2025年高考数学一轮复习-2.7-函数的图象-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 函数 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是( )
A. B. C. D.
3.已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是( )
A. B. C. D.
4. 定义在 上的函数 满足 .若 的图象关于直线 对称，则下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
5. 不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 则函数 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
7. （多选）关于函数 ，下列结论正确的有( )
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 若 ，但 ,则
D. 函数 有且仅有两个零点
8.若函数 的图象过点 ，则函数 的图象一定经过点 .
9. 利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似如图所示的图形的函数称为 型函数.一个定义域为 且值域为 的 型函数的解析式是 .（写出一个符合题意的即可）
10. 已知函数 的图象由如图所示的两条线段组成，则下列关于函数 的说法：
① ；
② ；
③ ， ；
④ ，不等式 的解集为 .
其中正确的有 .（填序号）
[B级 综合运用]
11. 已知函数 的定义域为 （ ， 为整数），值域为 ，则满足条件的整数对 的个数是( )
A. B. C. D.
12. 若关于 的不等式 （ ，且 ）对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围为 .
13.已知函数 是奇函数，若函数 与 图象的交点分别为 ， ， ， ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为 .
14. 已知函数 , .
（1） 作出函数 的图象；
（2） 写出函数 的单调区间；
（3） 当 时，由图象写出 的最小值.
[C级 素养提升]
15.不等式 的解法之一是在同一直角坐标系中作出 , 的图象，然后求解.请类比并求解以下问题：设 , , ，若对任意 ，都有 ,则 的取值范围是 .
16. 已知函数 ，实数 , 满足 .
（1） 在平面直角坐标系中画出函数 的图象；
（2） 若函数在区间 上的值域为 ，求 的值；
（3） 若函数 的定义域是 ，值域是 ，求实数 的取值范围.
2025年高考数学一轮复习-2.7-函数的图象-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 函数 的图象大致为( A )
A. B.
C. D.
[解析]选A.当 时， , ，所以 ，排除 ， ；
当 时， , ，所以 ,排除B.故选A.
2. 下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.方法一：设所求函数图象上任一点的坐标为 ，则其关于直线 的对称点的坐标为 ，由对称性知点 在函数 的图象上，所以 .
方法二：由题意知，对称轴上的点 既在函数 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除 , , ，故选B.
3.已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题图可知函数 的定义域为 ，所以排除 ， ，
由题图可知， ，
对于A， ，所以排除A，
对于B， ，符合题意，故选B.
4. 定义在 上的函数 满足 .若 的图象关于直线 对称，则下列选项中一定成立的是( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.函数 的图象关于直线 对称，则必有 ，所以 , , .
又因为 满足 ，
取 ，所以 ，即 ，所以 ，D错误.
取 ，则 ，A正确.由已知条件不能判断 ,C.故选A.
5. 不等式 的解集是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.在同一直角坐标系中作出函数 和 的图象，如图所示，当 时，解得 ，由图象知， 的解集是 .故选B.
6. 已知函数 则函数 的大致图象是( D )
A. B.
C. D.
[解析]选D.方法一：先画出函数 的草图（图略），关于 轴对称，再向右平移1个单位长度，得到函数 的图象.故选D.
方法二：由题得 故该函数的图象过点 ,排除A；过点 ，排除B；在 上单调递增，排除C.故选D.
7. （多选）关于函数 ，下列结论正确的有( ABD )
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 若 ，但 ,则
D. 函数 有且仅有两个零点
[解析]选ABD.函数 的图象如图所示.
由图可得，函数 在区间 上单调递增，A正确；
函数 的图象关于直线 对称，B正确；
若取 ，则存在 , ，所以 ，C错误；
由图可知,函数 有且仅有两个零点，D正确.
故选ABD.
8.若函数 的图象过点 ，则函数 的图象一定经过点 .
[解析]由题意得，函数 的图象先关于 轴对称，再向右平移4个单位长度得到函数 .因为点 关于 轴的对称点为 ，再向右平移4个单位长度是 ，
所以函数 的图象一定经过点 .
9. 利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似如图所示的图形的函数称为 型函数.一个定义域为 且值域为 的 型函数的解析式是 （答案不唯一）.（写出一个符合题意的即可）
[解析]根据图象，结合对称性，选择二次函数作为基础函数，由题知，函数为偶函数，且有3个零点 ， ， ，当 时，函数图象所在抛物线的对称轴为直线 ，顶点为 ，则一个满足条件的函数的解析式可以为
10. 已知函数 的图象由如图所示的两条线段组成，则下列关于函数 的说法：
① ；
② ；
③ ， ；
④ ，不等式 的解集为 .
其中正确的有①③.（填序号）
[解析]对于①,由题图可得 ，所以 ，故①正确；
对于②, ，且 在 上为单调递增函数，所以 ，所以 ，故②错误；
对于③,当 时， ， ， ，满足题图；
当 时， ， ，斜率 ，满足题图，故③正确；
对于④,由题意得 的解集为 ，即方程 的根为 ， ，
根据③可得 ，当 时，令 ，解得 ，所以解集为 ，故④错误.
[B级 综合运用]
11. 已知函数 的定义域为 （ ， 为整数），值域为 ，则满足条件的整数对 的个数是( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.由 ，解得 或 ，
由 ，解得 ，
易知当 时， 为增函数，当 时， 为减函数，
其图象如图所示，若使 的定义域为 （ ， 为整数），值域为 ，则满足条件的整数对 有 ， ， ， ， ，共5个.故选D.
12. 若关于 的不等式 （ ，且 ）对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围为 .
[解析]不等式 等价于 .
令 , ,
当 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；
当 时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图②所示，由题意知， ，即 ，解得 ,所以实数 的取值范围是 .
13.已知函数 是奇函数，若函数 与 图象的交点分别为 ， ， ， ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为6.
[解析]因为函数 是奇函数，所以 ,即 ,
所以 关于点 对称，
函数 图象也关于点 对称，所以函数 与 图象的交点也关于点 对称，两个函数有 （个）交点，所以交点的所有横坐标和纵坐标之和为 .
14. 已知函数 , .
（1） 作出函数 的图象；
[答案]解： 其图象如图所示.
（2） 写出函数 的单调区间；
[答案]由图知， 的单调递增区间是 , ；单调递减区间是 .
（3） 当 时，由图象写出 的最小值.
[答案]由图象知，当 ,即 时， ;
当 ，即 时， .
综上，当 时，
[C级 素养提升]
15.不等式 的解法之一是在同一直角坐标系中作出 , 的图象，然后求解.请类比并求解以下问题：设 , , ，若对任意 ，都有 ,则 的取值范围是 .
[解析]类比图象法解不等式，画出 和 的图象，若对任意 ，都有 ，则 应为增函数，所以两个函数图象如图所示，
由图象得 解得
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的取值范围为 .
16. 已知函数 ，实数 , 满足 .
（1） 在平面直角坐标系中画出函数 的图象；
[答案]解：因为函数 ，先作出函数 的图象，然后再利用图象变换作出函数 的图象如图所示.
（2） 若函数在区间 上的值域为 ，求 的值；
[答案]由 解得 或 ,
由 解得 或 ,
由图象可知 只在第一象限内，
所以 ，所以 .
（3） 若函数 的定义域是 ，值域是 ，求实数 的取值范围.
[答案]由题意得 在 的增区间内且 , ，
又 在 上单调递增,
故
即
所以 , 是方程 的两个根，即 ，所以 在区间 上有两个不相等的实数根，设 ，
则
解得 ,
故实数 的取值范围为 .(共51张PPT)
2.7 函数的图象
课标要求 考情分析
1.在实际情境中，会根据 不同的需要选择恰当的方 法（如图象法、列表法、 解析法）表示函数. 2.会运用函数图象理解和 研究函数的性质，解决方 程解的个数与不等式解集 的问题. 考点考法：高考命题考查函数图象的识别与辨
析、函数图象的画法及应用函数图象研究函数
的性质，已知函数解析式选择函数图象是高考
热点，常以选择题形式出现.
核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.描点法作函数图象的步骤
2.函数图象的变换
（1）平移变换
[提醒] 对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，
上加下减.左加右减只针对 本身，与 的系数无关；上加下减指的是在
整体上加减.
（2）对称变换
① _______.
② _______.
③ ________.
④ （ 且 ） _____________.
[提醒] 同底的指数函数与对数函数互为反函数.
（3）翻折变换
① _______.
② _______.
（4）伸缩变换
① _______
② _______.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）函数 为偶函数.( )
×
（2）将函数 的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位
长度得到函数 的图象.( )
×
（3）函数 的图象关于 轴对称,即函数 与 的
图象关于 轴对称.( )
×
2.（人A必修第一册 练习 变条件、变设问）已知图①中的图象是函
数 的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )
A. B. C. D.
√
解析：选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数 的图象在 轴右侧的部分，然后将 轴左侧图象翻折到 轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的函数可能是 .故选C.
3.(2023·重庆育才中学高三阶段练习)已知 ，把 的图
象向左平移2个单位，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变）
得到函数 的图象，则 _________.
解析：根据左加右减原理，把 的图象向左平移2个单位可得 的图象，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变），得到 的图象.
4.若关于 的方程 只有一个解,则实数 的取值范围是________.
解析：由题意得 ,令 其图
象如图所示，故要使 只有一个解，则 .
1.函数图象自身的轴对称
（1） 函数 的图象关于 轴对称；
（2）函数 的图象关于直线 对称
；
（3）若函数 的定义域为 ，且有 ，则函数
的图象关于直线 对称.
2.函数图象自身的中心对称
（1） 函数 的图象关于原点对称；
（2）函数 的图象关于点 成中心对称 ；
（3）函数 的图象关于点 成中心对称 .
3.两个函数图象之间的对称关系
（1）函数 与 的图象关于直线 对称（由
得对称轴方程）；
（2）函数 与 的图象关于直线 对称；
（3）函数 与 的图象关于点 对称；
（4）函数 与 的图象关于点 对称.
【用一用】
1.下列说法正确的是( )
A.若函数 满足 ，则函数 的图象关
于直线 对称
B.若函数 满足 ，则函数 的图象关
于直线 对称
C.当 时，函数 的图象与 的图象相同
D.函数 的图象可由 的图象向左平移1个单位长度得到
√
解析：选A.由函数的性质知A正确，B错误；令 ,则当 时， , , ,故C错误； 的图象向左平移1个单位长度得到 的图象，故D错误.
2.函数 与 的图象关于直线________对称.
解析：由 ，得 ,所以函数 与 的图象关于直线 对称.
核心考点 师生共研
02
考点一 作函数的图象（自主练透）
画出下列函数的图象：
（1） ;
解： 画出 的图象，取
上的一段；画出 的图象，取 上的一段，如图①所示.
（2） （ 表示不大于 的最大整数）;
解： 作出函数的部分图象如图②所示.
（3） ;
解： 的图象是由 的
轴右边的图象和其关于 轴对称的图象组成的，
如图③所示.
（4） .
解： ,故函数的图象可由 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图④所示.
函数图象的画法
考点二 函数图象的识别（师生共研）
例1.（1）(2022·高考全国卷甲)函数 在区间 的
图象大致为( )
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
√
解析：方法一：取 ，则 ；取 ，则 .故选A.
方法二：令 ，则 ，所以函数 是奇函数，排除B，D;取 ，则 ，排除C.故选A.
（2）(2022·高考全国卷乙)如图是下列四个函数中的某个函
数在区间 的大致图象，则该函数是( )
A. B.
C. D.
解析：对于选项B，当 时， ,与图象不符，故排除B;对于选项D，
当 时， ,与图象不符，故排除D;对于选项C，当
时， ,与图象在 轴右侧最高点大于1不符，
故排除C.故选A.
√
（1）抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置;
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势;
③从函数的周期性，判断图象的循环往复;
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
（2）抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决问题.
【对点训练】
1.已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象为( )
A.&5& B.&6&
C.&7& D.&8&
√
解析：选D.易知函数 的定义域为 .由 ，得 ，所以函数 的定义域为 .故排除A,C.又当 时， ，故排除
B.故选D.
2.函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A. , , B. , ,
C. , , D. , ,
解析：选C.由 及图象可知， , ，则 ；当
时， ，所以 ；当 时， ，所以
，所以 .故 , , .故选C.
√
考点三 函数图象的应用（多维探究）
[高考考情] 高考对函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解等，综合性较强.
角度1 研究函数的性质
例2.（1）定义 为 , , 中的最大值，若
，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
√
解析：画出 的示意图，如
图所示.由图可知，当 ，即当 时，
取最小值，最小值为 ,故选C.
（2）（多选）对于函数 ，下列说法正确的有
( )
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
D. 没有最小值
√
√
解析： 为偶函数，A正确，B错误.
作出 的图象如图所示，可知 在 上单调递
减，在 上单调递增，故函数存在最小值 ，C正确，
D错误.
根据图象判断函数性质的基本方法
首先根据函数解析式画出函数图象，然后借助图象分析函数的性质：
（1）从图象的最高点、最低点分析函数的极值、最值；
（2）从图象的对称性分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性.
角度2 解不等式
例3.（1）(2023·陕西西安阶段检测)已知函数 则满
足不等式 的 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
解析：画出 的图象如图所示，要使不等式
成立，
则 或
解得 或 ，
综上可得 .故选C.
（2）设函数 是定义在 上的偶函数，在区
间 上是减函数，且图象过点 ，则不等式 的
解集为____________________.
解析：画出 的大致图象如图所示.
不等式
可化为 或
由图可知符合条件的解集为 .
利用函数的图象解不等式的基本思路
当不等式问题不能用代数法求解但与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解.
角度3 求参数的取值范围
例4 (2023·江苏金陵中学高三模拟)已知函数
若存在唯一的整数 ，使得 成立，则实数 的取值范围为
___________.
解析：作出函数 的图象如图所示.①当 时，
，因为存在唯一的整数 ，使得
成立，所以 只有1个整数解，又
，所以 ；
②当 时，则 ，
因为存在唯一的整数 ，使得 成立，
所以 只有1个整数解，又 ， ，所以 ；
所以当 或 时， 只有1个整数解.
当参数的不等式关系不易找出时，可将函数（或方程）等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.
【对点训练】
1.（多选）设函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 恒有
，已知当 时， ，则下列结论正
确的是( )
A. 是函数 的周期
B.函数 在 上单调递减，在 上单调递增
C.函数 的最大值是1，最小值是0
D.当 时，
√
√
√
解析：选ABD.由已知条件得 ,
则 是以2为周期的周期函数，A正确；当
时， ,
，画出函数 的部分图象如图所示.由图象
知B正确，C错误；当 时， ,
,D正确.故选ABD.
2.(2023·江西南昌模拟)已知函数 若
恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选B.在同一坐标系内作出 与 的图象（图略），
当射线 与曲线
相切，即方程 只有一个解时，
由 ，解得 ，结合图象可得当 时，
，所以实数 的取值范围是 ，故选B.
√
