第 17 讲 功和功率
——划重点之精细讲义系列
考点 1 功的正负判断和计算
考点 2 变力功的计算
考点 3 功率的计算
考点 4 机车启动问题
考点 1：功的正负判断和计算
一．功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcos α，适用于恒力做功，其中 α 为 F、l 方向间夹角，l 为物体对地的位移．
3．功的正负判断
夹角 功的正负
α<90° 力对物体做正功
α>90° 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90° 力对物体不做功
4．判断力是否做功及做正、负功的方法
恒力做功的判断 若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断
若物体做曲线运动，依据 F 与 v 的方向夹角来判断。当 0≤α<90°，力对物
曲线运动中功的判断
体做正功，90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功
动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即 W 合＝Ek 末－Ek 初，当动
根据动能的变化
能增加时合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功
依据能量变化来判断 根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常
用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断
5.恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用 W＝Flcos α 计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力 F 合，再用 W 合＝F 合 lcos α 求功．
方法二：先求各个力做的功 W1、W2、W3、…，再应用 W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的
功．
【考向 1】如图所示，小球通过细线悬挂于车厢内的 O 点，在车厢内左右摆动，车厢始终水平向右
匀速运动，小球从左侧最高点运动到最低点过程中，以地面为参考系，则（ ）
A．细线对车厢不做功 B．细线对车厢做正功
C．细线对小球不做功 D．细线对小球做正功
【答案】D
【详解】对小球和车厢的受力分析如答图所示，其中 1为细线对车厢的拉力， 2为细线对小球的拉
力。以地面为参考系，小球从左侧最高点运动到最低点过程中， 1与车厢运动方向的夹角始终为钝
角，则细线对车厢做负功； 2与小球运动方向的夹角始终为锐角，则细线对小球做正功。
故选 D。
【考向 2】如图所示，水平路面上有一辆质量为 M 的汽车，车厢中有一质量为 m 的人正用恒力 F 向
前推车厢，在车以加速度 a 向前加速行驶距离 L 的过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．人对车的推力 F 做的功为 FL B．车对人做的功为
C．车对人的摩擦力做的功为( + ) D．车对人的作用力大小为 ma
【答案】D
【详解】A．根据功的定义可知，人对车的推力 F 做的功为
=
故 A 正确；
B．根据牛顿第二定律可知，车对人的合力为
1 =
方向向前，所以车对人做的功为
1 =
故 B 正确；
C．根据牛顿第二定律可得
=
所以车厢对人的摩擦力大小为
= +
方向向前，则摩擦力做功为
= = ( + )
故 C 正确；
D．车厢对人有三个作用力：竖直向上的支持力，大小为 ；水平向后的推力，大小为 ；水平向
前的摩擦力，大小为 + 。所以车对人的合力大小为
合 = ( )2 + ( )2
故 D 错误。
本题要求选择不正确的，故选 D。
【考向 3】如图所示，水平旋转魔盘上的物块 A，当魔盘转动的角速度 = ( > 0)时，物块 A 相
对转台静止。关于这种情况下物块 A 的情况，下列说法正确的是（ ）
A．物块 A 所受到的摩擦力越来越大
B．物块 A 受重力、台面的支持力、指向圆心的摩擦力
C．物块 A 的向心加速度大小可能不变
D．魔盘对物块 A 永远不做功
【答案】A
【详解】A．物块 A 逐渐加速，则指向圆心的摩擦力
2向 =
随角速度的增加，切向速度也逐渐增加，则摩擦力越来越大，选项 A 正确；
B．物块 A 受重力、台面的支持力、因物块受指向圆心和沿切线方向的摩擦力分量，则摩擦力方向
不是指向圆心，选项 B 错误；
C．物块 A 的向心加速度大小
2向 =
逐渐增加，选项 C 错误；
D．物块动能增加，则魔盘对物块 A 做正功，选项 D 错误。
故选 A。
【考向 4】如图所示，质量为 m 的物体置于倾角为 θ 的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为 μ，
在外力作用下，斜面以加速度 a 沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体 m 与斜面体相对静止。
则关于斜面对 m 的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是（ ）
A．支持力一定不做正功 B．摩擦力一定做负功
C．摩擦力一定做正功 D．摩擦力可能不做功
【答案】D
【详解】A．支持力垂直斜面向上，与运动方向夹角为锐角，根据
= cos
则支持力做正功，A 错误；
BC．若摩擦力为零，根据牛顿第二定律
tan =
即摩擦力不做功。若加速度较小，则摩擦力沿斜面向上，做负功；若加速度较大，则摩擦力沿斜面
向下，做正功，BC 错误，D 正确。
故选 D。
【考向 5】如图所示，木块 B 上表面是水平的，当木块 A 置于 B 上，并与 B 保持相对静止，一起沿
固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中（ ）
A．A 所受的合外力对 A 不做功 B．B 对 A 的弹力做正功
C．B 对 A 的摩擦力做正功 D．A 对 B 做正功
【答案】C
【详解】A．木块向下加速运动，故动能增加，由动能定理可知，木块 A 所受合外力对 A 做正功，
故 A 错误；
B．B 对 A 的弹力竖直向上，与位移夹角大于 90°，则 B 对 A 的弹力对 A 做负功，选项 B 错误；
C．因为 A、B 整体具有沿斜面向下的加速度，则加速度有水平向左的分量，则物块 A 所受 B 的摩
擦力水平向左，由于此摩擦力与位移的夹角小于 90°，则 B 对 A 的摩擦力做正功，选项 C 正确；
D．设整体的加速度为 a，则
a=gsinθ
将 a 正交分解为竖直方向分量 a1，水平分量 a2，如图所示，
对滑块 A，由牛顿第二定律得：竖直方向上
mg-N=ma1
水平方向上
f=ma2
假设摩擦力与弹力的合力与水平方向夹角为 α，由几何关系得
a1=gsinθsinθ
a2=gsinθcosθ
tan =
联立得
cos
tan = sin =tan( 2 )
即 α+θ=2，所以 B 对 A 的作用力与斜面垂直，所以 A 对 B 作用力也垂直斜面向下，即 A 对 B 不做功，
故 D 错误。
故选 C。
【考向 6】如图，在电梯中有一固定放置的倾角为 θ 的斜面，斜面上放置一个质量为 m 的物体，二
者以相同的加速度 a 匀加速上升了高度 h，且物体和斜面始终保持相对静止，在这一过程中，下列
说法正确的是（ ）
A．斜面支持力对物体做的功为 ( + ) cos2
B．斜面对物体的摩擦力做的功为 ( + ) cos2
C．斜面对物体做功为 mah
D．合力对物体做的功为 mah
【答案】AD
【详解】AB．对 m 受力分析如图
水平和竖直方向分别由动力学方程
sin cos = 0
cos + sin =
解得
= ( + )cos
= ( + )sin
根据定义分别计算出二者的做功
F = cos = ( + ) cos2
f = cos(90° ) = ( + ) sin2
故 A 正确，B 错误；
CD．斜面对物体有 2 个力，所以做功为二者之和
= ( + )
合力做功由斜面对物体做的正功和重力做的负功两部分之和
合 =
再根据牛顿第二定律
合 =
同样可得
= ( + )
故 C 错误，D 正确。
故选 AD。
考点 2：变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样
就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段，常应
用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
【考向 7】（2023·海南·一模）如图所示，用一个大小不变的力 拉着滑块（视为质点）使其沿半
径为 的水平圆轨道匀速运动半周，若力 的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成60°夹角，则
力 做的功为（ ）
A ． 2 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】将力 分解为切线方向和径向方向两个分力，其中径向方向始终与速度方向垂直，不做功，
切线方向分力始终与速度方向相同，则滑块匀速运动半周，力 做的功为
= cos60° = 2
故选 A。
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用 W＝Flcosα 求解。此法常常应用于轻绳通过
定滑轮拉物体的问题中。
【考向 8】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮 O
（滑轮大小可忽略）。现以大小不变的拉力 F 拉绳，使滑块从 A 点起由静止开始上升。滑块运动到 C
点时速度最大。已知滑块质量为 m，滑轮 O 到竖直杆的距离为 d，∠ ′ = 37 ，∠ ′ = 53 ，重
力加速度为 g。下列说法不正确的是（ ）
A 5．拉力 F 的大小为4
B．滑块由 A 到 C 做匀加速运动
C．滑块由 A 到 C 5过程中拉力 F 做的功为6
D．滑块在 C 1点的动能为9
【答案】ABC
【详解】A．滑块运动到 C 点时速度最大，此时加速度为零，则有
cos53 =
解得，拉力为
5
= 3
故 A 错误；
B．滑块运动过程中，设绳与竖直杆在竖直方向的夹角为 ，则根据牛顿第二定律有
cos =
可知，滑块在向上运动过程中， 逐渐增大，则加速度 a 逐渐变化，所以滑块做非匀变速运动，故 B
错误；
C．滑块由 A 到 C 过程中拉力 F 做的功为
5 25
F = （ ) = ( sin37 sin53 ) = 12 = 36
故 C 错误；
D．滑块由 A 到 C 过程，根据动能定理有
F = k
根据几何知识可得
7
= tan37 tan53 = 12
解得，滑块在 C 点的动能为
25 7 1
k = 36 12 = 9
故 D 正确。
本题选不正确的，故选 ABC。
方法三 利用 F x 图象求变力的功
在 F–x 图象中，图线与 x 轴所围“面积”的代数和就表示力 F 在这段位移所做的功，且位于 x 轴
上方的“面积”为正，位于 x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如
三角形、矩形、圆等规则的几何图形）。
【考向 9】（多选）（2024·四川成都·一模）如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速度
顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙面连接，另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后
置于传送带最左端无初速度释放，工件向右运动受到的摩擦力 Ff 随位移 x 变化的关系如图乙所示，
x0、Ff0为已知量，则下列说法正确的是（工件与传送带间的动摩擦因数处处相等）（ ）
A．工件在传送带上先做加速运动，后做减速运动
B．工件向右运动 2x0后与弹簧分离
C f0．弹簧的劲度系数为 0
D．整个运动过程中摩擦力对工件做功为0.75 f0 0
【答案】BD
【详解】A．从图乙可知，摩擦力在 0处方向发生变化，在 0 2 0区间工件的摩擦力大小发生变化，
说明工件与传送带相对静止，故工件先做加速运动后做匀速运动，故 A 错误；
B．在 0 2 0区间摩擦力大小等于弹簧弹力大小，2 0位置摩擦力为零，所以弹力为零，所以工件
运动2 0后与弹簧分离，故 B 正确；
C．由胡克定律得
0 = 0.5 f0
解得弹簧的劲度系数
= f02 0
故 C 错误；
D．摩擦力对工件先做正功后做负功，图乙图像与 x 轴围成的面积在数值上等于摩擦力对工件做的
功，即
1
= f0 0 2 × 0.5 f0 0 = 0.75 f0 0
故 D 正确。
故选 BD。
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，
F1＋F2
则可以认为物体受到一大小为 F＝ 的恒力作用，F1、F2 分别为物体初、末态所受到的力，然2
后用公式 W＝Flcosα 求此力所做的功。
【考向 10】一遵从胡克定律、劲度系数为 k 的弹性轻绳，绕过固定于平台边缘的小滑轮 A，将
其一端固定于 O 点，另一端系一质量为 m 的小球，静止于 M 处。已知 OA 的距离恰为弹性绳原长，
现将小球拉至与 M 等高的 N 处静止释放，MN 的距离为 d，则小球从释放到与平台右侧面碰撞前的
过程中（不计空气阻力及绳子和滑轮间的摩擦，小球视为质点，弹性绳始终在弹性限度内，重力加
速度为 g）（ ）
A
2
．小球的最大速度为
B 2
2
．小球的最大速度为
C ．小球的最大加速度为2
D
2
．小球的最大加速度为 ( ) + 2
【答案】A
【详解】AB．根据受力分析可知，小球在 N 到 M 的过程中，只受重力和弹力，且从 N 到 M 的过程
中只有弹力在水平方向的分力做功，且弹力和位移成线性关系，因此可得
1 1
2 =
2
2
解得最大速度为
2
=
A 正确 B 错误；
CD．小球的最大加速度时，即合力最大，为一开始释放的时候，因为小球最后静止于 M 点，因此
弹力在竖直方向分力，与重力相等，水平分力，为合力，所以可得
=
解得
=
CD 错误。
故选 A。
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。
使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。
【考向 11】（2020·陕西·二模）如图，一半径为 R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高。
质量为 m 的质点自轨道端点 P 由静止开始滑下，滑到最低点 Q 时，对轨道的正压力为 2mg，重力加
速度大小为 g。则质点自 P 滑到 Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为（ ）
A 1．2mgR B
1
．3mgR C
1mgR D 1．4 ．5mgR
【答案】A
【详解】质点经过 Q 点时，由重力和轨道的支持力提供向心力，由牛顿第二定律得
2
=
解得
=
质点自 P 滑到 Q 的过程中，由动能定理得
1
= 2f 2
得克服摩擦力所做的功为
1
f = 2
故 A 正确，BCD 错误。
故选 A。
考点 3：功率的计算
一.功率
1.定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2.物理意义：标量，描述力对物体做功的快慢。只有正值，没有负值。
W
3.定义式：P＝ ，P 为时间 t 内的平均功率。
t
4.单位：国际单位是瓦特，符号是 W，常用的单位还有 kW。
二.平均功率和瞬时功率
区别 平均功率 瞬时功率
定义 在某一段时间内或某一过程的功率 在某一时刻或某一位置时的功率
反映物体在某一段时间内做功的快
意义 反映物体在某一时刻做功的快慢
慢
①利用公式 P＝Fvcos α，其中 v 为 t 时刻的瞬
W 时速度。
①利用 p ＝ 。
t ②P＝FvF，其中 vF 为物体的速度 v 在力 F 方
计算 ②利用 p ＝F v cos α，其中 v 为物
向上的分速度。
体运动的平均速度。 ③P＝Fvv，其中 Fv 为物体受到的外力 F 在速
度 v 方向上的分力。
三、额定功率和实际功率
额定功率 实际功率
定义 发动机正常条件下长时间工作时的最大功率 机械实际工作时输出的功率
不同机械额定功率可能不同，但同一机械额定
特点 同一机械实际功率随工作情况而变化
功率不变
联系 为了机械的安全，P 额 ≥ P 实。
3．公式 P=Fv 的制约关系
定值 各量的关系 应用
F 一定 P 与 v 成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获
v 一定 F 与 P 成正比
得较大牵引力
汽车在额定功率下行驶，要增大牵引力，则必须降低行驶速度；
P 一定 F 与 v 成反比
反之则必须减小牵引力
【考向 12】质量为 m 的物块在同一竖直平面内的几个共点力作用下处于静止状态。现将其中一个与
水平方向成 60°角的力 F 突然增大到 2F，其他力保持不变，则在 t 秒末，该力的瞬时功率为（ ）
A
2 2 2 2 2
．2 B． C
D 4 ． ．
【答案】B
【详解】将其中一个与水平方向成 60°角的力 F 突然增大到 2F，物体受到的合力为 F，并沿该力方
向做匀加速直线运动，在 t 秒末，其速度为
=
该力的瞬时功率为
2 2
= 2 =
故选 B。
【考向 13】（2024·北京海淀·二模）如图 1 所示，某同学在表面平坦的雪坡下滑，不借助雪杖，能一
直保持固定姿态加速滑行到坡底。该同学下滑情境可简化为图 2，雪坡倾角为 α，人可视为质点，图
中用小物块表示，下滑过程中某一时刻滑行的速度 v 的方向与雪坡上所经位置的水平线夹角为 β
（β<90 ），已知该同学和滑雪装备的总质量为 m，滑雪板与雪坡之间的动摩擦因数为 ，重力加速
度为 g，不计空气阻力。关于该下滑过程，下列说法正确的是（ ）
A．该同学所受摩擦力小于 μmgcosα
B．该同学所受摩擦力的方向不变
C．该同学沿 v 的方向做匀加速直线运动
D．该同学所受重力的瞬时功率一直在增加
【答案】D
【详解】A．垂直斜面方向，人对斜面的正压力大小为
N = cos
所以滑动摩擦力
= N = cos
大小不变，故 A 错误；
BC．正视斜面，在斜面内有平行斜面向下的重力的分力 sin 和与 v 反向的滑动摩擦力 f，会发现
f 与 sin 的合力与 v 不共线，人做曲线运动，即速度方向在变化，所以 f 的方向也变化，故 BC 错
误；
D．由于人加速下滑，所以 f 与 sin 的合力与 v 成锐角，且做曲线运动，所以随着下滑 v 增大，
且与 sin 夹角减小，重力的功率也增大，即
= sin × cos
所以 P 增大，故 D 正确。
故选 D。
【考向 14】（2024·山东济南·二模）如图所示为古代的水车，该水车周边均匀分布着 N 个盛水的容
器，容器到水车大圆转轴的距离为 R。在流水的冲力作用下，水车以 n 转/分的转速匀速转动，当装
满水的容器到达最高处时将水全部倒入水槽中。设每个盛水容器装入水的质量均为 m，忽略容器装
水给水增加的动能和水车浸入水的深度，不计一切摩擦。已知重力加速度为 g，则水车运水的功率
为（ ）
A B C 120 ． 30 ． 60 ． D．2
【答案】A
【详解】水车每秒转动的圈数为60，水车转动一圈对水做的功 = 2 ，则水车的功率
= 1 × 60 = 2 × 60 = 30
故选 A。
【考向 15】（多选）手动挡汽车最大的驾驶乐趣就是自己能随时控制挡位，加速时可以二挡 2000 转，
也可以二挡 4000 转．把挡位推入后带来的不同动力感受，有人车合一的感觉．自己有什么操作，车
辆就有什么反馈，做一些降挡补油、跟趾动作等等，很有成就感．如图所示，为轿车中的手动变速
杆，若保持发动机输出功率不变，将变速杆推至不同挡位，可获得不同的运行速度，从“1”~“5”挡速
度增大，R 是倒车挡，某型号轿车发动机的额定功率为60kW，在水平路面上行驶的最大速度可达
180km/h，假设该轿车在水平路面上行驶时所受阻力恒定，则该轿车（ ）
A．以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“1”挡
B．该车在水平路面上行驶时所受阻力大小为900N
C．以额定功率在水平路面上以最大速度行驶时，其牵引力为1200N
D．改变输出功率，以54km/h的速度在同一水平路面上匀速行驶时，发动机的输出功率为35kW
【答案】AC
【详解】A．由功率的公式有
=
当车的功率不变时，其速度越小，其牵引力越大，所以当以最大牵引力爬坡时，变速杆应推至“1”档，
故 A 项正确；
BC．当车的牵引力等于车所受的阻力时，其达到最大速度，有
= max = max
解得
= = 1200N
故 B 错误，C 正确；
D．车匀速行驶，所以此时牵引力等于阻力，即
′ = = 1200N
根据功率公式有
输出 = ′ ′
解得
输出 = 18kW
故 D 错误。
故选 AC。
【考向 16】（2024·山东济宁·三模）某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的
方向可调节。该喷灌机的最大功率为 = 2000W，喷灌机所做功的75%转化为水的动能，喷口的横
截面积 = 30cm2，水的密度 = 1 × 103kg/m3，重力加速度 = 10m/s2， = 3.14，喷口距离地面
的高度 = 0.55m，忽略空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求：
（1）喷灌机的最大喷水速度 v；
（2）喷口出水速度方向与水平面夹角 = 30°时，该喷灌机的最大喷灌面积 m。（保留三位有效数字）
【答案】（1）10m/s；（2）285m2
【详解】（1）设在 t 时间内从喷口处喷出水的质量为 m，则
Δ = Δ
由能量关系
1
75% Δ = 2 Δ
2
解得
v=10m/s
（2）喷口出水速度方向与水平面夹角 = 30°时，则
1
= sin30 22
= cos30
该喷灌机的最大喷灌面积
m = 2
解得
Sm=285m2
考点 4：机车启动问题
1.以恒定功率起动[
汽车从静止开始以额定功率起动，开始时由于汽车的速度很小，由公式 P = Fv 知：牵引力 F 较
大，因而由牛顿第二定律 F– f = ma 知，汽车的加速度较大。随着时间的推移，汽车的速度将不断
增大，牵引力 F 将减小，加速度减小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍在不断
增大，牵引力将继续减小，直至汽车的牵引力 F 和阻力 f 相平衡为止。汽车的牵引力 F 和阻力 f 平
衡时，F–f = 0，加速度 a＝0，汽车的速度达到最大值 vm。汽车的运动形式是做加速度越来越小的
变加速直线运动，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。
2.以恒定牵引力起动
由于牵引力 F 恒定，根据牛顿第二定律 F–f = ma，可知：加速度 a 恒定，汽车作匀加速直线
运动，随着时间的推移，实际功率将不断增大．由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车的
匀加速直线运动只能维持到其实际功率等于其额定功率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动
阶段的最大速度 v1，其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加速，其运动方式和第一种起动形
式完全相同，即汽车继续做加速度越来越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速直线运动状态，
速度达到最终的最大速度 vm。汽车的起动过程经历了两阶段：一是匀加速直线运动阶段，二是变加
速直线运动阶段，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。
3.三个重要关系式
P P
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即 vm Fmin F阻
（式中 Fmin为最小牵引力，其值等于阻力 F 阻）。
P 额
（2）匀加速启动持续时间的求法：牵引力 F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度 v′m＝ ，时间ma＋Ff
v′m P P
t＝ 。匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），速度不是最大，即 v＝ ＜v ＝ 。
a F m F 阻
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功 W＝Pt。由动能定理：Pt－F 阻 x＝ΔEk．此式经常
用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
（1）汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时速度 vt=v0+at（v0=0）；汽车做匀加速直线运动
所能维持的时间 t1=vm/a 。
（2）汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时功率 Pt=Fvt＜P 额。
（3）汽车在匀加速直线运动阶段结束时，瞬时功率 pt 等于额定功率 P 额，且满足 pt=P 额=Fv1。
（4）汽车在变加速直线运动阶段功率恒为额定功率，进入匀速直线运动时牵引力和阻力平衡，
有 pt=P 额=Fvm。
1 2
（5）从能的角度看：对于匀加速直线运动阶段，根据动能定理有W牵－fs1 mv1 （W 牵、2
s1分别表示匀加速运动阶段牵引力所做的功、位移 ），变加速直线运动阶段牵引力所做的功 W'牵= P
额 t
1 1
2（t2表示变加速直线运动阶段所经历的时间），W －fs 2 22 mvm mv1 （s2为变加速直线运牵 2 2
动阶段的位移）。
（6）在用公式 P＝Fv 计算机车的功率时，F 是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力，也
不是阻力。
（7）匀加速过程结束时机车的速度并不是最后的最大速度。因为此时 F>F 阻，所以之后还要在
功率不变的情况下变加速一段时间才达到最后的最大速度 vm。
【考向 17】汽车在平直公路上以速度 0匀速行驶，发动机功率为 P， 1时刻进入另一足够长的倾斜
路面，如图，若保持功率 P 继续行驶，到 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动。假设汽车运动过程
中阻力（不包含重力沿斜面的分力）大小保持不变，下列图像中能正确表示该汽车运动过程速率 v
随时间 t 变化的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】匀速行驶时
P=F0v0
此时阻力等于牵引力
f=F0
若 1时刻进入另一足够长的倾斜路面，由于多了一与速度方向相反的重力下滑分力，汽车开始做减
速运动，功率不变，根据 P=Fv 可知，牵引力会增加。
在斜面上，以沿斜面向下为正方向，根据牛顿第二定律有
+ + sin =
则该过程是加速度减小的减速运动。当加速度再次为零时，有
′ = + sin > 0
根据 P=Fv 可知，此时速度小于 0。
故选 A。
【考向 18】（2024·山东济南·一模）如图所示为我国自主研发的第一台全地面起重机 QAY25，起重
范围从 25t 到 2600t 1。若该起重机由静止开始竖直提升质量为 200t 的物体，其 图像如图所示，不
计其它阻力，g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．起重机的额定功率为 = 2.4 × 106W B．重物上升的最大速度 m = 15m/s
C．重物 0~10s 内做匀加速直线运动 D．7s 内起重机对重物做的功为 = 1.08 × 108J
【答案】D
【详解】C．由图像可知重物匀加速运动的时间为
10
= = 2 s = 5s
可知重物 0~5s 内做匀加速直线运动，故 C 错误；
A．根据牛顿第二定律与功率表达式可得
= ， =
联立可得
1
=
由 1 图像的斜率可得
12
= 0.1 = 120
解得起重机的额定功率为
= 2.4 × 107W
故 A 错误；
B．当牵引力等于重力时重物有最大速度，则重物的最大速度
m = = 12m/s
故 B 错误；
D．0 5s内设起重机对重物做的功为 1，对重物由动能定理得
1
1 = 22
1
= 2
1
2 = 2 × 2 × 5
2m = 25m
解得
1 = 6 × 107J 5s后起重机功率恒定，那么5 7s内起重机对重物做的功为
72 = 2 = 4.8 × 10 J
那么7s内起重机对重物做的功为
= 1 + 2 = 1.08 × 108J
故 D 正确。
故选 D。
【考向 19】（多选）（2024·湖南常德·一模）新能源汽车指采用非常规车用燃料作为动力来源的新型
汽车。比如纯电动汽车以电池模组和电动机为主要动力装置，有节能减排、低噪音、高效率等优点，
是未来汽车产业的重要发展方向。现已知质量为 M 的新能源汽车由静止出发做匀加速直线运动，经
过时间 t 后，该汽车的运行里程为 L，此时发动机恰好到达额定功率 P，汽车所受的阻力恒定，达到
额定功率后，汽车保持额定功率做变加速运动，最后以 1匀速运动，对此下列说法正确的是（ ）
A 2 ．汽车所受阻力为 B．汽车做匀加速运动时的加速度1 2
C 1 2
2
．到达速度 1时，发动机做功为 22 1 D．存在关系式 1 = 3 4 2
【答案】ABD
【详解】A．由题意，汽车最后以 1匀速运动，则有
= 1 = 1
整理可得有轨电车所受阻力为
= 1
A 正确；
B．因为电车由静止出发做匀加速直线运动，经过时间 t 后，该有轨电车的运行里程为 L，根据位移
与加速度的关系可得
1
= 2
2
解得有轨电车做匀加速运动时的加速度为
2
= 2
B 正确；
C．到达速度 1时，发动机做功转化为电车的动能和克服阻力做的功，可知发动机做功大于动能的
增加量
1
> 2
2
1
C 错误；
D．由题意，根据牛顿第二定律可得
=
整理可得有轨电车所受阻力为
2
= = = 2 2
当电车匀速运动时，阻力和动力相等，故可得
2 2
1 = = 3 4 2
D 正确。
故选 ABD。
【考向 20】（多选）2021 年 10 月 25 日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树
立了一面“中国高端制造”的新旗帜。若该起重机某次从 = 0时刻由静止开始向上提升质量为 m 的物
体，其 图像如图乙所示， 1时达到额定功率， 1~ 2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速
度为 g，不计其它阻力，下列说法正确的是（ ）
A．0~ 1时间内物体处于失重状态
B．0~ 11时间内起重机对物体做功为2 ( 0 1)
2
2C ．该物体的最大速度为 + 0 10 1
D．0~ 2时间内起重机对物体做功为( + 0) 0 1
1
2 2 1
【答案】CD
【详解】A．0~ 1时间内物体有向上的加速度，物体处于超重状态，故 A 错误；
B．0~ 1时间内起重机对物体做功为
1 1 1 +
1 = 2
2 + = 2 ( 0 1)
2 + 2 0
2 0
1 = 2 0
2
1
故 B 错误；
C．根据牛顿第二定律
=
0~ 1时间内起重机对物体牵引力为
= 0 +
起重机的最大功率为
= = 0 1 = ( 0 + ) 0 1
该物体的最大速度为
2
m = = 0
0 1
1 +
故 C 正确；
D． 1~ 2时间内起重机对物体做功为
2 = ( 2 1) = ( 0 + ) 0 1( 2 1)
0~ 2时间内起重机对物体做功为
1
= 1 + 2 = ( + 0) 0 1 2 2 1
故 D 正确。
故选 CD。
【考向 21】（多选）如图所示，质量 m=2kg 的物体（可看质点）静置在倾角为 37°粗糙斜面上的 A
点，现利用固定在 B 点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从 A 点拉升到斜面
顶端 O 点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数 μ=0.25，轻绳可承受最大
的力 F=20N，电动机的额定功率 P=320W，AO 的距离 s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面
顶端 O 点，且物体到达 O 点前已经达到最大速度。则（已知 sin37°=0.6，重力加速度取 g=10m/s2）
（ ）
A．物体运动过程中的最大速度 v=16m/s
B．物体上升过程中最大的加速度 a 2m=2m/s
C．在将物体从 A 拉到 O 点的过程中，电动机共做功 3200J
D．物体从 A 运动到 O 共用时 14s
【答案】BCD
【详解】A．对物体受力分析，当
= sin + cos = 16N
拉力最小，速度最大，根据
= m
代入数据解得
m = 20m/s
故 A 错误；
B．根据
=
物体向上加速，拉力 F 越来越小，故当 F=20N 时，加速度最大，根据牛顿第二定律有
sin cos = m
代入数据解得
m = 2m/s2
故 B 正确；
C．根据功能关系，可知在将物体从 A 拉到 O 点的过程中，电动机共做功为
1
= ( sin + cos ) + 22 m = 3200J
故 C 正确；
D．若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端 O 点，则物体必须先以最大加速度 = 2m/s2m 做匀加速
运动，再做变加速运动，最后做匀速运动；设经过 1，物体做匀加速运动的速度达到最大，此时功
率也刚好达到额定功率，根据
= 1
解得匀加速直线运动的最大速度为
320
1 = = 20 m/s = 16m/s
则匀加速运动的时间为
= 11 = 8sm
则匀加速运动的位移为
1 =
1
2 1 = 64m
设再经过 2达到 O 点，此过程功率保持不变，为额定功率，根据动能定理有
1 1
2 ( sin + cos )( 1) = 2
2
m 2
2
1
解得
2 = 6s
故物体从 A 运动到 O 的总时间为
= 1 + 2 = 14s
故 D 正确。
故选 BCD。
【真题 1】（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于 2024 年 4 月 30 日在东风着陆场成
功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过
程中（ ）
A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功
【答案】A
【详解】AB．返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故 A 正确，B 错误；
C．主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故 C 错误；
D．返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故 D 错误。
故选 A。
【真题 2】（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为 1和 2，在某平直铁轨上能达到的最
大速度分别为 1和 2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该
动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
1 1 2 2 1 2 2 1 ( 1 A B C 2
) 1 2 ( 1 2) 1 2
． ． ．1 2 1 2 1 1 2 D．2 1 2 2 1
【答案】D
【详解】由题意可知两节动车分别有
1 = 1 1
2 = 2 2
当将它们编组后有
1 + 2 = ( 1 + 2)
联立可得
(
= 1
+ 2) 1 2
1 2 + 2 1
故选 D。
【真题 3】（2023·山东·高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的
场景。引水过程简化如下：两个半径均为 R 的水轮，以角速度 ω 匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，
单位长度上有 n 个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为 m 的水，其中的 60%被
输送到高出水面 H 处灌入稻田。当地的重力加速度为 g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A 2
2 B 3 3
2
． 5 ． 5 C． 5 D．nmgωRH
【答案】B
【详解】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有 n 个，且每个水筒离开水面时装有质量为 m
的水、其中的 60%被输送到高出水面 H 处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为
m 总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm
则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功
W = 1.2πRnmgH
则筒车对灌入稻田的水做功的功率为
=
2π
=
联立有
3
= 5
故选 B。
【真题 4】（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力 F 作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。
已知物体质量为 m，加速度大小为 a，物体和桌面之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 g，在物体
移动距离为 x 的过程中（ ）
A．摩擦力做功大小与 F 方向无关 B．合力做功大小与 F 方向有关
C．F 为水平方向时，F 做功为 D．F 做功的最小值为
【答案】D
【详解】A．设力 F 与水平方向的夹角为 θ，则摩擦力为
= ( sin )
摩擦力的功
= ( sin )
即摩擦力的功与 F 的方向有关，选项 A 错误；
B．合力功
= 合 =
可知合力功与力 F 方向无关，选项 B 错误；
C．当力 F 水平时，则
= +
力 F 做功为
= = ( + )
选项 C 错误；
D．因合外力功为 max 大小一定，而合外力的功等于力 F 与摩擦力 f 做功的代数和，而当 sin =
时，摩擦力 f=0，则此时摩擦力做功为零，此时力 F 做功最小，最小值为 max，选项 D 正确。
故选 D。
【真题 5】（2023·山东·高考真题）质量为 M 的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力 F 和受到的
阻力 f 均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为 m 的物体由静止开始运动。当
小车拖动物体行驶的位移为 1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间
后停下，其总位移为 2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率 P0为
（ ）
2
A 2 ( )( 2 1) 1 B 2
2( )( )
． ． 2 1 1
( ) 2 1 ( ) 2 1
C 2
2( )( 2 1) 2 2 2D ( )( 2 1) ． ． 2
( ) 2 1 ( ) 2 1
【答案】A
【详解】设物体与地面间的动摩擦因数为 μ，当小车拖动物体行驶的位移为 S1的过程中有
F－f－μmg = (m＋M)a
v2= 2aS1
P0= Fv
轻绳从物体上脱落后
a2= μg
v2= 2a2(S2－S1)
联立有
2 2( )( 2 = 1
) 1
0 ( + ) 2 1
故选 A。
【真题 6】（多选）（2023·湖北·高考真题）如图所示，原长为 l 的轻质弹簧，一端固定在 O 点，另一
端与一质量为 m 的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为 0.5。杆上
M、N 1两点与 O 点的距离均为 l，P 点到 O 点的距离为2 ，OP 与杆垂直。当小球置于杆上 P 点时恰
好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为 g。小球以某一初速度从 M 点
向下运动到 N 点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A 4 ．弹簧的劲度系数为
B P 1．小球在 点下方2 处的加速度大小为(3 2 4)
C．从 M 点到 N 点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从 M 点到 P 点和从 P 点到 N 点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
【答案】AD
【详解】A．小球在 P 点受力平衡，则有
= ， = ， = 2
联立解得
4
=
A 正确；
C．在 PM 之间任取一点 A，令 AO 与 MN 之间的夹角为 ，则此时弹簧的弹力为
= 2sin
小球受到的摩擦力为
1 = 1 = sin
化简得
1 = sin 在 MP 之间增大在 PN 减变小，即摩擦力先变大后变小，C 错误；2
D．根据对称性可知在任意关于 P 点对称的点摩擦力大小相等，因此由对称性可知 M 到 P 和 P 到 N
摩擦力做功大小相等；D 正确；
B ．小球运动到 P 点下方2时 = 45°，此时摩擦力大小为
2
1 = 2 2
由牛顿第二定律
+ cos45° =
联立解得
= 2
B 错误。
故选 AD。
【真题 7】（2024·福建·高考真题）两绳拉木板，每条拉力 F = 250N，15s 内匀速前进 20m，θ =
22.5°，cos22.5° ≈ 0.9。求：
（1）阻力 f 大小；
（2）两绳拉力做的功；
（3）两绳拉力的总功率。
【答案】（1）450N；（2）9.0 × 103J；（3）600W
【详解】（1）由于木板匀速运动则有
2Fcosθ = f
带入数据解得
f = 450N
（2）根据功的定义式有
W = 2Flcosθ
带入数据解得
W = 9.0 × 103J
（3）根据功率的定义式有
=
带入数据有
P = 600W
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·一模）木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子
所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，木匠砸击 4 次，就把一枚长为 的钉子全部砸进木梁，那么
他第 1 锤将铁钉砸进木梁的深度是（ ）
A ．4 B
3
．2 C． 4 D．8
【答案】B
【详解】作出钉子所受阻力与进入深度的关系图，可知前一半深度与后一半深度过程中，阻力做功
之比为1:3，由题意可知，每次砸锤，锤对钉做功相同，将钉全部砸进木梁需要砸 4 次，则第 1 锤将
铁钉砸进木梁的深度是2。
故选 B。
2．（2024·浙江金华·三模）如图，某同学将皮球从水平地面上的 1 位置静止踢出，最后落回水平地
面上的 3 位置，虚线是足球在空中的运动轨迹，2 位置为轨迹的最高点，此处离地高度为 h，足球在
最高处的速度为 0，下列说法正确的是（ ）
A．足球全程运动过程中重力做功不为零
B．足球的运动过程中加速度保持不变
C．足球从 2 位置到 3 位置的运动时间大于从 1 位置到 2 位置的运动时间
D．足球从 1 位置到 2 位置的水平位移与 2 位置到 3 位置的水平位移之比为 2∶1
【答案】C
【详解】A．足球全程运动过程中位移与重力方向垂直，重力做功为零，故 A 错误；
B．由题图可知，足球运动过程中，受到空气阻力作用，且空气阻力方向时刻改变，所以足球所受
合外力为变力，根据牛顿第二定律可知足球的加速度改变，故 B 错误；
C．足球从 1 位置到 2 位置过程，空气阻力竖直方向的分力向下，足球从 2 位置到 3 位置过程，气
阻力竖直方向的分力向上，根据牛顿第二定律可知足球由位置 1 运动到位置 2 过程中竖直方向上加
速度的平均值大于足球由位置 2 运动到位置 3 过程中竖直方向上加速度的平均值，根据
1
= 2
2
可知，足球由位置 1 运动到位置 2 的时间小于由位置 2 运动到位置 3 的时间，故 C 正确；
D．根据题意无法得出足球从 1 位置到 2 位置的水平位移与 2 位置到 3 位置的水平位移之比，故 D
错误。
故选 C。
3．（2024·湖北·一模）某品牌电动汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶，在 t1时刻突发故障使汽
车的功率减小一半，司机保持该功率继续行驶，到 2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设汽车所受
阻力不变），则在 1 2时间内（ ）
A．汽车的加速度逐渐增大 B．汽车的加速度逐渐减小
C．汽车的速度先减小后增大 D．汽车的速度先增大后减小
【答案】B
【详解】电动汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶，则有
= =
在 t1时刻突发故障使汽车的功率减小一半，由于速度来不及变化，可知此时牵引力减小为原来的一
半，即牵引力小于阻力，根据牛顿第二定律可得
=
加速度方向与速度方向相反，汽车开始做减速运动，速度减小，又导致牵引力增大，可知汽车的加
速度逐渐减小，当牵引力增大到等于阻力时，加速度减少到 0，又做匀速直线运动；故在 1 2时间
内汽车做加速度逐渐减小的减速运动。
故选 B。
4．（2022·四川遂宁·二模）“碳中和”、“低碳化”、“绿色奥运”是北京冬奥会的几个标签。本次冬奥会
运行超 1000 辆氢能源汽车，是全球最大的一次燃料电池汽车示范。某款质量为 M 的氢能源汽车（如
图所示）在一次测试中，沿平直公路以恒定功率 P 从静止启动做直线运动，行驶路程 x，恰好达到
最大速度 m。已知该车所受阻力恒定。下列判定正确的是（ ）
A．启动过程中，车做匀加速直线运动
B 1．启动过程中，牵引力对车做的功为2
2
m
2
C．车速从 0 增至 m的加速时间为 m +2 m
2
D m．车速为 2 时，车的加速度大小为 m
【答案】C
【详解】A．汽车以恒定功率 P 启动，根据
=
可知，启动过程中，速度 增大，则牵引力 减小，根据牛顿第二定律有
=
可知，加速度 减小，则车做加速度减小的加速运动，故 A 错误；
B．根据题意，可知汽车受到的阻力为
= m
启动过程中，根据动能定理有
1
= 2
2
m
牵引力对车做的功为
1
= 2 + 2 mm
故 B 错误；
C．根据题意，可知汽车受到的阻力为
= m
车速从 0 增至 m的过程中，根据动能定理有
1
= 2
2
m
联立解得
2
= + m m 2
故 C 正确；
D m．车速为 2 时，汽车的牵引力为
2
1 = =m
2 m
根据牛顿第二定律有
1 = 1
解得
1 = m
故 D 错误。
故选 C。
5．（2022·河南·一模）水平桌面上，长 6m 的轻绳一端固定于 O 点，如图所示（俯视图），另一端系
一质量 m=2.0kg 的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力 F=10N，F 拉着物体从 M 点运动到
N 点，F 的方向始终与小球的运动方向成 37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数 μ=0.2，不计空气
阻力，取 g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力 F 对小球做的功为 16π（J） B．拉力 F 对小球做的功为 8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为 16π（J） D．小球克服摩擦力做的功为 4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段 l1，l2，…，ln，拉力 F 在每小段上做的功为 W1，W2，…，Wn，
因拉力 F 大小不变，方向始终与小球的运动方向成 37°角，所以
W1=Fl1cos37°
W2=Fl2cos37°
Wn=Flncos37°
故
F = 1 + 2 + … + = cos37°（ 1 + 2 + … + ） = cos37° 3 = 10 × 0.8 × 3 × 6（J）
= 16 （J）
故 A 正确，B 错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功
f = 3 = 8 （J）
故 CD 错误。
故选 A。
6．（2024·广东汕头·二模）在矿山开采中，滑轮装置被用于提升和移动矿石。如图，一辆车通过定
滑轮提升质量为 M 的矿石，滑轮左侧连接车的绳子在竖直方向的投影为 h，当车以速度 v 匀速向左
行驶一段距离后，连接车的绳子与水平方向的夹角从53 变为37 ，sin37 = 35，sin53
= 45，则该过
程中（ ）
A．矿石重力的功率为
B 5．矿石重力做功为 12
C．绳子对矿石拉力做的功等于矿石重力做的功
D．绳子对矿石拉力的功率一直保持不变
【答案】B
【详解】A．矿石的速度
1 = cos
令连接车的绳子与水平方向的夹角为 ，矿石重力做负功，克服矿石重力的功率为
= 1 = cos <
车以速度v匀速向左行驶， 逐渐减小，可知，该功率逐渐增大，则克服矿石重力的平均功率小于 ，
故 A 错误；
B．令滑轮到水平地面的高度差为 h，则矿石上升的距离
5
0 = sin37 sin53 = 12
矿石重力做功为
5
= 0 = 12
故 B 正确；
C．结合上述有
1 = cos
可知，车以速度 v 匀速向左行驶， 逐渐减小，矿石速度增大，即绳子拉力大小大于矿石重力，拉力
做正功，矿石重力做负功，则绳子对矿石拉力做的功大于克服矿石重力做的功，故 C 错误；
D．结合上述，矿石的速度
1 = cos
等式两侧对时间求导数，取导数的绝对值，得到矿石加速度大小
= sin ′ = sin
将车的速度垂直与绳分解，该分速度有转动的效果，则有
2 = sin = sin
对矿石进行分析，根据牛顿第二定律有
=
绳子对矿石拉力的功率
T = 1
解得
3sin3 cos
T = cos +
可知，拉力的功率随 的改变而发生变化，即绳子对矿石拉力的功率并不是一直保持不变，故 D 错
误。
故选 B。
7．（2024·四川内江·三模）如图，是某公园的喷泉示意图。假设某一水珠从喷出到落回地面在同一
竖直线上运动，且运动过程中水珠质量不变，受到空气阻力的大小与速度成正比。则关于该水珠在
空中运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该水珠在落回地面前瞬间，重力的瞬时功率最小
B．该水珠上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态
C．上升过程所用时间小于下落过程所用时间
D．上升过程克服空气阻力做的功等于下落过程克服空气阻力做的功
【答案】C
【详解】A．水珠重力的瞬时功率
=
水珠在最高点时，速度是零，则重力的瞬时功率最小，A 错误；
B．该水珠上升过程受重力与空气阻力，两力的合力方向竖直向下，由牛顿第二定律可知，水珠的
加速度方向向下，处于失重状态；下落过程水珠受重力与向上的空气阻力，空气阻力小于重力，两
力合力方向向下，加速度方向向下，处于失重状态，B 错误；
C．水珠上升过程受重力与空气阻力方向相同，下落过程空气阻力与重力方向相反，由牛顿第二定
律可知，上升过程的加速度大于下落过程的加速度，水珠上升过程与下落过程的位移大小相等，可
知上升过程所用时间小于下落过程所用时间，C 正确；
D．由题设条件可知，水珠受到空气阻力的大小与速度成正比，上升过程所用时间小于下落过程所
用时间，上升过程与下落过程的位移大小相等，则上升过程平均速度大小大于下落过程的平均速度
大小，可知水珠上升过程受空气阻力大小大于下落过程受空气阻力大小，由功的计算公式可知，上
升过程克服空气阻力做的功大于下落过程克服空气阻力做的功，D 错误。
故选 C。
8．（2024·湖北武汉·二模）如图所示，轻滑轮上跨有轻绳，轻绳两端恰好触地，轻绳两侧分别套有
质量为 1 = 0.2kg、 2 = 0.5kg的小球 A、B，两球同时由静止开始从离地面高 = 0.26m处沿绳下
滑。由于球内侧有卡扣，使两球与轻绳间的最大静摩擦力均等于其重力的 0.5 倍。若最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，取重力加速度 = 10m/s2，不计轻绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．A 球先落地
B．A 球落地时速度大小为 1m/s
C．B 球受到的摩擦力大小始终为 2.5N
D．B 球摩擦力的瞬时功率最大值为 1.6 W
【答案】D
【详解】ABC．由于 A、B 两球对细绳的摩擦力必须等大，且 A、B 的质量不相等，A 球由静止释
放后与细绳间为滑动摩擦力，B 与细绳间为静摩擦力，对 A 分析得
1 A = 1 1
对 B 分析得
2 B = 2 2
A = B = 0.5 1 =1N
联立解得
A = 5m/s2， B = 8m/s2
设 A 球经时间 t 与细绳分离，此时，A、B 下降的高度分别为 h1、h2，速度分别为 v1、v2，则有
1
= 21 2 1
1
= 22 2 2
H= h1+ h2
v1= a1t，v2= a2t
联立解得
t=0.2s，h1=0.1m，h2=0.16m，v1=1m/s，v2=1.6m/s
分离后，对 A 经 t1落地，则有对 B 经 t2落地，则有
1
= + 21 1 1 2 1
1
22 = 2 2 + 2 2
解得
1 = 0.103s， 2 = 0.054s
A 球落地的速度为
1′ = 1 + 1 = 2.03m/s
所以 B 先落地，故 ABC 错误；
D．B 球摩擦力的瞬时功率最大值为
= B 2 = 1.6W
故 D 正确。
故选 D。
9．（2024·辽宁鞍山·二模）汽车在上坡路上起步的行为叫做坡起。此行为多发生在城市立交桥和山
区公路的上坡路段。一新学员驾驶某手动挡车型在山区遇到一个长直斜坡，因路宽车少，开始由静
止练习坡起技术，行车电脑记录了这次坡起的功率——时间图像如图所示，且 0功率下能达到的最
大速度为 m。下列有关说法正确的是（ ）
A． 1~ 2时间内汽车做匀速运动 B．0~ 2时间内发动机做的功为 10 2 2
C．0~ 01时间内发动机做的功为 0 1 D．汽车匀速行驶时所受摩擦及空气的阻力为 m
【答案】B
【详解】A．根据图像可知，0-t1，内
= =
所以汽车匀加速启动， 1时刻功率达到最大，但此时牵引力大于阻力，仍处于加速阶段，故 1~ 2时
间内汽车有变速运动，故 A 错误；
B．图像面积代表发动机做的功
1
= 0 2 2
故 B 正确；
C．根据面积代表功可知，0~ 1时间内发动机做的功为
1
= 2 0 1
故 C 错误；
D．行车电脑记录了这次坡起的功率，所以汽车匀速行驶时所受摩擦及空气的阻力以及重力向下分
0
力的合力为 ，故 D 错误。m
故选 B。
10．（2023·广西·三模）新能源汽车的发展是为了减少对传统燃料的依赖，减少环境污染和减少温室
1
气体的排放。如图所示为我国比亚迪一型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数 的关系图像。
若汽车质量为2 × 103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，
下列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速所需时间为6s
B．汽车牵引力的额定功率为5 × 104W
C．汽车在车速为5m/s时，功率为3 × 104W
D．汽车所受阻力为1 × 103N
【答案】C
【详解】A．由图可知，汽车在速度等于10m/s前，加速度不变，故汽车是恒加速度启动的，根据匀
变速直线运动的基本规律可知
10
= = 2 s = 5s
故 A 错误；
BD．汽车达到最大车速为30m/s，汽车开始做匀速直线运动，此时
= 额 =
，
当 = 10m/s时，汽车的加速度 = 2m/s2。根据牛顿第二定律可知
额
=
代入数据，解得
额 = 6 × 104W， = 2 × 103N
故 B、D 错误；
C．汽车在车速为5m/s时，汽车处于匀加速阶段，故
=
=
解得
= 6 × 103N， = 3 × 104W
故 C 正确。
故选 C。
11．汽车在研发过程中都要进行性能测试，如图所示为某次测试中某型号汽车的速度 v 与牵引力 F
1
大小倒数的 图像，vm 表示最大速度。已知汽车在水平路面上由静止启动，ab 平行于 v 轴，bc 反
向延长过原点 O。阻力恒定，汽车质量为 2×103kg，下列说法正确的是（ ）
A．汽车从 a 到 b 持续的时间为 20s
B．汽车由 b 到 c 过程做匀加速直线运动
C．汽车额定功率为 50W
D．汽车能够获得的最大速度为 12m/s
【答案】A
【详解】C．根据功率的计算公式 P=Fv 可知，额定功率等于图线的斜率为
10
= 1 W = 50kW
5 × 10
3
故 C 错误；
B．根据 P=Fv 可知，汽车由 b 到 c 过程中功率不变，随着汽车速度的增大，牵引力减小，根据牛顿
第二定律得：
F-f=ma
汽车所受阻力不变，随着牵引力的减小，汽车的加速度也减小，汽车由 b 到 c 过程中加速度减小的
加速运动，故 B 错误；
D．汽车能够获得的最大速度为
1 3 1 m = × = 50 × 10 × 4 × 10
3m/s= 12.5m/s
故 D 错误；
A．汽车所受的阻力为
= m
汽车从 a 到 b 所受的牵引力为
1 1
= 5 × 10
3N 1
根军牛顿第二定律得：
F-f=ma
解得
a=0.5m/s2
汽车从 a 到 b 持续的时间为
= ＝20s
故 A 正确。
故选 A。
12．（2024·湖南长沙·一模）一辆质量为 m 的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的
变化关系如图所示，其中 AB 段平行于 v 轴，汽车匀速运动阶段的速度为 。根据图像，下列说法
正确的是（ ）
A．速度增大到 的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当 = 时， = 0
B 0．汽车与地面间的摩擦力大小为 =
3
C．在 OA 段汽车的位移为 = 2 0( )
2 2 2
D．若 AB 段汽车的位移为 s，则 AB 段汽车运动的时间 = 2 +0
【答案】C
【详解】A． 图像斜率代表牵引力，速度增大到 的过程中，汽车的牵引力不变，加速度不变，
故 A 错误；
B．汽车匀速运动阶段的速度为 ，此时牵引力等于摩擦力，汽车与地面间的摩擦力大小为
= 0
故 B 错误；
C． 图像斜率代表牵引力，汽车牵引力在 OA 段不变，故汽车为匀加速启动，在 A 点功率为额定
功率，牵引力为匀加速运动的牵引力，故匀加速阶段的牵引力为
1 =
0
1 =
2 = 2
联立得
3 = 2 0( )
故 C 正确；
D．根据动能定理
1 1
20 = 2 2
2
得
2 2
=
2 +0
故 D 错误。
故选 C。
13．如图甲所示，一个倾角为 的斜面固定在地面上，一辆质量为 m 的汽车由静止以额定功率 P 驶
上斜面，汽车行驶的最大速度为 v1；如图乙所示，若汽车从斜面顶端由静止以额定功率 P 向下运动，
汽车行驶的最大速度为 v2.已知汽车行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，重力加速度为 g，下列说
法正确的是（ ）
A．汽车均做匀加速直线运动
B．最大行驶速度 v1大于 v2
C 1 2．阻力大小为 1 sin 2
D 1 2．额定功率大小为 2 sin 2 1
【答案】D
【详解】A．汽车以额定功率行驶，做加速度减小的加速运动，当加速度减为零时，速度达到最大，
因此汽车均做变加速直线运动，A 错误；
BCD．设汽车行驶过程中受到的阻力为 f，当汽车达到最大速度时，加速度为零，对题图甲有，牵
引力
1 = sin + f
额定功率
= 1 1
对题图乙有，牵引力
2 = f sin
额定功率
= 2 2
联立可得
1 = 2
f sin ， =
1 2
2 sin 2 1 2 1
故
1 < 2
D 正确，BC 错误。
故选 D。
二、多选题
14．（2024·青海海南·二模）卫星失效后一般有“冰冻”和“火葬”两种处理方案，对于较低轨道的“死亡”
卫星，备用发动机使其快速转移到更低的轨道上，最终一头扎入稠密大气层，与大气摩擦燃烧殆尽；
对于较高轨道的“死亡”卫星，备用发动机可将其抬高到比地球同步轨道高 300 千米的“坟墓轨道”实
施高轨道“冰冻”。下列说法正确的是（ ）
A．“死亡”卫星进入“坟墓轨道”后速度变小
B．实施低轨道“火葬”时，备用发动机对卫星做正功
C．实施高轨道“冰冻”时，备用发动机对卫星做负功
D．卫星在“坟墓轨道”上运行的加速度小于在地球静止轨道上运行的加速度
【答案】AD
【详解】A．对于卫星有
2
2 =
整理有
=
由于进入“坟墓轨道”其轨道半径变大，所以卫星的速度变小，故 A 项正确；
B．实施低轨道“火葬”时，卫星需要减速进入低轨道，即备用发电机对卫星做负功，故 B 项错误；
C．实施高轨道“冰冻”时，卫星需要加速进入高轨道，即备用发电机对卫星做正功，故 C 项错误；
D．对卫星有
2 =
整理有
= 2
由于卫星在“坟墓轨道”的轨道半径大于地球静止轨道的轨道半径，所以卫星在“坟墓轨道”上运行的
加速度小于在地球静止轨道上运行的加速度，故 D 项正确。
故选 AD。
15．（2023·重庆·一模）如题图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分
构成。如题图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取 m=2kg 的水，辘轳绕绳轮轴半径为
r=0.1m，水斗的质量为 0.5kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0 时刻，轮轴由静止开始绕中心
轴转动，其角速度随时间变化规律如题图丙所示，g 取10m/s2，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为 v=0.4t
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为 P=10t
C．0~10s 内水斗上升的高度为 4m
D．0~10s 内井绳拉力所做的功为 520J
【答案】AD
【详解】A．根据图像可知，水斗速度
40
= = 10 × 0.1 = 0.4
A 正确；
B．井绳拉力瞬时功率为
= =
又由于
( + 0) = ( + 0)
根据上述有
= 0.4m/s2
则有
P=10.4t
B 错误；
C．根据图像可知，0~10s 内水斗上升的高度为
40 × 0.1 × 10
= 2 = 2 m = 20m
C 错误；
D．根据上述
P=10.4t
0~10s 内井绳拉力所做的功为
10.4 × 10 × 10
= 2 J = 520J
D 正确。
故选 AD。
16．（2024·山东临沂·二模）电动汽车以其环保节能、加速快等优点越来越受到消费者的欢迎，为使
汽车既有良好的加速性能，又能控制汽车的最大速度，电动汽车的车载智能系统介入汽车行驶过程。
如图所示为某品牌汽车在一次起步时汽车牵引力与速度的关系，汽车的速度达到25m/s时电动机功
率达到最大值256kW。此后车载智能系统逐渐降低电动机功率，当电动机功率降至最大功率的 50%
时，汽车达到最大速度。已知汽车及乘员的总质量为1600kg，汽车行驶过程中受到的阻力与速度的
关系为 = 2（ = 1.024N s2/m2），则汽车在起步直至达到最大速度的过程中，下列说法正确的
是（ ）
A．汽车的加速度始终在减小
B．汽车的加速度先不变后减小
C．该汽车能达到的最大速度是100m/s
D．汽车速度为25m/s时的加速度为6m/s2
【答案】AD
【详解】AB．汽车的速度达到25m/s前的过程，根据牛顿第二定律可得
1 2 = = 1
可知随着汽车速度的增大，汽车的加速度逐渐减小；汽车的速度达到25m/s到最大速度的过程中，
根据牛顿第二定律可得
2
′ = =
可知随着汽车速度的增大，牵引力的减小，汽车的加速度继续逐渐减小；故 A 正确，B 错误；
C．设汽车能达到的最大速度为 m，此时牵引力等于阻力，电动机功率降至最大功率的 50%时，则
有
50% m = m = 3m
解得
3 50% m 3 0.5 × 256 × 103 m = = 1.024 m/s = 50m/s
故 C 错误；
D．汽车速度为25m/s时，根据牛顿第二定律可得
1 1 2 = =
又
1
4 = =
2
m = 2560N
联立解得
4 × 2560 1.024 × 252
= 2 21600 m/s = 6m/s
故 D 正确。
故选 AD。
三、解答题
17．（2024·福建厦门·二模）2023 年 11 月 24 日，全球首个“海底数据舱”成功安装在海南陵水海域，
如图甲所示，起重机吊着“海底数据舱”从海面下沉到水中预定位置。某一阶段该舱竖直下沉 15m，
此过程其速度 v 随时间 t 的变化关系如图乙所示，已知“海底数据舱”质量为 1.0×106kg，下沉过程中
所受水的阻力（含浮力）恒为 2.0×106N。重力加速度 g＝9.8m/s2。求；
（1）0~30s 内，“海底数据舱”的最大速度 vm；
（2）10~30s 内，起重机的拉力大小 F；
（3）0~30s 内，起重机拉力的最大功率 Pm。
【答案】（1）1m s；（2）7.85 × 106N；（3）7.85 × 106W
【详解】
（1）速度时间图像与时间轴围成的面积表示位移，则根据图乙可知，下沉距离
= m2
解得
m = 1m/s
（2）根据图乙可得 10~30s 内加速度大小
= m
1
= 2 20m/s = 0.05m/s
2
此过程对数据仓受力分析，设起重机拉力为 ，水的阻力为 ，则由牛顿第二定律有
+ =
解得
= 7.85 × 106N
（3）受力分析可知，起重机在0~10s内的拉力小于在10s~30s，在10s~30s阶段且速度最大时刻，
功率最大，则有
m = m
代入数据解得
m = 7.85 × 106W第 17 讲 功和功率
——划重点之精细讲义系列
考点 1 功的正负判断和计算
考点 2 变力功的计算
考点 3 功率的计算
考点 4 机车启动问题
考点 1：功的正负判断和计算
一．功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcos α，适用于恒力做功，其中 α 为 F、l 方向间夹角，l 为物体对地的位移．
3．功的正负判断
夹角 功的正负
α<90° 力对物体做正功
α>90° 力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90° 力对物体不做功
4．判断力是否做功及做正、负功的方法
恒力做功的判断 若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断
若物体做曲线运动，依据 F 与 v 的方向夹角来判断。当 0≤α<90°，力对物
曲线运动中功的判断
体做正功，90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功
动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即 W 合＝Ek 末－Ek 初，当动
根据动能的变化
能增加时合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功
依据能量变化来判断 根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常
用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断
5.恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用 W＝Flcos α 计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力 F 合，再用 W 合＝F 合 lcos α 求功．
方法二：先求各个力做的功 W1、W2、W3、…，再应用 W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的
功．
【考向 1】如图所示，小球通过细线悬挂于车厢内的 O 点，在车厢内左右摆动，车厢始终水平向右
匀速运动，小球从左侧最高点运动到最低点过程中，以地面为参考系，则（ ）
A．细线对车厢不做功 B．细线对车厢做正功
C．细线对小球不做功 D．细线对小球做正功
【考向 2】如图所示，水平路面上有一辆质量为 M 的汽车，车厢中有一质量为 m 的人正用恒力 F 向
前推车厢，在车以加速度 a 向前加速行驶距离 L 的过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．人对车的推力 F 做的功为 FL B．车对人做的功为
C．车对人的摩擦力做的功为( + ) D．车对人的作用力大小为 ma
【考向 3】如图所示，水平旋转魔盘上的物块 A，当魔盘转动的角速度 = ( > 0)时，物块 A 相
对转台静止。关于这种情况下物块 A 的情况，下列说法正确的是（ ）
A．物块 A 所受到的摩擦力越来越大
B．物块 A 受重力、台面的支持力、指向圆心的摩擦力
C．物块 A 的向心加速度大小可能不变
D．魔盘对物块 A 永远不做功
【考向 4】如图所示，质量为 m 的物体置于倾角为 θ 的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为 μ，
在外力作用下，斜面以加速度 a 沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体 m 与斜面体相对静止。
则关于斜面对 m 的支持力和摩擦力的下列说法中正确的是（ ）
A．支持力一定不做正功 B．摩擦力一定做负功
C．摩擦力一定做正功 D．摩擦力可能不做功
【考向 5】如图所示，木块 B 上表面是水平的，当木块 A 置于 B 上，并与 B 保持相对静止，一起沿
固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中（ ）
A．A 所受的合外力对 A 不做功 B．B 对 A 的弹力做正功
C．B 对 A 的摩擦力做正功 D．A 对 B 做正功
【考向 6】如图，在电梯中有一固定放置的倾角为 θ 的斜面，斜面上放置一个质量为 m 的物体，二
者以相同的加速度 a 匀加速上升了高度 h，且物体和斜面始终保持相对静止，在这一过程中，下列
说法正确的是（ ）
A．斜面支持力对物体做的功为 ( + ) cos2
B．斜面对物体的摩擦力做的功为 ( + ) cos2
C．斜面对物体做功为 mah
D．合力对物体做的功为 mah
考点 2：变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样
就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。此法在中学阶段，常应
用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
【考向 7】（2023·海南·一模）如图所示，用一个大小不变的力 拉着滑块（视为质点）使其沿半
径为 的水平圆轨道匀速运动半周，若力 的方向始终与其在圆轨道上作用点的切线成60°夹角，则
力 做的功为（ ）
A ． 2 B．2 C． D．
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用 W＝Flcosα 求解。此法常常应用于轻绳通过
定滑轮拉物体的问题中。
【考向 8】（多选）如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的
定滑轮 O（滑轮大小可忽略）。现以大小不变的拉力 F 拉绳，使滑块从 A 点起由静止开始上升。滑
块运动到 C 点时速度最大。已知滑块质量为 m，滑轮 O 到竖直杆的距离为 d，∠ ′ = 37 ，∠ ′ =
53 ，重力加速度为 g。下列说法不正确的是（ ）
A 5．拉力 F 的大小为4
B．滑块由 A 到 C 做匀加速运动
C 5．滑块由 A 到 C 过程中拉力 F 做的功为6
D．滑块在 C 1点的动能为9
方法三 利用 F x 图象求变力的功
在 F–x 图象中，图线与 x 轴所围“面积”的代数和就表示力 F 在这段位移所做的功，且位于 x 轴
上方的“面积”为正，位于 x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况（如
三角形、矩形、圆等规则的几何图形）。
【考向 9】（多选）（2024·四川成都·一模）如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速度
顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙面连接，另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后
置于传送带最左端无初速度释放，工件向右运动受到的摩擦力 Ff 随位移 x 变化的关系如图乙所示，
x0、Ff0为已知量，则下列说法正确的是（工件与传送带间的动摩擦因数处处相等）（ ）
A．工件在传送带上先做加速运动，后做减速运动
B．工件向右运动 2x0后与弹簧分离
C f0．弹簧的劲度系数为 0
D．整个运动过程中摩擦力对工件做功为0.75 f0 0
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，
F1＋F2
则可以认为物体受到一大小为 F＝ 的恒力作用，F1、F2 分别为物体初、末态所受到的力，然2
后用公式 W＝Flcosα 求此力所做的功。
【考向 10】一遵从胡克定律、劲度系数为 k 的弹性轻绳，绕过固定于平台边缘的小滑轮 A，将
其一端固定于 O 点，另一端系一质量为 m 的小球，静止于 M 处。已知 OA 的距离恰为弹性绳原长，
现将小球拉至与 M 等高的 N 处静止释放，MN 的距离为 d，则小球从释放到与平台右侧面碰撞前的
过程中（不计空气阻力及绳子和滑轮间的摩擦，小球视为质点，弹性绳始终在弹性限度内，重力加
速度为 g）（ ）
A
2
．小球的最大速度为
B 2
2
．小球的最大速度为
C ．小球的最大加速度为2
D
2
．小球的最大加速度为 ( ) + 2
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功。
使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法。
【考向 11】（2020·陕西·二模）如图，一半径为 R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高。
质量为 m 的质点自轨道端点 P 由静止开始滑下，滑到最低点 Q 时，对轨道的正压力为 2mg，重力加
速度大小为 g。则质点自 P 滑到 Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为（ ）
A 1．2mgR B
1
．3mgR C
1
．4mgR D
1
．5mgR
考点 3：功率的计算
一.功率
1.定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2.物理意义：标量，描述力对物体做功的快慢。只有正值，没有负值。
W
3.定义式：P＝ ，P 为时间 t 内的平均功率。
t
4.单位：国际单位是瓦特，符号是 W，常用的单位还有 kW。
二.平均功率和瞬时功率
区别 平均功率 瞬时功率
定义 在某一段时间内或某一过程的功率 在某一时刻或某一位置时的功率
反映物体在某一段时间内做功的快
意义 反映物体在某一时刻做功的快慢
慢
①利用公式 P＝Fvcos α，其中 v 为 t 时刻的瞬
W 时速度。
①利用 p ＝ 。
t ②P＝FvF，其中 vF 为物体的速度 v 在力 F 方
计算 ②利用 p ＝F v cos α，其中 v 为物
向上的分速度。
体运动的平均速度。 ③P＝Fvv，其中 Fv 为物体受到的外力 F 在速
度 v 方向上的分力。
三、额定功率和实际功率
额定功率 实际功率
定义 发动机正常条件下长时间工作时的最大功率 机械实际工作时输出的功率
不同机械额定功率可能不同，但同一机械额定
特点 同一机械实际功率随工作情况而变化
功率不变
联系 为了机械的安全，P 额 ≥ P 实。
3．公式 P=Fv 的制约关系
定值 各量的关系 应用
F 一定 P 与 v 成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获
v 一定 F 与 P 成正比
得较大牵引力
汽车在额定功率下行驶，要增大牵引力，则必须降低行驶速度；
P 一定 F 与 v 成反比
反之则必须减小牵引力
【考向 12】质量为 m 的物块在同一竖直平面内的几个共点力作用下处于静止状态。现将其中一个与
水平方向成 60°角的力 F 突然增大到 2F，其他力保持不变，则在 t 秒末，该力的瞬时功率为（ ）
2 2 2 2A．2 B
2 C 4 ． ． D．
【考向 13】（2024·北京海淀·二模）如图 1 所示，某同学在表面平坦的雪坡下滑，不借助雪杖，能一
直保持固定姿态加速滑行到坡底。该同学下滑情境可简化为图 2，雪坡倾角为 α，人可视为质点，图
中用小物块表示，下滑过程中某一时刻滑行的速度 v 的方向与雪坡上所经位置的水平线夹角为 β
（β<90 ），已知该同学和滑雪装备的总质量为 m，滑雪板与雪坡之间的动摩擦因数为 ，重力加速
度为 g，不计空气阻力。关于该下滑过程，下列说法正确的是（ ）
A．该同学所受摩擦力小于 μmgcosα
B．该同学所受摩擦力的方向不变
C．该同学沿 v 的方向做匀加速直线运动
D．该同学所受重力的瞬时功率一直在增加
【考向 14】（2024·山东济南·二模）如图所示为古代的水车，该水车周边均匀分布着 N 个盛水的容
器，容器到水车大圆转轴的距离为 R。在流水的冲力作用下，水车以 n 转/分的转速匀速转动，当装
满水的容器到达最高处时将水全部倒入水槽中。设每个盛水容器装入水的质量均为 m，忽略容器装
水给水增加的动能和水车浸入水的深度，不计一切摩擦。已知重力加速度为 g，则水车运水的功率
为（ ）
A B 120 ． 30 ． 60 C． D．2
【考向 15】（多选）手动挡汽车最大的驾驶乐趣就是自己能随时控制挡位，加速时可以二挡 2000 转，
也可以二挡 4000 转．把挡位推入后带来的不同动力感受，有人车合一的感觉．自己有什么操作，车
辆就有什么反馈，做一些降挡补油、跟趾动作等等，很有成就感．如图所示，为轿车中的手动变速
杆，若保持发动机输出功率不变，将变速杆推至不同挡位，可获得不同的运行速度，从“1”~“5”挡速
度增大，R 是倒车挡，某型号轿车发动机的额定功率为60kW，在水平路面上行驶的最大速度可达
180km/h，假设该轿车在水平路面上行驶时所受阻力恒定，则该轿车（ ）
A．以最大牵引力爬坡，变速杆应推至“1”挡
B．该车在水平路面上行驶时所受阻力大小为900N
C．以额定功率在水平路面上以最大速度行驶时，其牵引力为1200N
D．改变输出功率，以54km/h的速度在同一水平路面上匀速行驶时，发动机的输出功率为35kW
【考向 16】（2024·山东济宁·三模）某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图所示，喷口出水速度的
方向可调节。该喷灌机的最大功率为 = 2000W，喷灌机所做功的75%转化为水的动能，喷口的横
截面积 = 30cm2，水的密度 = 1 × 103kg/m3，重力加速度 = 10m/s2， = 3.14，喷口距离地面
的高度 = 0.55m，忽略空气阻力，不考虑供水水压对水速的影响。求：
（1）喷灌机的最大喷水速度 v；
（2）喷口出水速度方向与水平面夹角 = 30°时，该喷灌机的最大喷灌面积 m。（保留三位有效数字）
考点 4：机车启动问题
1.以恒定功率起动[
汽车从静止开始以额定功率起动，开始时由于汽车的速度很小，由公式 P = Fv 知：牵引力 F 较
大，因而由牛顿第二定律 F– f = ma 知，汽车的加速度较大。随着时间的推移，汽车的速度将不断
增大，牵引力 F 将减小，加速度减小，但是由于速度方向和加速度方向相同，汽车的速度仍在不断
增大，牵引力将继续减小，直至汽车的牵引力 F 和阻力 f 相平衡为止。汽车的牵引力 F 和阻力 f 平
衡时，F–f = 0，加速度 a＝0，汽车的速度达到最大值 vm。汽车的运动形式是做加速度越来越小的
变加速直线运动，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。
2.以恒定牵引力起动
由于牵引力 F 恒定，根据牛顿第二定律 F–f = ma，可知：加速度 a 恒定，汽车作匀加速直线
运动，随着时间的推移，实际功率将不断增大．由于汽车的实际功率不能超过其额定功率，汽车的
匀加速直线运动只能维持到其实际功率等于其额定功率时，此时汽车的速度达到它匀加速直线运动
阶段的最大速度 v1，其后汽车只能以额定功率起动的方式进行再加速，其运动方式和第一种起动形
式完全相同，即汽车继续做加速度越来越小的变加速直线运动，直至汽车进入匀速直线运动状态，
速度达到最终的最大速度 vm。汽车的起动过程经历了两阶段：一是匀加速直线运动阶段，二是变加
速直线运动阶段，最终做匀速直线运动，其速度–时间图像如图所示。
3.三个重要关系式
P P
（1）无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即 vm Fmin F阻
（式中 Fmin为最小牵引力，其值等于阻力 F 阻）。
P 额
（2）匀加速启动持续时间的求法：牵引力 F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度 v′m＝ ，时间ma＋Ff
v′m P P
t＝ 。匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），速度不是最大，即 v＝ ＜v
a F m
＝ 。
F 阻
（3）机车以恒定功率运行时，牵引力做的功 W＝Pt。由动能定理：Pt－F 阻 x＝ΔEk．此式经常
用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
（1）汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时速度 vt=v0+at（v0=0）；汽车做匀加速直线运动
所能维持的时间 t1=vm/a 。
（2）汽车在匀加速直线运动阶段，汽车的瞬时功率 Pt=Fvt＜P 额。
（3）汽车在匀加速直线运动阶段结束时，瞬时功率 pt 等于额定功率 P 额，且满足 pt=P 额=Fv1。
（4）汽车在变加速直线运动阶段功率恒为额定功率，进入匀速直线运动时牵引力和阻力平衡，
有 pt=P 额=Fvm。
（5）从能的角度看：对于匀加速直线运动阶段，根据动能定理有W牵－fs
1
1 mv
2
2 1
（W 牵、
s1分别表示匀加速运动阶段牵引力所做的功、位移 ），变加速直线运动阶段牵引力所做的功 W'牵= P
t （t 1表示变加速直线运动阶段所经历的时间），W fs mv 2 1 2额 2 2 牵－ 2 m mv1 （s2为变加速直线运2 2
动阶段的位移）。
（6）在用公式 P＝Fv 计算机车的功率时，F 是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力，也
不是阻力。
（7）匀加速过程结束时机车的速度并不是最后的最大速度。因为此时 F>F 阻，所以之后还要在
功率不变的情况下变加速一段时间才达到最后的最大速度 vm。
【考向 17】汽车在平直公路上以速度 0匀速行驶，发动机功率为 P， 1时刻进入另一足够长的倾斜
路面，如图，若保持功率 P 继续行驶，到 2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动。假设汽车运动过程
中阻力（不包含重力沿斜面的分力）大小保持不变，下列图像中能正确表示该汽车运动过程速率 v
随时间 t 变化的是（ ）
A． B．
C． D．
【考向 18】（2024·山东济南·一模）如图所示为我国自主研发的第一台全地面起重机 QAY25，起重
范围从 25t 到 2600t 1。若该起重机由静止开始竖直提升质量为 200t 的物体，其 图像如图所示，不
计其它阻力，g 取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．起重机的额定功率为 = 2.4 × 106W B．重物上升的最大速度 m = 15m/s
C．重物 0~10s 内做匀加速直线运动 D．7s 内起重机对重物做的功为 = 1.08 × 108J
【考向 19】（多选）（2024·湖南常德·一模）新能源汽车指采用非常规车用燃料作为动力来源的新型
汽车。比如纯电动汽车以电池模组和电动机为主要动力装置，有节能减排、低噪音、高效率等优点，
是未来汽车产业的重要发展方向。现已知质量为 M 的新能源汽车由静止出发做匀加速直线运动，经
过时间 t 后，该汽车的运行里程为 L，此时发动机恰好到达额定功率 P，汽车所受的阻力恒定，达到
额定功率后，汽车保持额定功率做变加速运动，最后以 1匀速运动，对此下列说法正确的是（ ）
A 2 ．汽车所受阻力为 B．汽车做匀加速运动时的加速度1 2
2
C．到达速度 1 2 1时，发动机做功为 22 1 D．存在关系式 1 = 3 4 2
【考向 20】（多选）2021 年 10 月 25 日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树
立了一面“中国高端制造”的新旗帜。若该起重机某次从 = 0时刻由静止开始向上提升质量为 m 的物
体，其 图像如图乙所示， 1时达到额定功率， 1~ 2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速
度为 g，不计其它阻力，下列说法正确的是（ ）
A．0~ 1时间内物体处于失重状态
B 1．0~ 1时间内起重机对物体做功为2 ( 0 )
2
1
2
C ．该物体的最大速度为 0 10 1 +
D．0~ 2时间内起重机对物体做功为( + 0) 0 1 2
1
2 1
【考向 21】（多选）如图所示，质量 m=2kg 的物体（可看质点）静置在倾角为 37°粗糙斜面上的 A
点，现利用固定在 B 点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从 A 点拉升到斜面
顶端 O 点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数 μ=0.25，轻绳可承受最大
的力 F=20N，电动机的额定功率 P=320W，AO 的距离 s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面
顶端 O 点，且物体到达 O 点前已经达到最大速度。则（已知 sin37°=0.6，重力加速度取 g=10m/s2）
（ ）
A．物体运动过程中的最大速度 v=16m/s
B．物体上升过程中最大的加速度 am=2m/s2
C．在将物体从 A 拉到 O 点的过程中，电动机共做功 3200J
D．物体从 A 运动到 O 共用时 14s
【真题 1】（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于 2024 年 4 月 30 日在东风着陆场成
功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过
程中（ ）
A．返回舱处于超重状态 B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功 D．重力对返回舱做负功
【真题 2】（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为 1和 2，在某平直铁轨上能达到的最
大速度分别为 1和 2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该
动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
1 1 2 2 1 2 2 1 ( 1 2) 1 2 ( 1 2) 1 A． B． C． D
2
．
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
【真题 3】（2023·山东·高考真题）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的
场景。引水过程简化如下：两个半径均为 R 的水轮，以角速度 ω 匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，
单位长度上有 n 个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为 m 的水，其中的 60%被
输送到高出水面 H 处灌入稻田。当地的重力加速度为 g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
2 2
A 2 B 3 C 3 ． 5 ． 5 ． 5 D．nmgωRH
【真题 4】（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力 F 作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。
已知物体质量为 m，加速度大小为 a，物体和桌面之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 g，在物体
移动距离为 x 的过程中（ ）
A．摩擦力做功大小与 F 方向无关 B．合力做功大小与 F 方向有关
C．F 为水平方向时，F 做功为 D．F 做功的最小值为
【真题 5】（2023·山东·高考真题）质量为 M 的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力 F 和受到的
阻力 f 均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为 m 的物体由静止开始运动。当
小车拖动物体行驶的位移为 1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间
后停下，其总位移为 2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率 P0为
（ ）
A 2
2( )( 2 1) 1 B 2
2( )( 2 1) ． ． 1
( ) 2 1 ( ) 2 1
2
C 2 ( )( 2 1) 2 D 2
2( )( 2 ) ． ． 1 2
( ) 2 1 ( ) 2 1
【真题 6】（多选）（2023·湖北·高考真题）如图所示，原长为 l 的轻质弹簧，一端固定在 O 点，另一
端与一质量为 m 的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为 0.5。杆上
M、N 1两点与 O 点的距离均为 l，P 点到 O 点的距离为2 ，OP 与杆垂直。当小球置于杆上 P 点时恰
好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为 g。小球以某一初速度从 M 点
向下运动到 N 点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A 4 ．弹簧的劲度系数为
B 1．小球在 P 点下方2 处的加速度大小为(3 2 4)
C．从 M 点到 N 点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从 M 点到 P 点和从 P 点到 N 点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
【真题 7】（2024·福建·高考真题）两绳拉木板，每条拉力 F = 250N，15s 内匀速前进 20m，θ =
22.5°，cos22.5° ≈ 0.9。求：
（1）阻力 f 大小；
（2）两绳拉力做的功；
（3）两绳拉力的总功率。
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·一模）木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子
所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，木匠砸击 4 次，就把一枚长为 的钉子全部砸进木梁，那么
他第 1 锤将铁钉砸进木梁的深度是（ ）
A 3 ．4 B．2 C． 4 D
．8
2．（2024·浙江金华·三模）如图，某同学将皮球从水平地面上的 1 位置静止踢出，最后落回水平地
面上的 3 位置，虚线是足球在空中的运动轨迹，2 位置为轨迹的最高点，此处离地高度为 h，足球在
最高处的速度为 0，下列说法正确的是（ ）
A．足球全程运动过程中重力做功不为零
B．足球的运动过程中加速度保持不变
C．足球从 2 位置到 3 位置的运动时间大于从 1 位置到 2 位置的运动时间
D．足球从 1 位置到 2 位置的水平位移与 2 位置到 3 位置的水平位移之比为 2∶1
3．（2024·湖北·一模）某品牌电动汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶，在 t1时刻突发故障使汽
车的功率减小一半，司机保持该功率继续行驶，到 2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设汽车所受
阻力不变），则在 1 2时间内（ ）
A．汽车的加速度逐渐增大 B．汽车的加速度逐渐减小
C．汽车的速度先减小后增大 D．汽车的速度先增大后减小
4．（2022·四川遂宁·二模）“碳中和”、“低碳化”、“绿色奥运”是北京冬奥会的几个标签。本次冬奥会
运行超 1000 辆氢能源汽车，是全球最大的一次燃料电池汽车示范。某款质量为 M 的氢能源汽车（如
图所示）在一次测试中，沿平直公路以恒定功率 P 从静止启动做直线运动，行驶路程 x，恰好达到
最大速度 m。已知该车所受阻力恒定。下列判定正确的是（ ）
A．启动过程中，车做匀加速直线运动
B 1．启动过程中，牵引力对车做的功为 22 m
2 C．车速从 0 增至 的加速时间为 mm +2 m
2
D m．车速为 2 时，车的加速度大小为 m
5．（2022·河南·一模）水平桌面上，长 6m 的轻绳一端固定于 O 点，如图所示（俯视图），另一端系
一质量 m=2.0kg 的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力 F=10N，F 拉着物体从 M 点运动到
N 点，F 的方向始终与小球的运动方向成 37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数 μ=0.2，不计空气
阻力，取 g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力 F 对小球做的功为 16π（J） B．拉力 F 对小球做的功为 8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为 16π（J） D．小球克服摩擦力做的功为 4π（J）
6．（2024·广东汕头·二模）在矿山开采中，滑轮装置被用于提升和移动矿石。如图，一辆车通过定
滑轮提升质量为 M 的矿石，滑轮左侧连接车的绳子在竖直方向的投影为 h，当车以速度 v 匀速向左
3 4
行驶一段距离后，连接车的绳子与水平方向的夹角从53 变为37 ，sin37 = 5，sin53
= 5，则该过
程中（ ）
A．矿石重力的功率为
B 5．矿石重力做功为 12
C．绳子对矿石拉力做的功等于矿石重力做的功
D．绳子对矿石拉力的功率一直保持不变
7．（2024·四川内江·三模）如图，是某公园的喷泉示意图。假设某一水珠从喷出到落回地面在同一
竖直线上运动，且运动过程中水珠质量不变，受到空气阻力的大小与速度成正比。则关于该水珠在
空中运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该水珠在落回地面前瞬间，重力的瞬时功率最小
B．该水珠上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态
C．上升过程所用时间小于下落过程所用时间
D．上升过程克服空气阻力做的功等于下落过程克服空气阻力做的功
8．（2024·湖北武汉·二模）如图所示，轻滑轮上跨有轻绳，轻绳两端恰好触地，轻绳两侧分别套有
质量为 1 = 0.2kg、 2 = 0.5kg的小球 A、B，两球同时由静止开始从离地面高 = 0.26m处沿绳下
滑。由于球内侧有卡扣，使两球与轻绳间的最大静摩擦力均等于其重力的 0.5 倍。若最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，取重力加速度 = 10m/s2，不计轻绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．A 球先落地
B．A 球落地时速度大小为 1m/s
C．B 球受到的摩擦力大小始终为 2.5N
D．B 球摩擦力的瞬时功率最大值为 1.6 W
9．（2024·辽宁鞍山·二模）汽车在上坡路上起步的行为叫做坡起。此行为多发生在城市立交桥和山
区公路的上坡路段。一新学员驾驶某手动挡车型在山区遇到一个长直斜坡，因路宽车少，开始由静
止练习坡起技术，行车电脑记录了这次坡起的功率——时间图像如图所示，且 0功率下能达到的最
大速度为 m。下列有关说法正确的是（ ）
A． 1~ 2时间内汽车做匀速运动 B．0~ 2时间内发动机做的功为 0 2 12
C．0~ 1时间内发动机做的功为 0 1 D
0
．汽车匀速行驶时所受摩擦及空气的阻力为 m
10．（2023·广西·三模）新能源汽车的发展是为了减少对传统燃料的依赖，减少环境污染和减少温室
1
气体的排放。如图所示为我国比亚迪一型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数 的关系图像。
若汽车质量为2 × 103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，
下列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速所需时间为6s
B．汽车牵引力的额定功率为5 × 104W
C．汽车在车速为5m/s时，功率为3 × 104W
D．汽车所受阻力为1 × 103N
11．汽车在研发过程中都要进行性能测试，如图所示为某次测试中某型号汽车的速度 v 与牵引力 F
1
大小倒数的 图像，vm 表示最大速度。已知汽车在水平路面上由静止启动，ab 平行于 v 轴，bc 反
向延长过原点 O。阻力恒定，汽车质量为 2×103kg，下列说法正确的是（ ）
A．汽车从 a 到 b 持续的时间为 20s
B．汽车由 b 到 c 过程做匀加速直线运动
C．汽车额定功率为 50W
D．汽车能够获得的最大速度为 12m/s
12．（2024·湖南长沙·一模）一辆质量为 m 的小汽车在水平地面上由静止开始运动，其功率随速度的
变化关系如图所示，其中 AB 段平行于 v 轴，汽车匀速运动阶段的速度为 。根据图像，下列说法
正确的是（ ）
A．速度增大到 的过程中，汽车的加速度逐渐减小，当 = 时， = 0
B 0．汽车与地面间的摩擦力大小为 =
3
C OA = ．在 段汽车的位移为 2 0( )
2 2 2 D．若 AB 段汽车的位移为 s，则 AB 段汽车运动的时间 = 2 +0
13．如图甲所示，一个倾角为 的斜面固定在地面上，一辆质量为 m 的汽车由静止以额定功率 P 驶
上斜面，汽车行驶的最大速度为 v1；如图乙所示，若汽车从斜面顶端由静止以额定功率 P 向下运动，
汽车行驶的最大速度为 v2.已知汽车行驶过程中受到的阻力大小恒定不变，重力加速度为 g，下列说
法正确的是（ ）
A．汽车均做匀加速直线运动
B．最大行驶速度 v1大于 v2
C 1 2．阻力大小为 sin 1 2
D 1 2．额定功率大小为 2 sin 2 1
二、多选题
14．（2024·青海海南·二模）卫星失效后一般有“冰冻”和“火葬”两种处理方案，对于较低轨道的“死亡”
卫星，备用发动机使其快速转移到更低的轨道上，最终一头扎入稠密大气层，与大气摩擦燃烧殆尽；
对于较高轨道的“死亡”卫星，备用发动机可将其抬高到比地球同步轨道高 300 千米的“坟墓轨道”实
施高轨道“冰冻”。下列说法正确的是（ ）
A．“死亡”卫星进入“坟墓轨道”后速度变小
B．实施低轨道“火葬”时，备用发动机对卫星做正功
C．实施高轨道“冰冻”时，备用发动机对卫星做负功
D．卫星在“坟墓轨道”上运行的加速度小于在地球静止轨道上运行的加速度
15．（2023·重庆·一模）如题图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分
构成。如题图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取 m=2kg 的水，辘轳绕绳轮轴半径为
r=0.1m，水斗的质量为 0.5kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t=0 时刻，轮轴由静止开始绕中心
轴转动，其角速度随时间变化规律如题图丙所示，g 取10m/s2，则（ ）
A．水斗速度随时间变化规律为 v=0.4t
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为 P=10t
C．0~10s 内水斗上升的高度为 4m
D．0~10s 内井绳拉力所做的功为 520J
16．（2024·山东临沂·二模）电动汽车以其环保节能、加速快等优点越来越受到消费者的欢迎，为使
汽车既有良好的加速性能，又能控制汽车的最大速度，电动汽车的车载智能系统介入汽车行驶过程。
如图所示为某品牌汽车在一次起步时汽车牵引力与速度的关系，汽车的速度达到25m/s时电动机功
率达到最大值256kW。此后车载智能系统逐渐降低电动机功率，当电动机功率降至最大功率的 50%
时，汽车达到最大速度。已知汽车及乘员的总质量为1600kg，汽车行驶过程中受到的阻力与速度的
关系为 = 2（ = 1.024N s2/m2），则汽车在起步直至达到最大速度的过程中，下列说法正确的
是（ ）
A．汽车的加速度始终在减小
B．汽车的加速度先不变后减小
C．该汽车能达到的最大速度是100m/s
D．汽车速度为25m/s时的加速度为6m/s2
三、解答题
17．（2024·福建厦门·二模）2023 年 11 月 24 日，全球首个“海底数据舱”成功安装在海南陵水海域，
如图甲所示，起重机吊着“海底数据舱”从海面下沉到水中预定位置。某一阶段该舱竖直下沉 15m，
此过程其速度 v 随时间 t 的变化关系如图乙所示，已知“海底数据舱”质量为 1.0×106kg，下沉过程中
所受水的阻力（含浮力）恒为 2.0×106N。重力加速度 g＝9.8m/s2。求；
（1）0~30s 内，“海底数据舱”的最大速度 vm；
（2）10~30s 内，起重机的拉力大小 F；
（3）0~30s 内，起重机拉力的最大功率 Pm。
