陕西省渭南市韩城市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

陕西省渭南市韩城市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．数列1，，5，，…的第9项是( )
A. B.19 C. D.17
2．已知函数在处的导数为3，则( )
A.6 B.3 C. D.
3．已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4．已知等差数列的前n项和为，若，，则当取得最小值时，( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于的描述一定正确的是( )
A.在区间上单调递减 B.当时取得最大值
C.在区间上单调递减 D.当时取得最小值
6．已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
7．设函数，若且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
8．风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已有2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱某团队耗时3个多月做出一长达180米、重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列）.则所有鳞片中竹质鳞片个数为( )
A.120 B.124 C.128 D.130
二、多项选择题
9．若数列为递增数列，则的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
10．已知函数，则下列结论中正确的是( )
A.，
B.函数可能无极值点
C.若是的极值点，则.
D.若是的极小值点，则在区间单调递减
11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，若，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.数列中的最大值是 D.数列无最大值
三、填空题
12．已知函数，则在处的导数为______.
13．在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为______.
14．设且，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是______.
四、解答题
15．求下列函数的导数：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
16．已知等比数列的前n项和为，公比，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
17．已知函数，.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在上恒成立，求a的取值范围.
18．若数列满足条件：存在正整数h，使得，对一切，都成立，则称数列为k级等差数列.
（Ⅰ）若数列为1级等差数列，，，求数列的前n项和；
（Ⅱ）若数列为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求、及数列的前2024项和.
19．已知函数，，其中e是自然对数的底数，
（Ⅰ）当1时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可知，该数列可用表示，
故.
故选：D.
2．答案：A
解析：由题意可得，
则
故选：A.
3．答案：C
解析：
4．答案：B
解析：，则，，
则，故当取得最小值时，.
故选：B.
5．答案：C
解析：由图可知，时，，为增函数；时，，为减函数；当时，有极大值，不一定为最大值；时，，为增函数；当时，有极小值，不一定为最小值；时，，为减函数，综上可得只有C正确.
故选：C.
6．答案：D
解析：
当时，，
当时，
，，，
当时也成立，
故选：D.
7．答案：A
解析：，则函数为偶函数，
当时，，则函数在上单调递增，
又，且，
则，故.
故选：A.
8．答案：B
解析：根据题意，分析可得：第n个碳杆材质的鳞片和第个碳杆材质的鳞片之间有n个竹质鳞片，假设有n个碳杆材质的鳞片鳞片，，由已知可得①
如果只有个碳杆材质的鳞片，则骨架总数少于140，
所以②，
联立①②可得：且，又，解得，即需要16个碳杆材质的鳞片，
故需要个竹质鳞片.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A，，所以数列为递增数列；
对于B，，所以数列为递增数列；
对于C，，所以数列不是递增数列；
对于D，，所以数列为递增数列.
故选ABD
10．答案：ABC
解析：函数，当时，，当时，，
又连续，所以，，A正确；
当时，在R上单调递增，无极值点，故B正确；
三次函数是连续的，若是的极值点，则，故C正确；
若是的极小值点，可能还有极大值点，若，
则在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABC
解析：，，且，则，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于CD，，，，则数列中的最大值是，故C正确，D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：，，即，
，则在处的导数为.
13．答案：35
解析：正项等比数列中，为其前n项和，故，，成等比数列；由于，，所以，解得.
故答案为：35.
14．答案：
解析：当时，由指数函数的性质可知与只有一个交点，不满足题意；
当时，
设，则在上有2个根，
因为，易知在上单调递增，
设，即有，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以
所以，即，，
，，，
解得，
综上，.
故答案为：.
15．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
16．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）证明见解析
解析：（Ⅰ）等比数列中，由于，，
则有，解得，或，（舍去），
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，，
，
.
17．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）当时，，
则，，
，
曲线在点处的切线方程为，即.
（Ⅱ）在上恒成立，
等价于在上恒成立，即，
令，则，
当时，，当时，，
在上的极小值点为，也是最小值点，
，
，即a的取值范围为.
18．答案：（Ⅰ）；
（Ⅱ），，
解析：（Ⅰ）若数列为1级等差数列，即为对一切，都成立.
则数列为等差数列，设公差为d，
由，，可得，
则.
（Ⅱ）由数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，
可得对一切，都成立.
，，
，
可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列，偶数项是首项为0、公差为3的等差数列，则
.
19．答案：（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为1，无极大值；
（Ⅱ）存在，，
解析：（Ⅰ）当时，
，，
当时，则单调递减；
时，则单调递增.
函数的极小值为，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，的极小值为1，无极大值.
（Ⅱ）假设存在实数a，使得的最小值是3，
，.
①当时，，，
故在上单调递减，
，解得（舍去）；
②当，即时，
当时，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
，解得，满足条件；
③当时，即时，对任意的，，
故在上单调递减，
，解得（舍去）.
综上，存在实数，使得当时的最小值是3.