第一节 函数的概念及其表示
【课标解读】
【课程标准】
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,理解函数图象的应用.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.分段函数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考在函数的定义域、值域、解析式仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,对分段函数的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的概念
概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系完全一致.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
(1)解析法:就是把两个变量之间的对应关系用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析式.
(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
(3)图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
微点拨①在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集.②两函数的值域与对应关系相同,但两函数不一定相同,如y=x2(x≥0)与y=x2.
4.分段函数
若函数在其定义域的子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
微点拨 分段函数是一个函数而不是几个函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
常用结论
1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.特殊函数的定义域:
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y=tan x的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.( × )
提示:函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一个函数.
(2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( × )
提示:值域是集合B的子集.
(3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.( × )
提示:集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.( × )
提示:只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
2.(必修第一册P65例2·变形式)函数f(x)=x+3+,若f(a)=,则a= .
【解析】由a+3+=,化简得,3a2+2a-5=0,解得a=1或a=-,
均符合题意,所以a=1或-.
答案:1或-
【加练备选】(2023·上海高考)已知函数f(x)=,则f(x)的值域为 .
【解析】当x>0时,f(x)=2x>1,当x≤0时,f(x)=1,所以f(x)的值域为.
答案:
3.(忽视新元的范围致误)若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)= .
【解析】由题意,f(2x)=4x-2x=-2x,
设t=2x,则f(t)=t2-t,t>0,所以f(x)=x2-x,x>0.
答案:x2-x(x>0)
【核心考点·分类突破】
考点一函数的概念
1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四个图象中,能表示集合M到集合N的函数关系的是( )
A.①②③④ B.①②③
C.②③ D.②
【解析】选C.对于①,定义域为{x|0≤x≤1},不符合题意;对于④,集合M中有的元素在集合N中对应两个值,不符合函数定义;②③符合题意.
2.(多选题)下列各组函数是同一个函数的为( )
A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1
B.f(x)=x-1,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=x
【解析】选AC.同一个函数应满足①定义域相同;②对应关系完全一致,只有A,C满足.
3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是 .(填序号)
①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=.
【解析】③中,f:x→y=x,x∈[0,4]时,y=x∈[0,] Q,故不满足函数的定义.
答案:③
4.以下给出的同组函数中,是否表示同一个函数 为什么
①f1:y=;f2:y=1;f3:y=x0.
②f1:y=;f2:y=()2;f3:y=
③f1:y=
f2:
x x≤1 1
y 1 2 3
f3:
【解析】①不是.f1(x)与f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.
②不是.f1(x)的定义域为R,f2(x)的定义域为{x∈R|x≥0},f3(x)的定义域为
{x∈R|x≠0}.
③是同一个函数.x与y的对应关系完全一致且定义域相同,它们是同一个函数的不同表示方法.
解题技法
(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
(2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同.
考点二 函数的定义域
[例1](1)函数y=的定义域为( )
A.[-2,2]
B.(-1,2]
C.(-1,0)∪(0,2]
D.(-1,1)∪(1,2]
【解析】选C.由已知可得
解得-1(2)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是( )
A. (,+∞) B.(-12,0]
C.(-12,0) D. (-∞,]
【解析】选B.由题意可知ax2+ax-3≠0对任意实数x都成立.当a=0时,显然成立;
当a≠0时,需Δ=a2+12a<0,
解得-12综上所述,实数a的取值范围为(-12,0].
(3)金榜原创·易错对对碰
①若函数y=f(x)的定义域是[0,2 025],则函数g(x)=的定义域为 .
②若函数f(x-1)的定义域为[0,2 025],则函数g(x)=的定义域为 .
【解析】①使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2 025,解得-1≤x≤2 024,故函数f(x+1)的定义域为[-1,2 024].
所以函数g(x)有意义的条件是
解得-1≤x<1或1故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2 024].
②由函数f(x-1)的定义域为[0,2 025],
得函数y=f(x)的定义域为[-1,2 024],
则,-2≤x≤2 023且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2 023].
答案:①[-1,1)∪(1,2 024] ②[-2,1)∪(1,2 023]
解题技法
1.由函数解析式求定义域
已知函数的解析式,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.
2.求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
对点训练
1.函数f(x)=ln(4x-x2)+的定义域为( )
A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]
C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
【解析】选C.使函数有意义,需满足
解得02.已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为( )
A.[0,1] B.[-1,0]
C. [-,1] D. [-,0]
【解析】选D.由题意得解得-≤x≤0.
3.已知函数f(x)=的定义域为[2,+∞),则a= .
【解析】由题意可知,不等式2x-a≥0的解集为[2,+∞),则22-a=0,解得a=4.
当a=4时,由2x-4≥0,可得2x≥4=22,解得x≥2,符合题意.
答案:4
【加练备选】
已知函数f(x)=ln(ax2+x+1)的定义域为R,则a的取值范围为 .
【解析】由条件知,ax2+x+1>0在R上恒成立,当a=0时,x+1>0,x>-1,不满足条件,故即a>.
答案: (,+∞)
解题技法
求函数解析式的四种方法
考点三函数的解析式
[例2](1)(一题多法)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)= .
【解析】方法一(换元法)令2x+1=t(t∈R),则x=,所以f(t)=4()2-6·+5=
t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).
方法二(配凑法)因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9,
所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).
方法三(待定系数法)因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c.
因为f(2x+1)=4x2-6x+5,
所以解得所以f(x)=x2-5x+9(x∈R).
答案:x2-5x+9(x∈R)
(2)已知f(+1)=x+2,则f(x)= .
【解析】方法一:设t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1,x≥1.
方法二:因为x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,
所以f(+1)=(+1)2-1,+1≥1,即f(x)=x2-1,x≥1.
答案:x2-1(x≥1)
(3)f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)= .
【解析】(构造方程组法)已知2f(x)+f()=3x-1 ①,
以代替①中的x(x≠0),得2f()+f(x)=-1 ②,
①×2-②,得3f(x)=6x--1,故f(x)=2x--(x≠0).
答案:2x--(x≠0)
对点训练
1.已知f()=2x2-3x,则f(2)=( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
【解析】选A.令=2,则x=1,
所以f(2)=2-3=-1.
2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)= .
【解析】因为f(x)是一次函数,
可设f(x)=ax+b(a≠0),
所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.
即ax+5a+b=2x+17,
所以解得
所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
答案:2x+7
3.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f()·-1,则f(x)= .
【解析】在f(x)=2f()·-1中,将x换成,
则得f()=2f(x)·-1.
由
解得f(x)=+.
答案:+
4.设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)+2f()=3x,则f(2 023)= .
【解析】因为f(x)+2f() =3x,
所以f()+2f(x)=,
联立得-3f(x)=3x-,
所以f(x)=-x+,
所以f(2 023)=-2 023+2=-2 021.
答案:-2 021
考点四 分段函数及其应用
考情提示
一手考情:分段函数作为考查函数知识的载体,因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点,重点考查求值、解方程与不等式,涉及函数的零点、图象及性质等.
角度1 分段函数求值
[例3](1)(2023·三明模拟)已知函数f(x)=则f(f(-2))= .
【解析】f(f(-2))=f()=log3=-2.
答案:-2
(2)已知函数f(x)=若f(m)=3,则m的值为 .
【解析】由题意可知或解得m=9.
答案:9
解题技法
“分段函数——分段看”,遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式代入.
(1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
对点训练
1.设函数f(x)=若f(f() )=4,则b=( )
A.1 B. C. D.
【解析】选D.f()=3×-b=-b,若-b<1,即b>时,
则f(f())=f(-b)=3(-b)-b=4,
解得b=,不合题意舍去.
若-b≥1,即b≤时,则=4,解得b=.
2.已知f(x)=则f(2 024)= .
【解析】因为f(x)=
所以f(2 024)=f(2 023)=f(2 022)=…=f(1),
又f(1)=f(1-1)=f(0),
f(0)=-ln(0+e)+2=-1+2=1,
所以f(2 024)=1.
答案:1
角度2 分段函数与方程、不等式问题
[例4](1)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选A.因为f(1)=21=2,所以f(a)+2=0,所以f(a)=-2.当a≤0时,f(a)=a+1=-2,所以a=-3;当a>0时,f(a)=2a=-2,方程无解.综上,a=-3.
(2)(一题多法)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是 .
【解析】方法一:当x>时,2x+>1恒成立,所以x>,
当01,即2x+x>恒成立,所以0当x≤0时,x+1+x-+1>1,解得-综上,x的取值范围是(-,+∞).
方法二:将不等式f(x)+f(x-)>1变形为f(x-)>1-f(x),
令y1=f(x-),y2=1-f(x),作出两个函数的图象如图所示:
由图象可知,满足f(x-)>1-f(x)的x的取值范围是(-,+∞).
答案: (-,+∞)
解题技法
解分段函数的方程、不等式
当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.
提醒:求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时,要依据不同范围对应的不同解析式分别求解,最后将各段所求结果并起来.
对点训练
1.设函数f(x)=若f(f(a))-f(a)+2=0,则实数a的值为( )
A.-1 B.--1
C.+1 D.-+1
【解析】选B.令f(a)=t,f(f(a))-f(a)+2=0,则f(t)=t-2,①t≤0时,t2+2t=t-2,则t2+t+2=0无解;②t>0时,-t2=t-2,所以t=1,所以f(a)=1.a≤0时,a2+2a=1,则a=--1;a>0时,-a2=1无解,综上,a=--1.
2.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
【解析】选D.函数f(x)的图象如图所示,
结合图象知,要使f(x+1)3.已知函数f(x)=则f(f())= ;
若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 .
【解析】由已知得f()=- ()2+2=,f()=+-1=,所以f(f() )=.
当x≤1时,由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以-1≤x≤1;
当x>1时,由1≤f(x)≤3可得1≤x+-1≤3,所以1综上,-1≤x≤2+,所以b=2+,a∈[-1,1],所以b-a的最大值为3+.
答案: 3+第一节 函数的概念及其表示
【课标解读】
【课程标准】
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,理解函数图象的应用.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以基本初等函数为载体,考查函数的表示法、定义域、值域.分段函数是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.
预测 预计2025年高考在函数的定义域、值域、解析式仍会出题,一般在选择题或填空题中出现,对分段函数的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.函数的概念
概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系完全一致.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
(1)解析法:就是把两个变量之间的对应关系用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析式.
(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
(3)图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
微点拨①在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集.②两函数的值域与对应关系相同,但两函数不一定相同,如y=x2(x≥0)与y=x2.
4.分段函数
若函数在其定义域的子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
微点拨 分段函数是一个函数而不是几个函数,分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.
常用结论
1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.特殊函数的定义域:
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y=tan x的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错
题号 1 2 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.( )
(2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( )
(3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.( )
2.(必修第一册P65例2·变形式)函数f(x)=x+3+,若f(a)=,则a= .
【加练备选】(2023·上海高考)已知函数f(x)=,则f(x)的值域为 .
3.(忽视新元的范围致误)若函数f(2x)=4x-2x,则f(x)= .
【核心考点·分类突破】
考点一函数的概念
1.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下列四个图象中,能表示集合M到集合N的函数关系的是( )
A.①②③④ B.①②③
C.②③ D.②
2.(多选题)下列各组函数是同一个函数的为( )
3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是 .(填序号)
①f:x→y=x;②f:x→y=x;③f:x→y=x;④f:x→y=.
4.以下给出的同组函数中,是否表示同一个函数 为什么
①f1:y=;f2:y=1;f3:y=x0.
②f1:y=;f2:y=()2;f3:y=
③f1:y=
f2:
x x≤1 1y 1 2 3
f3:
解题技法
(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
(2)构成函数的三要素中,定义域和对应关系相同,则值域一定相同.
考点二 函数的定义域
[例1](1)函数y=的定义域为( )
A.[-2,2]
B.(-1,2]
C.(-1,0)∪(0,2]
D.(-1,1)∪(1,2]
(2)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是( )
A. (,+∞) B.(-12,0]
C.(-12,0) D. (-∞,]
(3) 易错对对碰
①若函数y=f(x)的定义域是[0,2 025],则函数g(x)=的定义域为 .
②若函数f(x-1)的定义域为[0,2 025],则函数g(x)=的定义域为 .
解题技法
1.由函数解析式求定义域
已知函数的解析式,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.
2.求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
对点训练
1.函数f(x)=ln(4x-x2)+的定义域为( )
A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]
C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
2.已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为( )
A.[0,1] B.[-1,0]
C. [-,1] D. [-,0]
3.已知函数f(x)=的定义域为[2,+∞),则a= .
【加练备选】
已知函数f(x)=ln(ax2+x+1)的定义域为R,则a的取值范围为 .
解题技法
求函数解析式的四种方法
考点三函数的解析式
[例2](1)(一题多法)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)= .
(2)已知f(+1)=x+2,则f(x)= .
(3)f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)= .
对点训练
1.已知f()=2x2-3x,则f(2)=( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
2.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)= .
3.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f()·-1,则f(x)= .
4.设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)+2f()=3x,则f(2 023)= .
考点四 分段函数及其应用
考情提示
一手考情:分段函数作为考查函数知识的载体,因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点,重点考查求值、解方程与不等式,涉及函数的零点、图象及性质等.
角度1 分段函数求值
[例3](1)(2023·三明模拟)已知函数f(x)=则f(f(-2))= .
(2)已知函数f(x)=若f(m)=3,则m的值为 .
解题技法
“分段函数——分段看”,遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围,并根据自变量的范围选择合适的解析式代入.
(1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义域区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
对点训练
1.设函数f(x)=若f(f() )=4,则b=( )
A.1 B. C. D.
2.已知f(x)=则f(2 024)= .
角度2 分段函数与方程、不等式问题
[例4](1)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
(2)(一题多法)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-)>1的x的取值范围是 .
解题技法
解分段函数的方程、不等式
当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.
提醒:求解与分段函数有关的方程(不等式)的问题时,要依据不同范围对应的不同解析式分别求解,最后将各段所求结果并起来.
对点训练
1.设函数f(x)=若f(f(a))-f(a)+2=0,则实数a的值为( )
A.-1 B.--1
C.+1 D.-+1
2.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
3.已知函数f(x)=则f(f())= ;
若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 .