2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系（知识解读）（解析版）
知识点 1 匀变速直线运动位移与时间的关系
知识点 2 匀变速直线运动速度与位移的关系
知识点 3 匀变速直线运动规律的综合运用
作业 巩固训练
知识点 1 匀变速直线运动位移与时间的关系
1
1、匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v 20t＋ at 。
2
2、公式的推导
（1）利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足
够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，
其误差也非常小，如图所示。
（2）利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间 t 内的平均速度就
1
等于时间 t内的初速度 v0和末速度 v的平均值，即 x＝ (v0＋v)t。结合公式 v＝v0＋at可导
2
1 1
出位移公式：x＝v0t＋ at2，当初速度为 0时，x＝ at2。
2 2
3、技巧归纳
（1）在 v－t图像中，图线与 t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，
t轴下方面积表示位移为负。
1
（2）位移公式 x＝v t＋ at20 只适用于匀变速直线运动。
2
（3）公式中 x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向；一般选 v0的方向为正方向．当物
体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移 x的正负表示其方向。
1
（4）当 v0＝0时，x＝ at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移 x与 t2成正
2
比。
4、匀变速直线运动中的平均速度
1 2v at
在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度 v 0t v0 at ，
2 2 2
该段时间的末速度 v=vt+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可
1 2
v x
v0t at2 1 2v at v v at v v得 v0 at 0 0 0 0 t v 。即有：t t 2 2 2 2 t2
v v0 v t v
2 t2
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，
又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
5、匀变速直线运动推论公式：
任意两个连续相等时间间隔 T内，位移之差是常数，即△x=x -x =aT22 1 ．拓展：△xMN=xM-xN=
（M-N）aT2。
推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间 T内的位移，加速度为 a。
x v 11 CT aT
2
2 △x＝x x ＝aT2
x 1
2 1
2 vCT aT
2
2
【典例 1-1】如图为某质点作匀变速运动的位移 s 随时间 t 变化的规律，图像为一条抛物线，
则下列说法正确的是（ ）
A．在 1s 末，质点的速率最大
B．在 0~1s 内质点所受合力的方向与速度方向相反
C．在 0~1s 内和 1~2s 内，质点的加速度方向相反
D．在 = 0.5s时，质点的位移大小为 25m
【答案】B
【详解】根据运动学公式
1
= 0 + 2
2
结合图像可知，该质点做匀减速直线运动，加速度不变，方向与初速度相反。
A．在 1s 末，质点的位移最大，速率为 0，故 A 错误；
B．根据牛顿第二定律，加速度方向与合外力方向一致，所以在 0~1s 内质点所受合力的方向
与速度方向相反，故 B 正确；
C．全程加速度方向不变，故 C 错误；
D．由图像解得
= 10 5 2
当 = 0.5s时，位移为
= 3.75m
故 D 错误。
故选 B。
【典例 1-2】（多选）一辆汽车从静止开始沿平直公路匀加速前进，启动时刚好有一位绿色
出行的人骑自行车匀速从汽车旁经过，它们的位移 x 随时间 t 变化的图像如图所示。下列说
法正确的是（ ）
A． = 10s时，两车相遇
B．0~10s内，两车平均速度不同
C． = 20s时，汽车刚好追上自行车
D． = 10s时，汽车的速度大于自行车的速度
【答案】AD
【详解】AC．由图像可知， = 10s时，两车处于同一位置，则此时两车相遇，汽车刚好追
上自行车，故 A 正确，C 错误；
B．由图像可知，0~10s内，两车的位移相同，则两车平均速度相同，故 B 错误；
D．根据 图像的切线斜率表示速度，可知 = 10s时，汽车的速度大于自行车的速度，故
D 正确。
故选 AD。
【变式 1-1】如图所示为甲、乙两物体在同一条直线上做匀变速运动的位移—时间图象，两
图线相切于点 A（2.0 s，4.0 m）。已知甲物体的初速度为 0，乙物体的加速度大小为 1 m/s2，
下列说法正确的是（ ）
A．甲物体的加速度大小为 4 m/s2
B．甲、乙两物体的加速度方向相同
C．乙物体的初速度大小为 4 m/s
D．t=0 时刻，甲、乙两物体相距 6 m
【答案】D
【详解】A．已知甲物体的初速度为 0，设甲物体的位移表达式为
1
=甲 2 甲
2
将 A 点的坐标（2.0 s，4.0 m）代入可得 a =2 m/s2甲 ，故 A 错误；
B．根据位移—时间图线的斜率表示速度可知，甲物体做匀加速直线运动，乙物体做匀减速
直线运动，两物体的加速度方向相反，故 B 错误；
C．设乙物体的初速度为 v0，根据两图线在 A 点相切可知
× 2.0s = 0 × 2.0s甲 乙
可得 v0=6 m/s，故 C 错误；
D．设乙物体的初位置为 x0，t 时刻的位置
1
= 0 + 0 乙 2 乙
2
将 A 点的坐标代入可得 x0=－6 m，即 t=0 时刻，甲、乙两物体相距 6 m，故 D 正确。
故选 D。
【变式 1-2】（多选） 和 两个小球在外力作用下沿同一直线运动，其位置—时间( )图像
分别为图中直线和曲线，已知 做匀变速运动，曲线过点(1s,0m)且和直线刚好在点(3s,8m)
相切，则下列判断正确的是（ ）
8
A． 做匀速直线运动，且 = 3m/s
B． = 3s时 和 相遇，此时二者速度相等
C． 做匀减速直线运动且加速度大小为2m/s2
D． = 0时 和 的距离为10m
【答案】BC
【详解】A．根据 x-t 图像的斜率表示速度，由图可知，a 的速度不变，做匀速直线运动，且
Δ 8 2
= Δ = 3 m/s = 2m/s
故 A 错误；
B．t=3s 时，直线 a 和曲线 b 刚好相切，位置坐标相同，两球相遇，两图线的斜率相等，此
时二者速度大小相同，方向相同，故 B 正确；
C．设 t=1s 时，b 的速度为 v1，t=3s 时，a、b 的速度相等，则 t=3s，b 的速度为
vb=va=2m/s
在 1～3s 内，对 b 由运动学公式得
vb = v1+at
1 +
= 2
其中 xb=8m，t=2s，联立解得
a=-2m/s2，v1=6m/s，
所以 b 做匀减速直线运动且加速度大小为 2m/s2，故 C 正确；
D．设 b 的初速度为 v0，在 0～1s 内，对 b 由速度—时间公式得
v1= v0+at1
代入数据解得
v0=8m/s
根据位移—时间公式，可知 b 在 0～3s 内的位移为
= + 1 0 2
2 = 15m
则 t=0 时 a 和 b 的距离为
s=x-vat=9m
故 D 错误。
故选 BC。
知识点 2 匀变速直线运动速度与位移的关系
1、匀变速直线运动位移与速度的关系。
1
（1）由位移公式：x＝v0t＋ at2和速度公式 v=v0+at消去 t得：v2-v 20 =2ax。
2
（2）匀变速直线运动的位移-速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系。
①此公式仅适用于匀变速直线运动；
②式中 v0和 v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移；
③公式中四个矢量 v、v0、a、x要规定统一的正方向。
（3）两种特殊形式
①当 v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
②当 v＝0时，－v20＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
2、匀变速直线运动的位移中点的瞬时速度推导：
x
前半段：v 2x/2 -v 20 =2a 2
x
后半段：v 2 2t -vx/2 =2a 2
v 2 v 2
将两式相减的： v 0 tx
2 2
3、不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度均大于时间中点的速
度，即：vx/2＞vt/2。
【典例 2-1】无人驾驶汽车已在我国某些地区开始上路试运行，一国产无人驾驶汽车，在试
驾过程中以 10m/s 的速度行驶。人工智能发现车头前方 37.5m 处的斑马线上有行人，为礼
让行人汽车自动刹车，开始做匀减速运动，减速过程 v－x 图像如图所示，则（ ）
A．汽车的加速度大小为 2m/s2
B．汽车经过斑马线时速度还未减为 0，所以行人一定会被撞
C．若行人通过斑马线的时间是 4s，则行人没有被撞的危险
D．汽车开始减速后 10s 内，其位移大小恰好为 37.5m
【答案】C
【详解】A．对于汽车做匀减速直线运动，根据匀变速直线运动公式得
0 20 = 2
将 v0=10m/s，x=50m 代入上式解得
a=-1m/s2
即汽车的加速度大小是 1m/s2，故 A 错误；
B．尽管汽车经过斑马线时速度还未减为 0，但是此时斑马线上的行人在哪里确定不了，所
以行人不一定会被撞，故 B 错误；
C．若行人通过斑马线的时间是 t=4s，根据匀变速直线运动的位移公式
1
= 0 + 22
将 v0=10m/s、a=-1m/s2、t=4s 代入上式解得汽车在 4s 的时间内运动的位移为
x=32m
由于 32m＜37.5m，则行人没有被撞的危险，故 C 正确；
D．对于汽车刹车后做匀减速直线运动，根据匀变速直线运动的速度公式得
0 = 0 + 减
汽车减速运动的时间为
10
=
0 =
减 1 s = 10s
从图象可知该时间内汽车的位移大小为 50m，故 D 错误。
故选 C。
【典例 2-2】（多选）在某地客车和货车在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。
客车做初速度为零，加速度大小为 1的匀加速直线运动；货车做初速度为 0，加速度大小为
2的匀减速直线运动至速度减为零后保持静止客、货两车在运动过程中的 （位移-速度）
图像如图所示．其中虚线与对应的坐标轴垂直，在两车从开始运动，至货车停止运动过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．货车运动的位移为18m B．两车不会同时到达6m处
C．两车最大间距为18m D．两车最大间距为6m
【答案】AC
【详解】根据图像可知，客车的速度随位移增大而增大，货车的速度随位移增大而减小，
当 x=0 时，货车的速度为 6m/s，即货车的初速度为 6m/s；
对客车
v2=2a1x
对货车
v2-v20=-2a2x
当速度相等时，x=6m，则联立解得
a 21+a2=3m/s
当客车的速度 v1=8m/s，货车的速度 v2=2m/s 时，两车通过相同的位移均为 x′。
对客车
21 = 2 1 ′
对货车
22 =
2
0 2 2 ′
联立解得
a1=2a2
则
a1=2m/s2
a2=1m/s2
A．货车运动的距离为
2 62
02 = 2 =2 2 × 1
m=18m
故 A 正确；
B．客车到达 x=6m 的位置所用的时间为
2 2 × 6
1 = =1 2
s = 6s
此时两车速度相等，速度为
= 1 1 = 2 6m/s
货车所用时间为
0 6 6
2 = = 2 s2
即两车不是同时达到 x=6m 的位置，故 B 错误；
CD．当两车速度相等时，即
v0-a2t=a1t
代入数据解得
t=2s
此时两车的间距为
0 + Δ = 2 2 = 6m
而当货车停止运动时所用的时间为
0
0 = 2
此时两车间距为
1
Δ ′ = 2
2
1 0
0
2
解得
Δx′=18m＞Δx=6m
则至货车停止运动过程中两车最大间距为 18m，故 C 正确，D 错误；
故选 AC。
【典例 2-3】一小汽车由静止开始做匀变速直线运动，其位移与速度平方（ 2）的图像如
图所示，求：
（1）小汽车运动的加速度大小 a；
（2）小汽车由静止开始运动到位移大小 x=64m 时所用的时间 t。
【答案】（1）2m/s2；（2）8s
【详解】（1）由速度与位移的关系有
2 = 2
化简可得
1
= 22
斜率为
1 1
= 2 = 4
所以小汽车运动的加速度大小为
= 2m/s2
（2）由位移与时间的关系有
1
= 2
2
解得 t=8s
【变式 2-1】如图所示是某物体做直线运动的 v2-x 图像（其中 v 为速度，x 为位置坐标），下
列关于该物体从 x=0 处运动至 x=x0处的过程分析，其中正确的是（ ）
A
2
．该物体的加速度大小为 0 0
0
B．该物体的运动时间为 0
C 0 0．当该物体的位移大小为 2时，速度大小为 2
D 0
3
．当该物体的速度大小为 2时，位移大小为4 0
【答案】D
【详解】A．根据
2 20 = 2
因此本题
2
= 02 0
2
加速度大小为 02 ，故 A 错误；0
B．由
v=v0+at
得
2
= 0 0
故 B 错误；
C 0．当物体位移大小为 2时，由图可得
2
1
= 22 0
则 v= 2v
2 0
故 C 错误；
D 0．当物体速度大小为 2时
2
1
= 24 0
3
由图可得 x=4x0
故 D 正确。
故选 D。
【变式 2-2】（多选）如图所示，四块相同的混凝土实心砖并排固定在水面地面上，子弹以
水平速度 0从 P 点射入实心砖中，到达 Q 点时的速度恰好为零。假设子弹在混凝土实心砖
中做匀减速直线运动，且运动的总时间为 t。下列说法正确的是（ ）
A．子弹刚穿过第 2 块砖时的速度大小为 3
2 0
1
B．子弹刚穿过第 3 块砖时的速度大小为2 0
C．子弹穿过第 2 块砖所用的时间为 3 2
2
D．子弹穿过第 3 块砖所用的时间为( 2 1)
【答案】BC
【详解】AB．设每块砖的厚度为 ，加速度为 ，子弹从 P 到 Q 为匀减速，可以看成从 Q 到
P 的初速为0的匀加速直线运动，末速度为 0，则有
2 ·4 = 20
设穿过第二块的速度为 2，穿过第三块的速度为 3，则有
2 ·2 = 22
2 · = 23
解得
2
2 = 2 0
1
3 = 2 0
A 错误，B 正确；
CD．按照上述方法，由初速为0的匀加速直线运动等分位移的时间关系，设穿过第四块的时
间为 0，则穿过第三块的时间为( 2 1) 0，第二块的时间为( 3 2) 0，第一块得出时间为
(2 3) 0，如图所示
由此可得
1
0 = 2
设穿过第二块砖的时间为 2，穿过第三块砖的时间为 3，则有
3 2
2 = ( 2 ) 0
2 1
3 = ( 2 ) 0
C 正确，D 错误。
故选 BC。
【变式 2-3】甲乙两质点在同一直线上同向运动，t=0 时刻，质点甲在质点乙前方。两质点
各自运动的 2 （v 为各自的速度，x 为各自的位移）图像如图所示，求：
（1）质点乙的速度随时间变化的关系式；
（2）若两质点运动过程中不相遇，则 t=0 时刻二者的距离至少是多少；
（3）若两质点在 t=0 时相距 4.5m，则以后二者在哪些时刻可以相遇。
【答案】（1） = 8 ；（2）Δ = 6m；（3） = 1s和 = 3s
【详解】（1）对乙，由匀变速直线运动速度与位移关系可得
2 20 = 2
得
2 = 20 + 2
将（0，64）及（10，44）代入可得
0 = 8m/s
= 1m/s2
所以质点乙的速度随时间变化的关系式为
= 8
（2）由（1）中原理可得，甲质点的速度随时间变化的关系为
= 2 + 2
二者共速时相距最近，令
8 = 2 + 2
解得
= 2s
此时二者的速度为
= 6m/s
从初始到共速的过程中质点甲的位移为
2 + 6
= 2 × 2 = 8m甲
过程中质点乙的位移为
8 + 6
= 2 × 2 = 14m乙
若距离最近时刚好不相碰，则 t=0 时刻二者的距离至少是
Δ = 乙 甲 = 6m
（3）相遇时二者的位移关系为
= 4.5m乙 甲
即
1 1
（8 2 × 1 ×
2） （2 + 2 × 2 ×
2） = 4.5m
解得 = 1s或 = 3s
质点乙的速度减为零所需要的时间为
Δ = 0 = 8s > 3s
所以，后面二者可以相遇的时刻为 = 1s和 = 3s
【点睛】本题考查匀变速直线运动的规律以及追击相遇内容。
知识点 3 匀变速直线运动规律的综合运用
1、求解匀变速直线运动的常用方法：基本公式法、特殊公式法、比例法（6个比例式）、
逆向思维法、图象法。
1 1
2、基本公式法：①vt＝v0＋at ②x＝v t＋ at2 ③x＝ (v ＋v)t ④v2-v 20 0 0 =2ax
2 2
v v
3、特殊公式法：①△x＝aT2 ②S -S =（M-N）aT2 M N ③ v v 0 tt
2 2
4、比例法（6个比例式）
初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律：
（1）ts 末、2ts 末、3ts 末…nts 末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：
n；
推导：由 vt=at知 v1=at，v2=2at，v3=3at，…，vn=nat，
则可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：n；
（2）xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n
推导：由 v2=2ax知 v1 2ax ， v2 2a2x ， v3 2a3x ，…， vn 2anx ；
则可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n ；
（3）ts内、2ts内、3ts内…nts内的位移之比为：x 21：x2：x3：…：xn=1 ：22：32：…：
n2；
1 1 1 1 1
推导：由 x= at2知 x 21= at ，x2= a（2t）2，x3= a（3t）2，…，xn= a（nt）2；2 2 2 2 2
则可得：x ：x ：x ：…：x =12：22：32 21 2 3 n ：…：n ；
（4）连续相等时间内的位移之比为：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）
1 1 1 1 1
推导：由 x= at2知 x = at2Ⅰ ，xⅡ= a（22-12）t2，x = a（32-22）t2Ⅲ ，…，xN= a[n2-2 2 2 2 2
（n-1）12]t2，
则可得：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）；
（5）前一个 x、前两个 x、前三个 x …所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n
1 2x 2 2x 2 3x 2 nx
推导：由 x= at2知 t1= ，t2= ，t3= ，…，t = ；2 a a a n a
则可得：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n ；
（6）连续相等位移所用的时间之比为：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：
（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
1 2x 2 2x 2x 2x
推导：由 x= at2知 t = ，t = - =（ 2 -1） ，t =（ 3 - 2）
2 1 a 2 a a a 3
2x n - n -1 2x，…，tn=（ ） ；a a
则可得：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
5、逆向思维法
逆向思维法是把运动过程的“末态”作为“初态”来反向研究问题的方法．如物体做减速运
动可看成反向加速运动来处理．末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能起到事半功
倍的效果。
6、图象法
v t图像和 x t图像的应用技巧
（1）确认是哪种图像，v t图像还是 x t图像。
（2）理解并熟记五个对应关系
①斜率与加速度或速度对应；
②纵截距与初速度或初始位置对应；
③横截距对应速度或位移为零的时刻；
④交点对应速度或位置相同；
⑤拐点对应运动状态发生改变。
7、刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答
此类问题的思路是：
v0
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间 t 刹＝ ；
a
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若 t>t 刹，
不能盲目把时间代入；若 t【典例 3-1】为满足旅客乘坐高铁出行的不同需要，城际高铁开通了“一站直达”列车和“站站
停”列车两种班次。假设两城高铁站之间均匀分布了 4 个车站，若列车在进站和出站过程中
做匀变速直线运动，加速度大小均为 2m/s2，其余行驶时间内保持最高时速 288km/h 匀速运
动，“站站停”列车在每个车站停车时间均为 t0=2min，则一站直达列车比“站站停”列车节省
的时间为（ ）
A．10min40s B．11min20s
C．13min20s D．14min40s
【答案】A
【详解】由题可知，列车加速到速度最大所用的时间为
288
= m = 3.6 2 s = 40s加
列车进站加速与出站减速时的加速度相等，故
=加 减
设一站直达列车匀速行驶用时为 t，“站站停”列车匀速行驶用时 t′，根据题意可知
1 1 1 1
2
2 + 2 2 2 ′
加 2 + m = 5 减 2 + 5 加 2 +减 m
一站直达列车比“站站停”列车节省的时间为
Δ = ( ′ + 4 0 + 5 加 + 5 减) ( + 加 + 减)
联立解得
Δ = 640s = 10min40s
故选 A。
【典例 3-2】（多选）如图为港珠澳大桥上四段 110m 的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从 a 点由
静止开始做匀加速直线运动，通过 ab 段的时间为 t。则（ ）
A．通过 cd 段的时间为 3
B．通过 ce 段的时间为(2 2)
C．ae 段的平均速度大于 ce 段的平均速度
D．ae 段的平均速度等于 b 点的瞬时速度
【答案】BD
【详解】AB．根据初速度为零的匀加速运动相等位移的时间关系可知
: : : = 1:( 2 1):( 3 2):(2 3)
可知通过 cd 段的时间为
= ( 3 2)
通过 ce 段的时间为
= (2 2)
选项 A 错误 B 正确；
C．汽车做匀加速运动，速度逐渐增加，则 ae 段的平均速度小于 ce 段的平均速度，选项 C
错误；
D．因 b 点是 ae 段位移的中间时刻，则 ae 段的平均速度等于 b 点的瞬时速度，选项 D 正确。
故选 BD。
【变式 3-1】某质点在一条直线上由静止开始运动，先做匀加速运动后做匀减速运动至速度
减为零，两段过程的加速度大小 1与 2的比值是1:1，匀加速运动过程的位移是4 ，则质点
完成第 4 个 和完成第 8 个 所用时间之比为（ ）
A 2 B 2 3． ．2 3 C． 2 D．
1 1 2 8 7
【答案】B
【详解】由两段过程的加速度大小 1与 2的比值是1:1，可知匀减速运动过程的位移也是4 ，
则质点完成第 8 个 所用时间等于完成第 1 个 所用时间，所以质点完成第 4 个 时间为
Δ 4 = 4 3
则
8 6
Δ 4 =
完成第 8 个 所用时间为
2
Δ 8 = Δ 1 =
所以质点完成第 4 个 和完成第 8 个 所用时间之比为
4 3 2 3
1 = 1
故选 B。
【变式 3-2】一位清洁工人正推着清洗车在擦洗一座长为 L=60 m 的桥上的栏杆，当他擦洗
到距桥的右端 L1=20.5 m 处时，突然发现一汽车在距离桥右端 x=400 m 处以速度 v0=30 m/s
向桥上驶来，汽车司机也同时发现了清洁工人，并立刻以 a=1m/s2 的加速度刹车，由于桥面
非常窄，清洁工人立即向右奔跑来避让汽车，假设清洁工人推着清洗车匀速逃离。则清洁工
人向右奔跑的速度至少是多少？
【答案】1.025 m/s
【详解】汽车行驶到右端的时间为 t2，由匀变速直线运动规律，有
1
= 0 2 2
2
2
解得 t2=20 s 或 60s（舍去）
若清洁工人从右方离开，则必须比汽车先到达桥的右端，逃离的速度最小为
= 1 = 1.025m/s2
1．骑自行车的人以 5m/s 的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动，加速度大小是 0.4m/s2，
经过 5s，他在斜坡上通过的距离是（ ）
A．30m B．25m C．20m D．15m
【答案】C
【详解】对人使用位移时间公式
1 1
= 0 + 2
2 = 5 × 5 + 2 × ( 0.4) × 5
2m = 20m
故选 C。
2．如图为消防队员正在进行滑杆训练的示意图，若某次下滑过程中，消防队员先做初速度
为零的匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，到地面时速度恰好为零，下滑过程中最大速
度为5m/s，下滑所用的总时间为 3s，则消防队员下滑的总高度为（ ）
A．15m B．10m C．7.5m D．5m
【答案】C
【详解】下滑的总高度
1
= 2 m = 7.5m
故选 C。
3．高铁目前是我国的一张名片，在某火车站，维护员站在中央高铁站台上，观察到有一列
高铁正在减速进站（可视为匀减速直线运动）。维护员发现在列车减速过程中相邻两个相等
时间内从他身边经过的车厢节数分别为 1和 2，则 1和 2之比可能是（ ）
A．2：1 B．5：1 C．7：2 D．4：1
【答案】A
【详解】设列车减速过程的加速度大小为 ，相邻两个相等时间为 ，第二个相等时间的末
速度为 ，一节车厢的长度为 ，根据逆向思维可得
1
2 = + 2
2
1
( 1 + 2) = 2 + 2 (2 )
2
可得
3
1 = + 2
2
则有
3
1 +
2
= 2
2 1 + 2
2
可得
1
< 1
3
1 <2 1
故选 A。
4．央视研发的 4k 轨道摄像系统“猎豹”比顶尖的运动员跑得还快，全国产、超高清，让体育
竞技更加公平。某次短跑比赛中，摄像机和运动员的位移时间关系（ 图像）分别如图所
示，则下列说法中正确的是（ ）
A．判定运动员是否存在犯规动作时可将运动员视为质点
B．0 2时间内若以摄像机为参考系，运动员做匀速直线运动
C．0 2时间内任一时刻摄像机的速度都大于运动员的速度
D．0 2时间内摄像机与运动员的平均速度相同
【答案】D
【详解】A．判定运动员是否存在犯规动作时，运动员的形状、大小不能忽略，不能将运动
员视为质点，故 A 错误；
BC． 图像的斜率表示速度，0 2时间内，运动员 图像的斜率逐渐增大，摄像机
图像的斜率恒定不变，则0 2时间内若以摄像机为参考系，运动员做的运动不是匀速直线
运动，由图可知0 2时间内摄像机的速度先大于运动员的速度，后小于运动员的速度，故
BC 错误；
D．0 2时间内，摄像机与运动员的位移相等，运动的时间相等，故0 2时间内摄像机与
运动员的平均速度相同，故 D 正确。
故选 D。
5．研究发现，追赶类游戏对孩子的各项发育都有好处。一小朋友正在和妈妈玩“你追我赶”
游戏，小朋友与妈妈沿同一平直道路运动的 x-t 图像分别如图中的图线 a、b 所示。下列说法
正确的是（ ）
A．妈妈先开始运动
B．妈妈与小朋友从同一位置开始运动
C．第 4s 末，妈妈追上小朋友
D．妈妈与小朋友运动的速度大小之比为 2:1
【答案】C
【详解】A．小朋友在 t=0 时刻开始运动，妈妈在 t=2s 时开始运动，则妈妈后运动，选项 A
错误；
B．小朋友在 x=4m 处开始运动，妈妈在 x=0 处开始运动，妈妈与小朋友不在同一位置开始
运动，选项 B 错误；
C．由图像可知，第 4s 末，妈妈追上小朋友，选项 C 正确；
D．图像的斜率等于速度，则妈妈与小朋友运动的速度大小之比为
8 8 4
: = 2 : 4 = 4:1
选项 D 错误。
故选 C。
6．如图所示，某司机正驾驶汽车以 10m/s 的速度匀速驶向某干道红绿灯路口，当汽车的车
头距离停车线为 16m 时发现有人正在通过人行横道，司机经过一定的反应时间后，立即以
大小为 5m/s2 的加速度减速行驶，最后汽车车头刚好停在停车线处，该司机的反应时间是
（ ）
A．0.2s B．0.3s C．0.5s D．0.6s
【答案】D
【详解】已知 0 = 10m/s， = 16m， = 5m/s
2，则由运动学公式得汽车减速位移大小
2
′ = 02 = 10m
司机的反应时间为
′
Δ = = 0.6s0
故选 D。
7．如图所示，在杭州亚运会田径项目赛场上，机器狗承担了拾捡和运输器材的任务。某次
运输过程中，当机器狗检测到前方有一位站立不动的工作人员，为了避免相撞，机器狗立即
做匀减速直线运动直至停止，已知其减速后第 1s 内的位移是最后 1s 内位移的 5 倍，且这两
段位移的差值为0.4m，则机器狗开始减速后（ ）
A．运动的总时间为 3s B．加速度大小为0.4m/s2
C．总位移大小为6.4m D．初速度大小为2.4m/s
【答案】A
【详解】A．根据运动的逆过程
1: = 1:5
因为
1: 2: 3 = 1:3:5
所以
= 3s总
故 A 正确；
B．由
= 2 2
可得
= 0.2m/s2
故 B 错误；
C．总位移大小为
1
= 2
2 = 0.9m
故 C 错误；
D．初速度大小为
0 = = 0.6m/s
故 D 错误。
故选 A。
8．中央电视台科普节目《加油向未来》在现场利用内部气压为 0.001Pa、高 6m 的亚克力管
做落体实验，将亚克力管等分为四段，从上到下每段标为 1、 2、 3、 4，羽毛由静止开始
从最高点下落，经过 1速度的增加量为Δ 1，经过第三段 3速度的增加量为Δ 2，则Δ 1与Δ 2
的比值满足（ ）
Δ 1 Δ Δ Δ A．1 < Δ < 2 B．2 <
1 1 1
Δ < 3 C．3 < Δ < 4 D．4 <2 2 2 Δ < 52
【答案】C
【详解】由题意可知，小球所在的管内空气阻力可以忽略不计，即小球做自由落体运动，两
端相同距离 h 的时间之比为
1: 2 = 1:( 3 2)
由
Δ =
则
Δ 1 1
Δ =2
= 3 + 2
2
即
Δ
3 < 1Δ < 42
故选 C。
9．（多选）汽车刹车后的运动可以看作是匀减速直线运动，取开始刹车时刻 t＝0，汽车运动
方向为正方向.若刹车后的第 1s 内位移是 9m，第 3s 内的位移是 5m（未停下），则下列判断
中正确的是（ ）
A．刹车后的加速度大小为2m/s2 B．第 0.5s 末的速度为 9m/s
C．汽车的初速度为 12m/s D．从刹车到停止汽车前进 25m
【答案】ABD
【详解】A．根据
3 1 = (3 1)
2
求得
= 2m/s2
A 正确；
B．根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度
1 9
0.5 = = = 1 m/s=9m/s
B 正确；
C．刹车时初速度为
0.5 = 0 +
求得
0 = 0.5 = 9m/s ( 2) × 0.5m/s = 10m/s
C 错误；
D．从刹车到停止的距离为
0 2
= 02 = 25m
D 正确。
故选 ABD。
10．（多选）如图为甲、乙两物体的 x-t 图像，则下列说法正确的是（ ）
A．甲物体做匀加速直线运动
B．若甲、乙在同一直线上运动，则在 = 2s时相遇
C．甲运动的速度大于乙运动的速度
D．甲、乙两物体运动的方向相反
【答案】BD
【详解】A．位移时间图像斜率表示速度，由图可知，图像斜率恒定，所以甲乙两个物体都
做匀速直线运动，A 错误；
B．若甲乙在同一直线上运动，由图像可以看出，甲乙在 = 2s时到达同一位置，故甲乙相
遇，B 正确；
C．位移时间图像的斜率表示速度，从图像可以看出，乙的斜率大于甲的斜率，所以甲运动
的速度小于乙运动的速度，C 错误；
D．位移时间图像斜率的正负表示速度方向，知甲乙两物体运动的方向相反，D 正确。
故选 BD。
11．（多选）一个物体自 = 0时开始做直线运动，其速度—时间图像如图所示。下列说法正
确的是（ ）
A．第 5s 内的加速度方向与第 6s 内的加速度方向相反
B．在第 5s 末，物体离出发点最远
C．在 0-4s 内，物体的平均速度为 7.5m/s
D．在 0-6s 内，物体的平均速率为 7.5m/s
【答案】BC
【详解】A． 图像的斜率表示加速度，可知第 5s 内的加速度方向与第 6s 内的加速度方
向相同，选项 A 错误；
B．在 0~5s 内物体的速度一直为正值，可知在第 5s 末，物体离出发点最远，选项 B 正确；
C．在 0~4s 内，物体的位移
2 + 4
4 = 2 × 10m = 30m
平均速度为
4 30
4 = = 4 m/s = 7.5m/s4
选项 C 正确；
D．在 0~6s 内，物体的路程
2 + 5 1
6 = 2 × 10m+2 × 10m = 40m
平均速率为
6 40
6 = = 6 m/s = 6.67m/s6
选项 D 错误。
故选 BC。
1
12．（多选）如图所示为根据某机动车的运动情况绘制的 2 图像，已知机动车运动轨迹是
直线。关于机动车的运动状态，下列说法正确的是（ ）
A．机动车处于匀加速状态 B．机动车的初速度大小为20m/s
C．机动车的加速度大小为4m/s2 D．机动车在前2s的位移是48m
【答案】BC
【详解】ABC．根据匀变速直线运动公式
1
= 0 + 2
2
变形可得
1 1
2 = 0 + 2
可知机动车的初速度等于图像的斜率，即
2
0 = 0.1 m/s = 20m/s
纵轴截距为
1
2m/s2 = 2
解得
= 4m/s2
故机动车处于匀减速状态，加速度大小为4m/s2，故 A 错误，BC 正确；
D．机动车匀减速运动的总时间为
0
= 0 = 5s
则机动车在前 2s 的位移为
1
= 0 + 2
2 = 32m
故 D 错误。
故选 BC。
13．（多选）非洲大草原上，猎豹捕食羚羊是常见的现象。一只羚羊在草原上沿直线匀速奔
跑，潜伏的猎豹发现它在前方 150m 时，立即加速追赶，而羚羊的嗅觉和听觉非常灵敏，它
发现身后的猎豹后马上加速，如图是它们沿同方向做直线运动的 图像，则下列说法正确
的是（ ）
A．在0~2s内，羚羊和猎豹间的距离逐渐增大
B．6s 末时羚羊与猎豹相距 120m
C．猎豹加速时的加速度比羚羊加速时的加速度大
D．12s 末时，猎豹刚好追上羚羊
【答案】ABC
【详解】A．根据题意，由图可知，在0~2s内，羚羊的速度猎豹的速度，则羚羊和猎豹间的
距离逐渐增大，故 A 正确；
B．根据 图像面积表位移，由图可知，0 6s内猎豹的位移为
1
1 = 2 × 6 × 30m = 90m
羚羊的位移为
2 = 10 × 6m = 60m
6s 末时羚羊与猎豹相距
Δ = 2 1 + 150m = 120m
故 B 正确；
C．根据 图像斜率表示加速度，由图可知，猎豹加速时的加速度为
30
1 = 6 m s
2 = 5 m s2
羚羊加速时的加速度为
30 10
2 = 212 7 m s = 4 m s
2
则猎豹加速时的加速度比羚羊加速时的加速度大，故 C 正确；
D．根据 图像面积表位移，由图可知，0 12s内猎豹的位移为
1
3 = 2 × 6 × 30m + (12 6) × 30m = 270m
羚羊的位移为
1
4 = 10 × 7m + 2 × (10 + 30) × (12 7)m = 170m
则有
3 4 = 270m 170m = 100m < 150m
12s 末时，猎豹没有追上羚羊，故 D 错误。
故选 ABC。
14．小明同学站在平直街道旁 A 点，发现一辆公交车正以 10m/s 速度，从身旁匀速驶过，
此时小明立刻先匀加速后匀减速追赶公交车。A 点与公交车站 B 点的距离为 50m，公交车在
行驶中到距车站 30m 处开始刹车（视为匀减速运动），刚好到 B 点停下，此时小明也恰好到
B 点停下。设小明匀加速和匀减速运动的加速度大小相等。求：
（1）公交车刹车过程的时间；
（2）小明追赶公交车过程的加速度大小。
25
【答案】（1）6s；（2） m/s28
【详解】（1）设 x=30m，v=10m/s，则公交车刹车过程的时间
= 2
解得
t=6s
（2）公交车匀速运动的时间为
50 30
0 = 10 s=2s
设小明匀加速运动的收尾速度为 v0，则
′ = 50m
= 0 ′ 2 ( + 0)
解得
0 = 12.5m/s
小明追赶公交车过程的加速度大小为
2
= 0
25
+ = 8 m/s
2
0
15．物体做直线运动，其 图像如图所示，试求：
（1）5s 末的瞬时速度；
（2）20s 内通过的路程；
（3）30s 内的平均速度。
【答案】（1）3m/s；（2）40m；（3）0
【详解】（1）由图可知物体前 10s 内做匀速直线运动，则 5s 末的瞬时速度等于前 10s 内的
平均速度为
= = 3m/s
（2）由图可知前 10s 内通过的路程为 30m，10~20s 内通过的路程为 10m，则 20s 内通过的
路程
= 30m + 10m = 40m
（4）由图可知 30s 内的位移为 0，故平均速度为 0。
16．开车玩手机导致追尾事故应负全责，一辆汽车从丽水开往杭州，在某一直线路段行驶的
速度为 108km/h。驾驶员低头抢红包盲开 20m 突然发现前方有异常情况，于是紧急刹车。
若汽车橡胶轮胎与路面间的动摩擦因数是 0.75，该驾驶员的反应时间（从发现异常情况到实
施制动的时间）为 0.5s，g 取10m/s2。
（1）求刹车时汽车的加速度大小；
（2）从低头开始到最后停止，求该车的位移大小。
【答案】（1）7.5m/s2；（2）95m
【详解】（1）刹车时，根据牛顿第二定律，有
=
解得加速度大小为
= 7.5m/s2
（2）汽车行驶速度为
= 108km/h = 30m/s
反应时间的位移为
1 = 1 = 15m
刹车阶段的位移为
0 2
2 = 2 = 60m
所以有
= 0 + 1 + 2 = 20m + 15m + 60m = 95m
17．汽车 A、B 在平行的两个车道上行驶，已知汽车 A 以 15m/s 的速度做匀速直线运动，汽
车 B 在 A 前方 x0=31m 处以 20m/s 的速度同向行驶，如图所示，此时 B 开始匀减速刹车，刹
1
车时所受阻力为其重力的4，当 A、B 两车间的距离最远时，A 也开始匀减速刹车，最终两车
并排停在同一位置，两车可视为质点，取 g=10/s2。求：
（1）A、B 之间的最远距离；
（2）A 刹车时的加速度大小。
25
【答案】（1）36m；（2） 218m/s
【详解】（1）对B由牛顿第二定律得
1
4 B = B B
得
B = 2.5m/s
2
当 A、B 速度相等时，间距最远，由运动学公式
1 = 2 B
此时 A 位移大小为
1 = 1
B位移大小为:
1 + 2
2 = 2
两者间距最远为:
Δ m = 2 + 0 1
联立可得
Δ m = 36m
（2）汽车B从 B1 = 15m/s，刹车减为 0 的位移
2
= B1B 2 = 45mB
汽车 A 从刹车至静止的位移
2
= 1A 2 A
另有
A = B + Δ m
联合各式得
25
= m/s2A 18
18．某十字路口，红灯拦停了很多汽车，拦停的汽车排成笔直一列，最前面的一辆汽车的前
端刚好与路口停车线相齐，相邻两车的前端之间的距离均为 = 5.0m。假设绿灯亮起瞬时，
每辆汽车都同时以加速度 = 2.0m/s2启动，做匀加速直线运动，速度达到 = 10.0m/s时做
匀速运动通过路口。该路口亮绿灯时间 = 20.0s，而且有按倒计时显示的时间显示灯。另外
交通规则规定：原在绿灯时通行的汽车，绿灯结束时刻，车头已越过停车线的汽车允许通过。
求：
（1）一次绿灯时间有多少辆汽车能通过路口？
（2）事实上由于人要有反应时间，绿灯亮起时不可能所有司机同时起动汽车，现假设绿灯
亮起时，第一个司机迟后 0 = 0.60s起动汽车，后面司机都比前一辆车迟后 0 = 0.60s起动汽
车，在该情况下，有多少辆车能通过路口？
【答案】（1）35；（2）16
【详解】（1）汽车做匀加速运动的时间为
10
1 = = 2 s = 5s
每辆车在20.0s内的位移为
1
= 2
1
1 2 1 + ( 1) = 2 × 2 × 5
2 + 10 × (20 5)m = 175m
一次绿灯通过路口的车辆数目为
175
= = 5 = 35
故一次绿灯能通过 35 辆汽车。
（2）设一次绿灯能通过 辆汽车，则
1
= 2 2 1 + ( 1 0)
第 辆汽车通过路口有
> ( 1)
解得
180
≤ 11
故一次绿灯能通过16辆汽车。2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系（知识解读）（原卷版）
知识点 1 匀变速直线运动位移与时间的关系
知识点 2 匀变速直线运动速度与位移的关系
知识点 3 匀变速直线运动规律的综合运用
作业 巩固训练
知识点 1 匀变速直线运动位移与时间的关系
1
1、匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v 20t＋ at 。
2
2、公式的推导
（1）利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足
够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，
其误差也非常小，如图所示。
（2）利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间 t 内的平均速度就
1
等于时间 t内的初速度 v0和末速度 v的平均值，即 x＝ (v0＋v)t。结合公式 v＝v0＋at可导
2
1 1
出位移公式：x＝v0t＋ at2，当初速度为 0时，x＝ at2。
2 2
3、技巧归纳
（1）在 v－t图像中，图线与 t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，
t轴下方面积表示位移为负。
1
（2）位移公式 x＝v t＋ at20 只适用于匀变速直线运动。
2
（3）公式中 x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向；一般选 v0的方向为正方向．当物
体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移 x的正负表示其方向。
1
（4）当 v0＝0时，x＝ at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移 x与 t2成正
2
比。
4、匀变速直线运动中的平均速度
1 2v at
在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度 v 0t v0 at ，
2 2 2
该段时间的末速度 v=vt+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可
1 2
v x
v0t at2 1 2v at v v at v v得 v0 at 0 0 0 0 t v 。即有：t t 2 2 2 2 t2
v v0 v t v
2 t2
所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，
又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。
5、匀变速直线运动推论公式：
任意两个连续相等时间间隔 T内，位移之差是常数，即△x=x -x =aT22 1 ．拓展：△xMN=xM-xN=
（M-N）aT2。
推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间 T内的位移，加速度为 a。
x v 11 CT aT
2
2 △x＝x x ＝aT2
x 1
2 1
2 vCT aT
2
2
【典例 1-1】如图为某质点作匀变速运动的位移 s 随时间 t 变化的规律，图像为一条抛物线，
则下列说法正确的是（ ）
A．在 1s 末，质点的速率最大
B．在 0~1s 内质点所受合力的方向与速度方向相反
C．在 0~1s 内和 1~2s 内，质点的加速度方向相反
D．在 = 0.5s时，质点的位移大小为 25m
【典例 1-2】（多选）一辆汽车从静止开始沿平直公路匀加速前进，启动时刚好有一位绿色
出行的人骑自行车匀速从汽车旁经过，它们的位移 x 随时间 t 变化的图像如图所示。下列说
法正确的是（ ）
A． = 10s时，两车相遇 B．0~10s内，两车平均速度不同
C． = 20s时，汽车刚好追上自行车 D． = 10s时，汽车的速度大于自行车的速度
【变式 1-1】如图所示为甲、乙两物体在同一条直线上做匀变速运动的位移—时间图象，两
图线相切于点 A（2.0 s，4.0 m）。已知甲物体的初速度为 0，乙物体的加速度大小为 1 m/s2，
下列说法正确的是（ ）
A．甲物体的加速度大小为 4 m/s2 B．甲、乙两物体的加速度方向相同
C．乙物体的初速度大小为 4 m/s D．t=0 时刻，甲、乙两物体相距 6 m
【变式 1-2】（多选） 和 两个小球在外力作用下沿同一直线运动，其位置—时间( )图像
分别为图中直线和曲线，已知 做匀变速运动，曲线过点(1s,0m)且和直线刚好在点(3s,8m)
相切，则下列判断正确的是（ ）
8
A． 做匀速直线运动，且 = 3m/s
B． = 3s时 和 相遇，此时二者速度相等
C． 做匀减速直线运动且加速度大小为2m/s2
D． = 0时 和 的距离为10m
知识点 2 匀变速直线运动速度与位移的关系
1、匀变速直线运动位移与速度的关系。
1
（1）由位移公式：x＝v0t＋ at2和速度公式 v=v0+at消去 t得：v2-v 20 =2ax。
2
（2）匀变速直线运动的位移-速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系。
①此公式仅适用于匀变速直线运动；
②式中 v0和 v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移；
③公式中四个矢量 v、v0、a、x要规定统一的正方向。
（3）两种特殊形式
①当 v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
②当 v＝0时，－v02＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
2、匀变速直线运动的位移中点的瞬时速度推导：
x
前半段：v 2x/2 -v 20 =2a 2
x
后半段：v 2-v 2t x/2 =2a 2
2
v v0 v
2
将两式相减的： tx
2 2
3、不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度均大于时间中点的速
度，即：vx/2＞vt/2。
【典例 2-1】无人驾驶汽车已在我国某些地区开始上路试运行，一国产无人驾驶汽车，在试
驾过程中以 10m/s 的速度行驶。人工智能发现车头前方 37.5m 处的斑马线上有行人，为礼
让行人汽车自动刹车，开始做匀减速运动，减速过程 v－x 图像如图所示，则（ ）
A．汽车的加速度大小为 2m/s2
B．汽车经过斑马线时速度还未减为 0，所以行人一定会被撞
C．若行人通过斑马线的时间是 4s，则行人没有被撞的危险
D．汽车开始减速后 10s 内，其位移大小恰好为 37.5m
【典例 2-2】（多选）在某地客车和货车在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。
客车做初速度为零，加速度大小为 1的匀加速直线运动；货车做初速度为 0，加速度大小为
2的匀减速直线运动至速度减为零后保持静止客、货两车在运动过程中的 （位移-速度）
图像如图所示．其中虚线与对应的坐标轴垂直，在两车从开始运动，至货车停止运动过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．货车运动的位移为18m B．两车不会同时到达6m处
C．两车最大间距为18m D．两车最大间距为6m
【典例 2-3】一小汽车由静止开始做匀变速直线运动，其位移与速度平方（ 2）的图像如
图所示，求：
（1）小汽车运动的加速度大小 a；
（2）小汽车由静止开始运动到位移大小 x=64m 时所用的时间 t。
【变式 2-1】如图所示是某物体做直线运动的 v2-x 图像（其中 v 为速度，x 为位置坐标），下
列关于该物体从 x=0 处运动至 x=x0处的过程分析，其中正确的是（ ）
2
A ．该物体的加速度大小为 0 0
0
B．该物体的运动时间为 0
C 0 0．当该物体的位移大小为 2时，速度大小为 2
0 3D．当该物体的速度大小为 2时，位移大小为4 0
【变式 2-2】（多选）如图所示，四块相同的混凝土实心砖并排固定在水面地面上，子弹以
水平速度 0从 P 点射入实心砖中，到达 Q 点时的速度恰好为零。假设子弹在混凝土实心砖
中做匀减速直线运动，且运动的总时间为 t。下列说法正确的是（ ）
A．子弹刚穿过第 2 块砖时的速度大小为 3
2 0
1
B．子弹刚穿过第 3 块砖时的速度大小为2 0
C．子弹穿过第 2 块砖所用的时间为 3 2
2
D．子弹穿过第 3 块砖所用的时间为( 2 1)
【变式 2-3】甲乙两质点在同一直线上同向运动，t=0 时刻，质点甲在质点乙前方。两质点
各自运动的 2 （v 为各自的速度，x 为各自的位移）图像如图所示，求：
（1）质点乙的速度随时间变化的关系式；
（2）若两质点运动过程中不相遇，则 t=0 时刻二者的距离至少是多少；
（3）若两质点在 t=0 时相距 4.5m，则以后二者在哪些时刻可以相遇。
知识点 3 匀变速直线运动规律的综合运用
1、求解匀变速直线运动的常用方法：基本公式法、特殊公式法、比例法（6个比例式）、
逆向思维法、图象法。
1 1
2、基本公式法：①vt＝v0＋at ②x＝v 2 0t＋ at ③x＝ (v0＋v)t ④v2-v 20 =2ax
2 2
v v
3、特殊公式法：①△x＝aT2 ②S -S =（M-N）aT2 ③ v v 0 tM N t
2 2
4、比例法（6个比例式）
初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律：
（1）ts 末、2ts 末、3ts 末…nts 末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：
n；
推导：由 vt=at知 v1=at，v2=2at，v3=3at，…，vn=nat，
则可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3：…：n；
（2）xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n
推导：由 v2=2ax知 v1 2ax ， v2 2a2x ， v3 2a3x ，…， vn 2anx ；
则可得：v1：v2：v3：…：vn=1：2：3 :…: n ；
（3）ts内、2ts内、3ts内…nts内的位移之比为：x1：x2：x 2 2 23：…：xn=1 ：2 ：3 ：…：
n2；
1 1 1 1 1
推导：由 x= at2知 x1= at2，x = a（2t）2，x = a（3t）2，…，x 22 2 2 2 3 2 n
= a（nt） ；
2
则可得：x1：x2：x3：…：xn=12：22：32：…：n2；
（4）连续相等时间内的位移之比为：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）
1 1 1 1 1
推导：由 x= at2知 x 2Ⅰ= at ，xⅡ= a（22-12）t2，x 2 2 2 22 2 2 Ⅲ
= a（3 -2 ）t ，…，xN= a[n -2 2
（n-1）12]t2，
则可得：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN=1：3：5：…：（2n-1）；
（5）前一个 x、前两个 x、前三个 x …所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n
1 2x 2 2x 2 3x 2 nx
推导：由 x= at2知 t1= ，t2= ，t3= ，…，t2 a a a n
= ；
a
则可得：t1：t2：t3：…：tn=1：2：3 :…: n ；
（6）连续相等位移所用的时间之比为：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：
（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
1 2x 2 2x 2x 2x
推导：由 x= at2知 t1= ，t2= - =（ 2 -1） ，t3=（ 3 - 2）2 a a a a
2x 2x
，…，tn=（ n - n -1） ；a a
则可得：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN=1：（ 2 -1）：（ 3 - 2）：…：（ n - n -1）
5、逆向思维法
逆向思维法是把运动过程的“末态”作为“初态”来反向研究问题的方法．如物体做减速运
动可看成反向加速运动来处理．末状态已知的情况下，若采用逆向思维法往往能起到事半功
倍的效果。
6、图象法
v t图像和 x t图像的应用技巧
（1）确认是哪种图像，v t图像还是 x t图像。
（2）理解并熟记五个对应关系
①斜率与加速度或速度对应；
②纵截距与初速度或初始位置对应；
③横截距对应速度或位移为零的时刻；
④交点对应速度或位置相同；
⑤拐点对应运动状态发生改变。
7、刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答
此类问题的思路是：
v0
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间 t 刹＝ ；
a
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若 t>t 刹，
不能盲目把时间代入；若 t【典例 3-1】为满足旅客乘坐高铁出行的不同需要，城际高铁开通了“一站直达”列车和“站站
停”列车两种班次。假设两城高铁站之间均匀分布了 4 个车站，若列车在进站和出站过程中
做匀变速直线运动，加速度大小均为 2m/s2，其余行驶时间内保持最高时速 288km/h 匀速运
动，“站站停”列车在每个车站停车时间均为 t0=2min，则一站直达列车比“站站停”列车节省
的时间为（ ）
A．10min40s B．11min20s
C．13min20s D．14min40s
【典例 3-2】（多选）如图为港珠澳大桥上四段 110m 的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从 a 点由
静止开始做匀加速直线运动，通过 ab 段的时间为 t。则（ ）
A．通过 cd 段的时间为 3
B．通过 ce 段的时间为(2 2)
C．ae 段的平均速度大于 ce 段的平均速度
D．ae 段的平均速度等于 b 点的瞬时速度
【变式 3-1】某质点在一条直线上由静止开始运动，先做匀加速运动后做匀减速运动至速度
减为零，两段过程的加速度大小 1与 2的比值是1:1，匀加速运动过程的位移是4 ，则质点
完成第 4 个 和完成第 8 个 所用时间之比为（ ）
A． 2 B．2 3 C 2 3． 2 D．
1 1 2 8 7
【变式 3-2】一位清洁工人正推着清洗车在擦洗一座长为 L=60 m 的桥上的栏杆，当他擦洗
到距桥的右端 L1=20.5 m 处时，突然发现一汽车在距离桥右端 x=400 m 处以速度 v0=30 m/s
向桥上驶来，汽车司机也同时发现了清洁工人，并立刻以 a=1m/s2 的加速度刹车，由于桥面
非常窄，清洁工人立即向右奔跑来避让汽车，假设清洁工人推着清洗车匀速逃离。则清洁工
人向右奔跑的速度至少是多少？
1．骑自行车的人以 5m/s 的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动，加速度大小是 0.4m/s2，
经过 5s，他在斜坡上通过的距离是（ ）
A．30m B．25m C．20m D．15m
2．如图为消防队员正在进行滑杆训练的示意图，若某次下滑过程中，消防队员先做初速度
为零的匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，到地面时速度恰好为零，下滑过程中最大速
度为5m/s，下滑所用的总时间为 3s，则消防队员下滑的总高度为（ ）
A．15m B．10m C．7.5m D．5m
3．高铁目前是我国的一张名片，在某火车站，维护员站在中央高铁站台上，观察到有一列
高铁正在减速进站（可视为匀减速直线运动）。维护员发现在列车减速过程中相邻两个相等
时间内从他身边经过的车厢节数分别为 1和 2，则 1和 2之比可能是（ ）
A．2：1 B．5：1 C．7：2 D．4：1
4．央视研发的 4k 轨道摄像系统“猎豹”比顶尖的运动员跑得还快，全国产、超高清，让体育
竞技更加公平。某次短跑比赛中，摄像机和运动员的位移时间关系（ 图像）分别如图所
示，则下列说法中正确的是（ ）
A．判定运动员是否存在犯规动作时可将运动员视为质点
B．0 2时间内若以摄像机为参考系，运动员做匀速直线运动
C．0 2时间内任一时刻摄像机的速度都大于运动员的速度
D．0 2时间内摄像机与运动员的平均速度相同
5．研究发现，追赶类游戏对孩子的各项发育都有好处。一小朋友正在和妈妈玩“你追我赶”
游戏，小朋友与妈妈沿同一平直道路运动的 x-t 图像分别如图中的图线 a、b 所示。下列说法
正确的是（ ）
A．妈妈先开始运动
B．妈妈与小朋友从同一位置开始运动
C．第 4s 末，妈妈追上小朋友
D．妈妈与小朋友运动的速度大小之比为 2:1
6．如图所示，某司机正驾驶汽车以 10m/s 的速度匀速驶向某干道红绿灯路口，当汽车的车
头距离停车线为 16m 时发现有人正在通过人行横道，司机经过一定的反应时间后，立即以
大小为 5m/s2 的加速度减速行驶，最后汽车车头刚好停在停车线处，该司机的反应时间是
（ ）
A．0.2s B．0.3s C．0.5s D．0.6s
7．如图所示，在杭州亚运会田径项目赛场上，机器狗承担了拾捡和运输器材的任务。某次
运输过程中，当机器狗检测到前方有一位站立不动的工作人员，为了避免相撞，机器狗立即
做匀减速直线运动直至停止，已知其减速后第 1s 内的位移是最后 1s 内位移的 5 倍，且这两
段位移的差值为0.4m，则机器狗开始减速后（ ）
A．运动的总时间为 3s B．加速度大小为0.4m/s2
C．总位移大小为6.4m D．初速度大小为2.4m/s
8．中央电视台科普节目《加油向未来》在现场利用内部气压为 0.001Pa、高 6m 的亚克力管
做落体实验，将亚克力管等分为四段，从上到下每段标为 1、 2、 3、 4，羽毛由静止开始
从最高点下落，经过 1速度的增加量为Δ 1，经过第三段 3速度的增加量为Δ 2，则Δ 1与Δ 2
的比值满足（ ）
Δ
A 1 < 1
Δ Δ Δ
． Δ < 2 B．2 <
1
Δ < 3 C 3 <
1
． Δ < 4 D．4 <
1 < 5
2 2 2 Δ 2
9．（多选）汽车刹车后的运动可以看作是匀减速直线运动，取开始刹车时刻 t＝0，汽车运动
方向为正方向.若刹车后的第 1s 内位移是 9m，第 3s 内的位移是 5m（未停下），则下列判断
中正确的是（ ）
A．刹车后的加速度大小为2m/s2 B．第 0.5s 末的速度为 9m/s
C．汽车的初速度为 12m/s D．从刹车到停止汽车前进 25m
10．（多选）如图为甲、乙两物体的 x-t 图像，则下列说法正确的是（ ）
A．甲物体做匀加速直线运动
B．若甲、乙在同一直线上运动，则在 = 2s时相遇
C．甲运动的速度大于乙运动的速度
D．甲、乙两物体运动的方向相反
11．（多选）一个物体自 = 0时开始做直线运动，其速度—时间图像如图所示。下列说法正
确的是（ ）
A．第 5s 内的加速度方向与第 6s 内的加速度方向相反
B．在第 5s 末，物体离出发点最远
C．在 0-4s 内，物体的平均速度为 7.5m/s
D．在 0-6s 内，物体的平均速率为 7.5m/s
1
12．（多选）如图所示为根据某机动车的运动情况绘制的 2 图像，已知机动车运动轨迹是
直线。关于机动车的运动状态，下列说法正确的是（ ）
A．机动车处于匀加速状态 B．机动车的初速度大小为20m/s
C．机动车的加速度大小为4m/s2 D．机动车在前2s的位移是48m
13．（多选）非洲大草原上，猎豹捕食羚羊是常见的现象。一只羚羊在草原上沿直线匀速奔
跑，潜伏的猎豹发现它在前方 150m 时，立即加速追赶，而羚羊的嗅觉和听觉非常灵敏，它
发现身后的猎豹后马上加速，如图是它们沿同方向做直线运动的 图像，则下列说法正确
的是（ ）
A．在0~2s内，羚羊和猎豹间的距离逐渐增大
B．6s 末时羚羊与猎豹相距 120m
C．猎豹加速时的加速度比羚羊加速时的加速度大
D．12s 末时，猎豹刚好追上羚羊
14．小明同学站在平直街道旁 A 点，发现一辆公交车正以 10m/s 速度，从身旁匀速驶过，
此时小明立刻先匀加速后匀减速追赶公交车。A 点与公交车站 B 点的距离为 50m，公交车在
行驶中到距车站 30m 处开始刹车（视为匀减速运动），刚好到 B 点停下，此时小明也恰好到
B 点停下。设小明匀加速和匀减速运动的加速度大小相等。求：
（1）公交车刹车过程的时间；
（2）小明追赶公交车过程的加速度大小。
15．物体做直线运动，其 图像如图所示，试求：
（1）5s 末的瞬时速度；
（2）20s 内通过的路程；
（3）30s 内的平均速度。
16．开车玩手机导致追尾事故应负全责，一辆汽车从丽水开往杭州，在某一直线路段行驶的
速度为 108km/h。驾驶员低头抢红包盲开 20m 突然发现前方有异常情况，于是紧急刹车。
若汽车橡胶轮胎与路面间的动摩擦因数是 0.75，该驾驶员的反应时间（从发现异常情况到实
施制动的时间）为 0.5s，g 取10m/s2。
（1）求刹车时汽车的加速度大小；
（2）从低头开始到最后停止，求该车的位移大小。
17．汽车 A、B 在平行的两个车道上行驶，已知汽车 A 以 15m/s 的速度做匀速直线运动，汽
车 B 在 A 前方 x0=31m 处以 20m/s 的速度同向行驶，如图所示，此时 B 开始匀减速刹车，刹
1
车时所受阻力为其重力的4，当 A、B 两车间的距离最远时，A 也开始匀减速刹车，最终两车
并排停在同一位置，两车可视为质点，取 g=10/s2。求：
（1）A、B 之间的最远距离；
（2）A 刹车时的加速度大小。
18．某十字路口，红灯拦停了很多汽车，拦停的汽车排成笔直一列，最前面的一辆汽车的前
端刚好与路口停车线相齐，相邻两车的前端之间的距离均为 = 5.0m。假设绿灯亮起瞬时，
每辆汽车都同时以加速度 = 2.0m/s2启动，做匀加速直线运动，速度达到 = 10.0m/s时做
匀速运动通过路口。该路口亮绿灯时间 = 20.0s，而且有按倒计时显示的时间显示灯。另外
交通规则规定：原在绿灯时通行的汽车，绿灯结束时刻，车头已越过停车线的汽车允许通过。
求：
（1）一次绿灯时间有多少辆汽车能通过路口？
（2）事实上由于人要有反应时间，绿灯亮起时不可能所有司机同时起动汽车，现假设绿灯
亮起时，第一个司机迟后 0 = 0.60s起动汽车，后面司机都比前一辆车迟后 0 = 0.60s起动汽
车，在该情况下，有多少辆车能通过路口？
