. 已知二次函数 的最小值为2，其图象关于直线 对称，且 .
（1） 求 的解析式；
（2） 在区间 上， 的图象恒在 图象的上方，试确定实数 的取值范围；
（3） 求函数 在区间 上的最小值 .
2025年高考数学一轮复习-2.4-幂函数与二次函数-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知常数 ，如图为幂函数 的图象，则 的值可以为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由幂函数 的图象关于 轴对称知，函数 是偶函数，排除 ， 选项；再根据幂函数 的图象在第一象限内从左到右下降，可得 ，排除A选项.故选C.
2.已知 ，若 ， ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由 可得 的对称轴为直线 ，
由 ， ，得 ，即 ，
所以 ，故选C.
3.设 ，则“函数 的图象经过点 ”是“函数 在 上单调递减”的( A )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
[解析]选A.函数 的图象经过点 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 在 上单调递减，而 在 上单调递减，函数 的图象不一定经过点 ，如： .
所以“函数 的图象经过点 ”是“函数 在 上单调递减”的充分不必要条件.故选A.
4. （多选）已知幂函数 ,则( ACD )
A.
B. 的定义域是
C. 是偶函数
D. 不等式 的解集是
[解析]选ACD.因为函数 是幂函数，所以 ，得 ,即 , ，故A正确；函数的定义域是 ，故B不正确；因为定义域关于原点对称， ，所以函数 是偶函数，故C正确；易知函数 在 上是减函数，不等式 等价于 ，解得 ，且 ，得 ，且 ，即不等式的解集是 ，故D正确.
5. （多选）已知函数 的定义域为 ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为 ，则实数 的值可以为( BC )
A. B. C. D.
[解析]选BC.函数 是开口向上，对称轴为直线 的抛物线，
因为函数的定义域为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
因为在 内函数的最大值与最小值之和为 ，
所以当 时， 或 ，所以 ，故选BC.
6. 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 .
[解析]当 时，函数 在 上单调递增，符合题意；当 时，函数 是二次函数，又 在 上单调递增，由二次函数性质知， ，
则有 解得 ，所以实数 的取值范围是 .
7.已知① ；② ；③在区间 上单调递减，则同时满足条件①②③的一个函数 （答案不唯一）.
[解析]由题意可知， 的图象关于直线 对称，且在 上单调递减，且 ，可取 满足条件.
8. 已知函数 ，且 ，则 ；若 ，则实数 的取值范围是 .
[解析] ，即 ,所以 ，所以 ，其定义域为 ，且 在 上是增函数.由 可得 解得 ，故实数 的取值范围为 .
9. 已知二次函数 的最小值为1，函数 是偶函数，且 .
（1） 求 的解析式；
[答案]解：因为函数 是偶函数，所以 的图象关于直线 对称.又因为 的最小值为1，所以可设 ,又 ,所以 ，所以 .
（2） 若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围.
[答案]要使 在区间 上单调，则 或 解得 ,所以实数 的取值范围为 .
[B级 综合运用]
10. 已知实数 , 满足等式 ，则下列关系式不可能成立的是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.画出 与 的图象（如图）.设 ，作直线 .由图象知，若 或 ，则 ;若 ,则 ；若 ，则 .
11. 已知函数 ，且 是偶函数，则下列大小关系可能正确的是( A )
A. B.
C. D.
[解析]选A.因为 是偶函数，所以直线 是 图象的对称轴. ，所以 ， ， 均不可能成立，当 时， 是最小值，因此 成立.故选A.
12. 已知函数 是幂函数，对任意 , ,且 ，满足 ，若 , ，且 ，则 的值( A )
A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断
[解析]选A.由题得 ，解得 或 .因为对任意 , ，且 ，满足 ，所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，所以 .若 , ,且 ，则 ,易知 为奇函数且在 上单调递增，所以 ,所以 .故选A.
13. 当 时，函数 的值域为 ，且当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，所以当 时， ，所以 .当 时，不等式 恒成立，即 .当 时， ，当且仅当 时等号成立，所以 ,故 .
14. 现有三个条件：①对任意的 都有 ;②不等式 的解集为 ；③函数 的图象过点 .请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解.
已知二次函数 ，且满足 .
（1） 求函数 的解析式；
[答案]解：条件①：因为 ,
所以 ,
所以 解得
条件②：因为不等式 的解集为 ，所以 解得 且 .
条件③：函数 的图象过点 ，所以 .
若选择条件①②：则 , , ,此时 .
若选择条件①③：则 , , ,此时 .
若选择条件②③：则 , , ,此时 .
（2） 设 ,若函数 在区间 上的最小值为3，求实数 的值.
注：如果选择多个组合分别解答，按第一个解答计分.
[答案]由（1）知 ，其图象的对称轴为直线 ,
（ⅰ）当 ,即 时， ,解得 ,
（ⅱ）当 ，即 时， ,解得 （舍去），
（ⅲ）当 ,即 时， ,无解.
综上所述，实数 的值为 .
[C级 素养提升]
15. （多选）已知两个变量 ， 的关系式 ，则以下说法正确的是( BC )
A.
B. 对任意实数 ，都有 成立
C. 若对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
D. 若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
[解析]选BC.对于选项A， ， ，即 ，则A错误；
对于选项B， ，则B正确；
对于选项C， 恒成立，
即 恒成立，则 ，解得 ,则C正确；
对于选项D， 恒成立，令 ，当 时，该函数看成关于 的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0.当 时， 成立.当 时，该函数看成关于 的一次函数，函数单调递增，令 ,则 ，又 ,所以 恒成立，即 恒成立.则实数 的取值范围是 ，则D错误.故选BC.
16. 已知二次函数 的最小值为2，其图象关于直线 对称，且 .
（1） 求 的解析式；
[答案]解：设 ，由 ,解得 ，
所以 .
（2） 在区间 上， 的图象恒在 图象的上方，试确定实数 的取值范围；
[答案]由题得 ,即 对任意的 恒成立,
设 , ，则只要 即可.
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ,即 ,解得 ,故实数 的取值范围是 .
（3） 求函数 在区间 上的最小值 .
[答案]函数 图象的对称轴为直线 .
当 时， 在 上单调递减，则 ;
当 ,即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ;
当 ，即 时， 在 上单调递增，
则 .
综上，(共45张PPT)
2.4 幂函数与二次函数
课标要求 考情分析
1.通过具体实例，结合 , , , , 的图象，理 解它们的变化规律，了解幂函数. 2.理解并掌握二次函数的图象与性质 （单调性、对称性、最值、顶点 等）. 考点考法：主要考查幂函数与二次
函数的图象和性质，常与指数函
数、对数函数、导数等知识交汇命
题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、
数学运算、直观想象
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数________叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
（2）常见的五种幂函数的图象
（3）幂函数 的性质
①幂函数在 上都有定义；
②当 时，幂函数的图象都过点______和______，且在 上单
调递增；
③当 时，幂函数的图象都过点______，且在 上单调递减.
[提醒] 幂函数的特征：（1）自变量 处在幂底数的位置，幂指数 为常
数；（2） 的系数为1；（3）只有一项.
2.二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
一般式： ；
顶点式： ；
两根式： .
（2）二次函数的图象和性质
解析式
图象 ______________________________ _______________________________
定义域
值域 _____________ ____________
解析式
单调性 在 上单调递减; 在 上单调递增 在 上单调递增;
在 上单调递减
对称性 函数的图象关于直线_ ________对称
续表
[提醒]
二次函数系数的特征
（1）二次函数 中，系数 的正负决定图象的开
口方向；
（2） 的值决定图象对称轴的位置；
（3） 的取值决定图象与 轴的交点；（4） 的正负决定图象与
轴的交点个数.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数 是幂函数.( )
×
（2）当 时，幂函数 在 上是增函数.( )
√
（3）二次函数 不可能是偶函数.( )
×
（4）二次函数 的最值是 .( )
×
2.（人A必修第一册 练习 变条件、变设问）已知幂函数
的图象过点 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 ,又函数 的图象过点 ，所以
，解得 ,则 .
√
3.若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
解析：选C. 的定义域为 ，显然，在
时， ，又值域为 ，根据二次函数图象的对称性知
.
√
4.若函数 在 上为增函数，则 的取值范围是
______.
解析：函数 的图象开口向上，以直线 为对称轴.又函数 在 上为增函数，则 .
5.已知 ，若幂函数 为奇函数，且在
上单调递减，则 ____.
解析：由 为奇函数，知 取 , , .又 在 上单调递减，所以 ，取 .
1.幂函数 的图象在第一象限内的变化规律
（1）直线 的右侧，图象由上至下，指数 由大到小；
（2） 轴和直线 之间，图象由上至下，指数 由小到大.
2.二次函数在闭区间上的最值
设二次函数 ，闭区间为 .
（1）当 时，最小值为 ，最大值为 ;
（2）当 时，最小值为 ，最大值为 ;
（3）当 时，最小值为 ，最大值为 ;
（4）当 时，最小值为 ，最大值为 .
【用一用】
1.若幂函数 , 与 在第一象限内的
图象如图所示，则 与 的取值情况为( )
A. B.
C. D.
√
解析：选D.幂函数 ,当 时， 在 上单调递增，且 时，图象上凸，所以 .当 时， 在 上单调递减.不妨令 ，由图象得 ,则 .综上可知， .
2.已知函数 ，若函数 的定义域和值域均
为 ，则实数 的值为___.
2
解析：因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，所以 , ,解得 .
核心考点 师生共研
02
考点一 幂函数的图象与性质（自主练透）
1.已知点 在幂函数 的图象上，则 是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
解析：选A.设 ,由已知得 ,解得 ,因此
,易知该函数为奇函数.
√
2.若四个幂函数 , , , 在同
一平面直角坐标系中的图象如图所示，则 , , ,
的大小关系是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由幂函数的图象可知，在 上幂函数的指数越大，函数图
象越接近 轴，由题图知 ,故选B.
√
3.已知幂函数 的图象过点 ，设 , ,
，则( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为 为幂函数，故 .因为函数 的图象过点 ，所以 ,解得 .故函数 ,且函数为增函数.因为 ，故 .故选B.
√
4.已知幂函数 的图象经过点 ，则 ___；满
足条件 的实数 的取值范围为_ _____.
1
解析：因为 的图象过点 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
即 ，其定义域为 ，且在定义域上单调递增，
所以由 得 ，
解得 .
幂函数的性质与图象特征的关系
（1）幂函数的形式是 ，其中只有一个参数 ，因此只需一
个条件即可确定其解析式.
（2）判断幂函数 的奇偶性时，当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断.
考点二 二次函数的解析式（师生共研）
例1 已知二次函数 满足 , ,且 的最大值是8，求
二次函数 的解析式.
【解】 方法一（利用二次函数的一般式）：
设 .
由题意得 解得
故所求二次函数为 .
方法二（利用二次函数的顶点式）：
设 .
因为 ,
所以抛物线对称轴为 .
所以 ,又因为 有最大值8,所以 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,解得 ,
所以 .
方法三（利用二次函数的零点式）：
由已知 的两根为 , ,
故可设 ，
即 .
又函数有最大值8，即 .
解得 ，
故所求函数解析式为 .
求二次函数解析式的策略
【对点训练】
1.(2023·广东顺德一中高三阶段练习)已知 是二次函数，且满足
, ，则函数 的解析式为______________
___.
解析：由题意，设 ，因为 ，即
， 所以 ，所以
，
从而有 解得 所以 .
2.(2023·湖南雅礼中学模拟)已知函数 的图象关
于 轴对称，且与直线 相切，则满足上述条件的函数 ______
________________.（答案不唯一，写一个即可）
（答案不唯一）
解析：已知 ，因为 的图象关于 轴对称，
所以对称轴 ，所以 ，所以 ，
联立 整理得 ，
因为 的图象与直线 相切，所以 ，所以 ，
当 时， .
所以满足条件的二次函数可以为 .
考点三 二次函数的图象与性质（多维探究）
[高考考情] 二次函数是高中数学中一个重要的知识点，是每年高考必考的重要考点之一.主要考查二次函数的性质及应用，尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想，多以选择题、填空题的形式出现，属于中低档题目.
角度1 二次函数的图象
例2.（1）(2023·山东济南月考)（多选）已知二次函数
的部分图象如图所示，图象过点
，对称轴为 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
解析：因为题图与 轴交于两点，所以 ，即 ,A正确；对称轴为直线 ，即 , ,B错误；结合题图，当 时， ,即 ，C错误；由对称轴为 知， .根据抛物线开口向下，知 ，所以 ,即 ,D正确.
（2）设函数 ，若 ，则( )
A. B.
C. D.
解析：因为 图象的对称轴为直线 ，
，所以 的大致图象如图所示.
由 ，得 ，
所以 ，所以 .
√
识别二次函数图象应学会“三看”
角度2 二次函数的性质
例3 已知函数 .
（1）当 , 时，求函数 的值域；
【解】 当 时， , ,
函数图象的对称轴为直线 ，
所以 ,
,
所以 的值域为 .
（2）若函数 在 上的最大值为1，求实数 的值.
【解】 函数图象的对称轴为直线 .
①当 ,即 时， ,
所以 ,即 ,满足题意；
②当 ，即 时， ,
所以 ，即 ,满足题意.
综上可知， 或 .
二次函数最值问题的类型及求解策略
（1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动.
（2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可求解.
【对点训练】
1.若 ，则二次函数 的图象可能是( )
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
√
解析：选D.在A中， , , ，不符合题意；B中， ， , ，不符合题意；C中， , ,不符合题意；D中， , ， ,符合题意.故选D.
2.已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范
围为_______.
解析： .
依题意得， ,解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
3.(2023·河南高三阶段练习)已知函数 .若 的定义域
为 ，值域为 ，则 ____.
解析： ，对称轴为直线 ，
当 时， 在 上单调递减，所以
无解；
当 时， 在 上单调递增，
所以
解得 或 ， 或 ，又 ，所以
， ;
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ，解得 ，与 矛盾.
综上所述， ， ，此时 .
