苏科版九年级数学下册试题 5.3用待定系数法确定二次函数的表达式（含详解）

5.3用待定系数法确定二次函数的表达式
一、单选题
1．若y＝ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（　　）
x ﹣1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝x2﹣3x+4 C．y＝x2﹣3x+3 D．y＝x2﹣4x+8
2．已知抛物线过点A（2，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，且OC＝2．则这条抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2+x+2
C．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2 D．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
3．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（其中x是自变量），当2≤x≤3时，5≤y≤8，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
4．一抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+3 B．y＝﹣2（x+1）2+3
C．y＝﹣（2x+1）2+3 D．y＝﹣（2x﹣1）2+3
5．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
6．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣6或7 C．3 D．3或﹣2
7．如图，抛物线的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x2+x+2 B．y＝﹣x2﹣x+2 C．y＝x2+x+2 D．y＝x2﹣x+2
8．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
9．若二次函数y＝x2+bx+7配方后为y＝（x﹣1）2+k，则b、k的值分别为（　　）
A．2、6 B．2、8 C．﹣2、6 D．﹣2、8
二．填空题
10．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为　　　　　　．
11．若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为　　　　　　．
12．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为　　　　　　．
13．已知二次函数的图象过（0，1），（1，0）（﹣2，0）三点，则这二次函数的解析式是　　　　　　．
14．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：
甲说：对称轴是直线x＝2；
乙说：与x轴的两个交点距离为6；
丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足
上述全部条件的一条抛物线的解析式：　　　　　　．
三．解答题
15．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点B（m，﹣2）在该函数图象上，求点B的坐标．
16．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣6+a2（a≠0）
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其对应的函数的解析式．
17．根据下列条件求抛物线的解析式：
（1）顶点在y轴上，且经过点（﹣2，﹣3）和（1，6）．
（2）已知二次函数的图象最高点是（﹣1，﹣3）且过点（3，﹣4）．
18．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其对称轴为直线x＝．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当0＜x＜3时，求y的范围．
19．一个二次函数的图象经过（ 1， 1），（0，0），（1，9）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若另外三点（x1，16），（x2，16），（x1+x2，n）也在该二次函数图象上，求n的值．
20．抛物线上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表：
x ﹣2 ﹣1 0 0.5 1 2 3
y 0 4 6 6.25 6 4 0
请选择合适方法，求此抛物线的函数表达式．
21．小明对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．
根据已知条件，列出了下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣3 0 0 ﹣3 …
（1）根据以上信息求出这个函数的表达式；
（2）请将以上表格填全；
（3）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（4）在同一直角坐标系中画出函数y＝﹣x+1的图象，结合函数图象，写出方程a|x2+bx|+c＝﹣x+1的解：　　　　　　．
22．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．
答案
一、单选题
1．
【详解】解：将x＝1，代入y＝ax2＝1中得：a＝1，
将（﹣1，8），（0，3）分别代入y＝x2+bx+c中得：，解得：，
∴函数解析式是：y＝x2﹣4x+3．
故选：A．
2．
【详解】解：抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则C点的坐标是（0，2）或（0，﹣2），
当C点坐标是（0，2）时，图象经过三点，可以设函数解析式是：y＝ax2+bx+c，
把（2，0），（﹣1，0），（0，2）分别代入解析式，
得到：，解得：，
则函数解析式是：y＝﹣x2+x+2；
同理，当C是（0，﹣2）时解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
综上，这条抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：C．
3．
【详解】解：当x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝8，则，解得：，
当x＝2时，y＝8；x＝3时，y＝5，则，解得：，
∴a的值为±1．
故选：C．
4．
【详解】解：抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2+3．
故选：B．
5．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x．
故选：D．
6．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点（1，b﹣a），
当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，
函数有最大值，
∴b﹣a＝3．
故选：D．
7．
【详解】解：根据题意，设二次函数的表达式为y＝ax2+bx+c，
抛物线过（﹣1，0），（0，2），（2，0），
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+2．
故选：A．
8．
【详解】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6．
故选：D．
9．
【详解】解：y＝（x﹣1）2+k＝x2﹣2x+1+k，
则b＝﹣2，1+k＝7，k＝6．
故选：C．
二．填空题
10.【详解】解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，
∴a＝±1，
∵抛物线开口向下，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x．
11.【详解】解：图象顶点坐标为（0，﹣3），可设函数解析式是y＝ax2﹣3，
又∵二次函数的二次项系数为﹣1，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣3．
故答案为：y＝﹣x2﹣3．
12.【详解】解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣1，
把点（4，﹣3）代入得：﹣3＝a（4﹣3）2﹣1，
解得：a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣3）2﹣1．
故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2﹣1．
13.【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），
将（0，1）代入得：﹣2a＝1，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+1．
故答案为：y＝﹣x2﹣x+1．
14.【详解】解：根据题意得：抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0），顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），
设函数解析式为：y＝a（x﹣2）2+3或y＝a（x﹣2）2﹣3，
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得a＝﹣；
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得a＝．
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3或y＝（x﹣2）2﹣3．
三．解答题
15.解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（0，﹣3）代入得：a×（0﹣1）2﹣4＝﹣3，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）把B（m，﹣2）代入y＝（x﹣1）2﹣4得：（m﹣1）2﹣4＝﹣2，
解得：m1＝1﹣，m2＝1+，
∴B点坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2）．
16.解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣6+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣6．
∴对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴当x＝1时，ax2﹣2ax﹣6+a2＝0，即a2﹣a﹣6＝0，
解得：a＝﹣2或a＝3，
∴y＝﹣2x2+4x﹣2或y＝3x2﹣6x+3．
17.解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把（﹣2，﹣3）和（1，6）代入得：，解得：，
∴y＝﹣3x2+9；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣3，
把（3，﹣4）代入得：﹣4＝a（3+1）2﹣3，解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）2﹣3．
18.解：（1）∵y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∴对称轴为直线x＝﹣，
∵其对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∴m＝2，
∴y＝x2﹣5x+6；
（2）∵y＝x2﹣5x+6，
∴抛物线开口向上，在x＝时，函数有最小值y＝﹣，
当x＝0时，y＝6，
∴当0＜x＜3时，y的范围是﹣≤y＜6．
19.解：（1）设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象经过点（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴，解得：，
∴y＝4x2+5x；
（2）∵二次函数为y＝4x2+5x，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵点（x1，16），（x2，16），（x1+x2，n）也在该二次函数图象上，
∴＝﹣，x1+x2＝﹣，
∴n＝4×（﹣）2+5×（﹣）＝0．
20.解：观察表格中的x、y的值，可知（0，6）、（1，6）是对称点，
∴对称轴是直线x＝，
∴顶点坐标为（，），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣）2+，
将（0，6）代入得6＝a（0﹣）2+，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣）2+．
21.解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c，
∴，解得：，
∴y＝|x2﹣4x|﹣3；
（2）当x＝﹣1时，y＝2；
当x＝2时，y＝1；
当x＝5时，y＝2．
故答案为：2，1，2；
（3）如图：
（4）如图，
由图象可得：方程|x2﹣4x|﹣3＝﹣x+1的解为：x1＝﹣1，x2＝1，x3＝4．
22.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），
∴4a+2b﹣1＝﹣1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2，
∴当x＝1时，a﹣2a﹣1＝﹣2，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣1；
（2）由（1）知，抛物线为y＝（x﹣1）2﹣2，
∵当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，
∴y不能取最小值﹣2，即n，n+1在对称轴x＝1的同侧，
分两种情况讨论：
①n+1＜1，即n＜0时，
在对称轴左侧y随x的增大而减小，
当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+4，
解得：n＝﹣1或n＝5，
当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+1，
解得：n＝﹣1或n＝3，
∵n＜1，
∴n＝﹣1；
②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+1，
整理得：n2﹣4n﹣2＝0，
当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+4，
整理得：n2﹣2n﹣6＝0，
∵n2﹣4n﹣2＝0与n2﹣2n﹣6＝0不一致，
∴不合题意，舍去．
综上，当n＜x＜n+1时，y的取值范围是：当2n+1＜y＜2n+4时，n＝﹣1．