3.5 共点力的平衡（知识解读）（解析版）
知识点 1 一般情况下的共点力平衡
知识点 2 动态平衡分析
作业 巩固训练
知识点 1 一般情况下的共点力平衡
1、平衡状态：物体静止或做匀速直线运动。
2、平衡条件： F合 = 0或 Fx = 0， Fy = 0 。
3、常用推论
①若物体受 n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相
等、方向相反。
②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。
4、处理共点力平衡问题的基本思路
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程
→求解或作讨论。
5、求解共点力平衡问题的常用方法：
①合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡。
②正交分解法： Fx合 = 0 ， Fy合 = 0，常用于多力平衡。
③矢量三角形法，把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般
三角形。
6、物体受多个力作用处于平衡状态时，可以通过求出其中几个力的合力，将多个力的平衡
问题转化为二力平衡或三力平衡问题。
7、应用共点力平衡条件解题的步骤
（1）明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
（2）分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
（3）对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
（4）建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。
（5）求解方程，并讨论结果。
【典例 1-1】如图所示，用一根细绳跨过铁钉将一块小黑板悬挂在墙壁上，细绳的两端固定
在小黑板边缘两点 A、B 上。小黑板静止时，铁钉两侧细绳与竖直方向的夹角分别为a 、
b 。细绳质量不计，细绳与铁钉接触处摩擦不计，则关于夹角a 、b 大小关系正确的是
（ ）
A．若 A 点高于 B 点，则a > b
B．若 A 点高于 B 点，则绳 OB 段的拉力较大
C．不论 A 点与 B 点高度关系如何，均有a = b
D．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计，平衡时 OA 与 OB 的长度一定相等
【答案】C
【详解】A B C．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计,则 OA 绳中张力FOA 与 OB 绳中张力FOB 大
小相等，两力的合力竖直向上，所以两力的水平分力相等，即
FOA sina = FOB sin b
又
FOA = FOB
得
sina = sin b
因此不论 A 点与 B 点高度关系如何，均有
a = b
故 AB 错误，C 正确；
D．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计，平衡时 OA 与 OB 的长度不一定相等，只需要满足
FOA 、FOB 两力的水平分力相等即可，故 D 错误。
故选 C。
【典例 1-2】（多选）商场中的电动扶梯有两种，顾客 A、B 分别站在如图甲、乙所示的电动
扶梯上随扶梯做匀速直线运动，图甲中扶梯台阶的上表面水平且粗糙。下列说法正确的是
（ ）
A．顾客 A 受到的支持力与其受到的重力大小相等
B．顾客 B 受到的摩擦力小于其受到的重力
C．顾客 A 受到的摩擦力方向水平向左
D．顾客 B 受到的支持力方向竖直向上
【答案】AB
【详解】AC．以顾客 A 为对象，根据受力平衡可知，顾客 A 受到重力和竖直向上的支持力，
支持力与重力大小相等；水平方向顾客 A 受到的摩擦力为 0，故 A 正确，C 错误；
BD．以顾客 B 为对象，根据受力平衡可知，顾客 B 受到重力、垂直于斜面向上的支持力和
沿斜面向上的摩擦力；设斜面倾角为q ，则有
fB = mBg sinq < mBg
故 B 正确，D 错误。
故选 AB。
【典例 1-3】如图所示，人与木块重分别为 600N 和 400N，人与木块，木块与水平面间的动
摩擦因数为 0.2，绳与滑轮间摩擦不计，则当人用F = N 的力拉绳，就可以使人与木块
一起匀速运动，此时人受到摩擦力方向水平向 ，木块对水平面的摩擦力的大小为 N。
【答案】 100 左 200
【详解】[1][2][3]地面受到木块给的摩擦力大小为
f = mFN = m G人 + G木 = 0.2 600 + 400 N = 200N
设人拉绳子的力大小为 F，对人和木块整体，根据平衡条件得
2F = f
解得
F = 100N
根据平衡力可知，人受到摩擦力方向水平向左。
【典例 1-4】如图所示，放在粗糙斜面（斜面固定不动）上的物块 A 和悬挂的物块 B 均处于
静止状态，轻绳 AO 绕过光滑的定滑轮与轻质弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于 O 点。轻
质弹簧中轴线沿水平方向，轻绳OC 段与竖直方向的夹角q = 53°，斜面倾角a = 37°，弹簧
劲度系数为 k = 200N/m，弹簧的形变量 x = 2cm ，物体 A 与斜面间的动摩擦因数m = 0.5，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 g = 10m/s2 ， sin 53° = 0.8， cos53° = 0.6。求：
（1）B 物块的质量；
（2）为了使 A 和 B 始终在图示位置处于静止状态，A 物体的质量要满足什么条件？
【答案】（1）0.3kg；（2）0.5kg m 2.5kg
【详解】（1）弹簧的弹力大小为
Fx = kx = 4N
对结点 O 进行受力分析由平衡条件有
m g FB = xtanq
解得
mB = 0.3kg
（2）对结点 O 进行受力分析由平衡条件可得 OC 绳的拉力为
T F= x = 5N
sinq
可知 A 恰好不上滑有 A 质量的最小值，对 A 进行受力分析如图所示
由平衡条件有
N = mmin g cosa
mmin g sina + fm = T
又
fm = mN
解得
mmin = 0.5kg
可知 A 恰好不下滑有 A 质量的最大值，对 A 进行受力分析如图所示
N = mmax g cosa
mmax g sina = T + fm
又
fm = mN
解得
mmax = 2.5kg
为了使 A 和 B 始终在图示位置处于静止状态，A 物体的质量要满足
0.5kg m 2.5kg
【变式 1-1】一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为 m 的圆环穿过细
线，如图所示。若 AC 段竖直，BC 段水平，AC 长度等于 BC 长度，重力加速度为 g，细线
始终有张力作用，现施加一作用力 F 使圆环保持静止状态，则力 F 的值不可能为（ ）
1
A． mg B．mg C． 2mg D．2mg
2
【答案】A
【详解】两细绳对圆环的拉力大小相等，则合力方向斜向左上方45°，则当作用力 F 与该合
力垂直时，作用力 F 最小，即 F 的最小值为
F = mg cos 45 2° = mg
2
故选 A。
【变式 1-2】（多选）某战士爬杆训练的场景如图所示，关于战士在匀速竖直向上爬升的过
程和下滑的过程中的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．战士向上爬升时受到的摩擦力方向向上
B．战士向上爬升时受到的摩擦力与其受到的重力一定大小相等
C．战士下滑时的摩擦力一定等于战士的重力
D．战士向上爬升时手握得越紧，杆子与手之间的摩擦力就会越大
【答案】AB
【详解】AB．战士在匀速竖直向上爬升的过程中，处于平衡状态，受到的静摩擦力与重力
平衡，大小不变，方向向上，故 AB 正确；
C．战士匀速下滑时，摩擦力会等于战士的重力，题干中没有说匀速下滑，所以摩擦力和重
力的大小无法判断，故 C 错误；
D．战士在匀速竖直向上爬升的过程中，处于平衡状态，受到的是静摩擦力，大小等于重力，
而握得越紧，只会增大杆子与手之间的最大静摩擦力，并不会改变此刻的静摩擦力，故 D
错误。
故选 AB。
【变式 1-3】如图所示，位于水平桌面上的物块P ，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从
滑轮到P 和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P 之间以及P 与桌面之间的动摩擦因数均为
m ，两物块的质量均为m ，重力加速度为 g 。滑轮轴上的摩擦不计，用一水平向右的力F
拉P 使其做匀速运动。运动过程中物块Q受到的摩擦力方向 （选填“水平向左”或“水
平向右”）、大小为 ，水平拉力F 的大小为 。
【答案】 水平向右 mmg 4mmg
【详解】[1][2]根据题意可知，物块 Q 相对物块 P 向左运动，则运动过程中物块Q受到的滑
动摩擦力方向水平向右，大小为
fQ = mmg
[3]对物块 Q 受力分析，由平衡条件可得，绳子的拉力为
F1 = fQ = mmg
由牛顿第三定律可知，物块 P 受到物块 Q 的摩擦力方向水平向左，大小为
f 'Q = fQ = mmg
对物块 P 受力分析，由平衡态条件有
F = F1 + f
'
Q + fP
又有
fP = m ×2mg
联立解得
F = 4mmg
【变式 1-4】如图所示，光滑圆球 A 的半径为10cm，悬线长 l = 40cm，物体 B 的厚度为
20cm，重为12N 。物体 B 与墙之间的动摩擦因数m = 0.2 ，物体 B 在未脱离圆球前匀速下滑，
试求：
（1）球对物体 B 的压力多大？
（2）球多重？
【答案】（1）60N；（2）80N
【详解】（1）对 B 物体受力分析，如图所示
因为物体 B 匀速下滑，根据受力平衡可得
GB = Ff
又
Ff = mFNA
解得
FNA = 60N
（2）对球 A 受力分析，如图所示
由几何关系得
tanq 3=
4
又因为
tanq F= NB F= NA
GA GA
解得
GA = 80N
知识点 2 动态平衡分析
1、动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生缓慢改变，“缓慢”
指物体的速度很小，可认为速度为零，所以在变化程中可认为物体处于平衡状态，把物体的
这种状态称为动态平衡态。
2、动态平衡的四种典型解法：解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法。
3、解析法应用一般步骤：
（1）选某一状态对物体进行受力分析；
（2）将其中两力合成，合力与第三个力等大反向；
（3）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
（4）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
※解析法适用于有特殊三角形的时候（直角始终存在）。
4、图解法应用一般步骤：
（1）确定恒力、定向力、第三力
（2）画出恒力，从恒力末端画出与定向力同方向的虚线，将第三力平移与恒力、定向力构
成矢量三角形。
（3）根据题中变化条件，比较这些不同形状的矢量三角形，判断各力的大小及变化。
※图解法适用于三力动态平衡：一力大小方向均不变、一力方向不变、一力大小方向都变。
5、相似三角形法:物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，根据合力为零，把三个力画在
一个三角形中，看力的三角形与哪个三角形相似，找到力的三角形与空间三角形相似后，根
据相似三角形的对应边成比例，列方程求解.
※相似三角形法适用于：有一恒力，另外两个力大小、方向都变。
6、辅助圆法：适用于物体受三个力处于动态平衡时，其中一个力大小、方向均确定,另两个
力大小、方向均不确定,但是这两个力的方向夹角保持不变。
【典例 2-1】如图，一块木板倾斜放置，O 端着地，一个物块放在木板上处于静止，将木板
绕 O 点在竖直面内顺时针缓慢转动，物块相对于木板始终静止。则在转动过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．物块受两个力的作用 B．物块受到的合外力变大
C．物块对木板的压力大小不变 D．木板对物块的摩擦力不断增大
【答案】D
【详解】A．物块受重力、弹力、摩擦力作用，A 错误；
B．物块始终静止，所受合外力为 0，保持不变，B 错误；
C．当木板倾角为 θ 时，物块对木板的压力大小为
F=mgcosθ
当 θ 增大，压力减小，C 项错误；
D．根据力的平衡，木板对物块的摩擦力
Ff=mgsinθ
当 θ 增大，摩擦力增大，D 正确。
故选 D。
【典例 2-2】（多选）如图，右侧面光滑的斜面体固定在水平面上，质量相等的物块 M、N
分别放在斜面体的左右两个面上，M、N 拴接在跨过光滑定滑轮的轻质细绳两端，整个系统
处于静止状态。现对 N 施加一始终与右侧轻绳垂直的拉力 F，使 N 缓慢移动至右侧细绳水
平，该过程 M 保持静止。下列说法正确的是（ ）
A．拉力 F 先减小后增大
B．轻绳的拉力逐渐增大
C．M 所受摩擦力先减小后增大
D．斜面对 M 的作用力先减小后增大
【答案】CD
【详解】AB．N 离开斜面后，设 F 与竖直方向的夹角为q ，有
T = mg sinq ，F = mg cosq θ 逐渐减小，所以绳子拉力逐渐减小，F 逐渐增大；故 AB 错误；
C．力 F 作用之前，有
mg sin 30° + f = mg sin 60°
所以原来 M 所受摩擦力沿斜面向下，随着绳子拉力的减小，M 受到的摩擦力逐渐减小，当
右绳水平时，绳子拉力为零，则 M 受到的摩擦力沿斜面向上，所以 M 受到的摩擦力先沿斜
面向下减小，再沿斜面向上增大，故 C 正确；
D．斜面对 M 的作用力为斜面的支持力及摩擦力，因为支持力不变，所以当摩擦力先减小再
增大时，斜面对 M 的作用力先减小后增大，故 D 正确。
故选 CD。
【典例 2-3】如图所示，倾角为 30°、质量 M=2kg 的斜面体 C 置于粗糙水平地面上，质量 mB=3kg
的小物块 B 置于粗糙斜面上，通过不可伸长的细绳跨过光滑轻质定滑轮与质量为mA = 3kg
的物块 A 相连接。开始 A 静止在滑轮的正下方，连接 B 的一段细绳与斜面平行，B、C 始终
保持静止状态，细绳的质量不计。现对 A 施加一个拉力 F 使 A 缓慢移动，移动过程中 F 与
连接 A 的轻绳的夹角始终保持 120°，直至轻绳水平，g 取 10m/s2.求：
（1）A 静止时地面对 C 支持力的大小；
（2）轻绳水平时，B 受到的摩擦力；
（3）A 缓慢移动过程中，地面对 C 摩擦力的最大值。
【答案】（1） (50 - 5 3)N ；（2）5N，方向沿斜面向上；（3）10 3N
【详解】（1）A 静止时细绳中的张力FT1
FT1 = mA g
以 BC 作为整体，其受力示意图如图，
地面对 C 的支持力为 FN，摩擦力FfC
FN + FT1 sinq = (mB + M )g
解得
FN = (50 - 5 3)N
（2）轻绳水平时，物块 A 的受力示意图如图
F cos30° = mA g
F sin 30° = FT2
物块 B 的受力示意图如图
FT2 + Ff = mBg sinq
解得
Ff = 5N ，方向沿斜面向上
（3）由 BC 作为一个整体的受力示意图可知
FfC = FT cosq
当细绳中张力最大时，地面的摩擦力就达到最大值
物块 A 在重力、拉力 F 和细绳张力 FT 作用下始终处于平衡状态，所以三个力的合力等于零，
根据三角形法则，这三个力通过平行移动可以构成一个闭合的矢量三角形，如图 7 中
VPMN ，其中 MN 对应重力，NP 对应拉力 F，PM 对应细绳张力 FT。
拉力 F 与细绳张力 FT 之间的夹角保持120°不变，即 MPN 保持60°不变，满足此关系的几
何图形是VPMN 的外接圆，P 为动点，从 N 点沿圆周逆时针移至 R 点，在移动过程中当 PM
处于直径位置时最长，FT 最大，如图中 P1位置。
FT max sin 60° = mA g
解得
FfCmax =10 3N
【变式 2-1】如图所示，一条轻质细绳上有一滑轮 C，滑轮下面挂一物块 A，轻绳一端固定
于直角支架 MOD 的 O 点，支架固定在地面上，MO 水平，OD 竖直，轻绳另一端绕过一固
定在斜面上的定滑轮 Q 与一物块 B 相连，与 B 连接的轻绳与斜面平行，物块 B 静止在斜面
上，物块 A 和斜面都处于静止状态，斜面和地面都是粗糙的，滑轮的质量及轻绳与滑轮间
的摩擦均忽略不计。如果将轻绳固定点由 O 点缓慢地移动到 M 点或 N 点，物块 A、B 和斜
面仍处于静止状态，轻绳仍为绷直状态。则（ ）
A．移动到 M 点后，物体 B 受到的摩擦力变大
B．移动到 M 点后，斜面受到地面的摩擦力变大
C．移动到 N 点后，物体 B 受到的摩擦力不变
D．移动到 N 点后，斜面受到地面的摩擦力变大
【答案】C
【详解】A．因为不知道初始时物块 B 受到的静摩擦力的大小和方向，所以不能确定物块 B
受到的摩擦力大小的变化，故 A 错误；
B．设拉滑轮 C 的绳与竖直方向的夹角为q ，则
mg = 2T cosq
解得
T mg=
2cosq
将轻绳固定点由 O 点移动到 M 点后，q 减小，拉力 T 变小，把斜面和物块 B 整体作为研究
对象，斜面受到的摩擦力
Ff = T sinq
可知Ff 也变小，故 B 错误；
C．将轻绳固定点由 O 点移动到 N 点后，设动滑轮两端绳长分别为 l1、l2，动滑轮到 O、Q
的水平距离分别为 x1、x2，则
x1 + x2 =（l1 + l2）sin θ
由题意可知，q 不变，拉力 T 不变，即物体 B 的受力不变，物块 B 受到的摩擦力不变，故 C
正确；
D．把斜面和物块 B 整体作为研究对象，根据
Ff = T sinq
可知，移动到 N 点后，轻绳对物块 B 的拉力和q 不变，Ff 也不变，故 D 错误。
故选 C。
【变式 2-2】（多选）如图所示，三根无弹性的轻质细绳系于 O 点，A、B 端分别固定在竖直
与水平墙上，绳 OA 水平，绳 OB 与水平方向间夹角为 53°，C 端竖直悬挂一小球（可视为
质点）.现保持结点 O 不变动，对小球施加一水平向右的作用力 F，使小球缓慢运动至绳 OC
3 4
与水平方向成 37°夹角的位置（绳始终伸直）.不计空气阻力， sin 37° = ， cos37° = .则此
5 5
过程（ ）
A．力 F 大小不变
B．绳 OB 受到的拉力大小不变
C．绳 OC 受到的拉力大小不变
D．绳 OA 受到的拉力大小增大
【答案】BD
【详解】AC．以小球为对象，设 OC 与竖直方向的夹角为q ，根据受力平衡可得
F = mg tanq ，T
mg
OC = cosq
由于q 增大， tanq 增大， cosq 减小，则力 F 大小增大，绳 OC 受到的拉力大小增大，故 AC
错误；
BD．以 O 点为对象，根据受力平衡可得
TOB sin 53° = TOC cosq ，TOB cos53° +TOC sinq = TOA
联立解得
T mg mgOB = ，TOA = + mg tanqsin 53° tan 53°
由于q 增大， tanq 增大，则绳 OB 受到的拉力大小不变，绳 OA 受到的拉力大小增大，故
BD 正确。
故选 BD。
【变式 2-3】用三根细线 a、b 、 c将重力均为 10N 的两个小球 P 和 Q 连接并悬挂，如图所
示。用手拉住细线 c的右端使两小球均处于静止状态。
（1）若调整细线 a与竖直方向的夹角为 37°，细线 c水平，求细线 a对小球 P 的拉力大小；
（2）若适当调整细线 c的方向，始终保持细线 a与竖直方向的夹角为 37°，则当细线 c与竖
直方向的夹角为多大时 c对小球 Q 的拉力的最小？最小值为多少？
【答案】（1）25N；（2）53°，12N
【详解】（1）选取 P、Q 两球整体为研究对象，受到重力 2G、a 和 c 细线的拉力
根据平衡可知竖直方向
F 2Ga = = 25Ncos37°
（2）根据力的合成可知，当 Fc 与 Fa 垂直时， Fc 最小，此时细线 c与竖直方向的夹角为 53°，
最小值为
Fcmin = 2G sin 37° =12N
一、单选题
1．如图所示，质量为 M 的物块 A 放在水平桌面上，质量为 m 的物块 B 通过轻绳与 A 相连，
水平拉力 F（大小未知）作用在物块 B 上，系统恰好处于平衡状态，此时轻绳与竖直方向的
夹角为 θ。已知物块 A 与桌面之间的动摩擦因数为 μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力
加速度为 g，下列说法正确的是（ ）
mg
A．轻绳的拉力大小为
sinq
B．F 的大小为 mgtanθ
C．桌面对 A 的摩擦力大小为 μMg
D．桌面对 A 的支持力大小为 Mg
【答案】B
【详解】AB．以 B 为对象，根据受力平衡可得
T cosq = mg ，T sinq = F
解得轻绳的拉力大小为
T mg= F 的大小为
cosq
F = mg tanq
故 A 错误，B 正确；
CD．以 A 为对象，根据受力平衡可得
T sinq = f ，T cosq + Mg = N
解得桌面对 A 的摩擦力大小为
f = mg tanq
桌面对 A 的支持力大小为
N = Mg + mg
故 CD 错误。
故选 B。
2．南方多雨水，大多屋顶为坡顶且坡度（坡与水平面的夹角）较大（如图甲），是为了利于
雨水顺畅流下，减少其停留时间和积水。北方多风沙，很多屋顶为平顶（如图乙），是为了
能让风顺利地吹过，从而保护房子。下列说法正确的是（ ）
A．静止于坡顶的物体，质量越大越容易滑落
B．坡顶的坡度大于 45°时，静止于坡顶的物体才能够滑落
C．平顶和坡顶对静止于其上的物体的作用力方向都竖直向上
D．对于同一个静止在坡顶的物体，坡度越大，物体所受摩擦力越小
【答案】C
【详解】AB．当物体能从斜面上滑下时满足
mg sinq > mmg cosq
即
m < tanq
物体能否在斜面上静止与物体质量无关，坡顶的坡度大于 45°时，静止于坡顶的物体也不一
定能够滑落，故 AB 错误；
C．当物体静止时受力平衡，则平顶和坡顶对静止于其上的物体的作用力都是与重力平衡，
即方向都竖直向上，故 C 正确；
D．对于同一个静止在坡顶的物体，受摩擦力为
f = mg sinq
则坡度越大，物体所受摩擦力越大，故 D 错误。
故选 C。
3．如图所示，物体 A 静止在固定斜面上，斜面的倾角为q ，下列说法正确的是（ ）
A．物体 A 受到重力、支持力、摩擦力、下滑力共四个作用力
B．斜面对物体 A 的支持力是因为物体 A 发生形变产生的
C．物体 A 受到的摩擦力沿斜面向下
D．斜面对物体 A 的作用力方向竖直向上
【答案】D
【详解】A．根据受力平衡可知，物体 A 受到重力、支持力、摩擦力共三个作用力，故 A 错
误；
B．斜面对物体 A 的支持力是因为斜面发生形变产生的，故 B 错误；
C．根据受力平衡可知，物体 A 受到的摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡，则摩擦力方向
沿斜面向上，故 C 错误；
D．根据受力平衡可知，斜面对物体 A 的作用力与重力平衡，则作用力方向竖直向上，故 D
正确。
故选 D。
1
4．如图所示，粗糙水平地面上放有截面为 圆周的柱状物体 A，A 与墙面之间放一光滑的
4
圆柱形物体 B，整个装置保持静止。若将 A 的位置向右移动稍许，整个装置仍保持平衡，则
（ ）
A．地面对 A 的支持力不变 B．地面对 A 的摩擦力减小
C．墙对物体 B 的作用力减小 D．物体 A 对 B 的作用力减小
【答案】A
【详解】CD．设 A 对 B 的支持力与竖直方向的夹角为q ，对圆柱形物体 B 进行受力分析，
如图所示
根据共点力平衡得
N = mBg tanq墙
N m g2 = Bcosq
若将 A 的位置向右移动稍许，q 增大，则 A 对 B 的支持力 N2 增大，墙对 B 的作用力增大，
故 CD 错误；
AB．以 AB 整体为研究对象，进行受力分析，竖直方向有
N = (mA + mB )g
故地面对 A 的支持力不变，由于初始时刻 N墙、F 大小关系不知，无法判断地面对 A 的摩擦
力大小变化，故 A 正确，B 错误。
故选 A。
5．如图所示，竖直固定放置的光滑大圆环，其最高点为 P，最低点为 Q。现有两个轻弹簧
1、2 的一端均栓接在大圆环 P 点，另一端分别拴接 M、N 两小球，两小球均处于平衡态。
已知轻弹簧 1、2 上的弹力大小相同，轻弹簧 1、2 轴线方向与 PQ 连线的夹角分别 30°、
60°，则下列说法正确的是（ ）
A．轻弹簧 1 处于压缩状态，轻弹簧 2 处于伸长状态
B．大圆环对两小球的弹力方向均指向圆心
C．M、N 两小球的质量比为m1 : m2 =1: 3
D．大圆环对 M、N 两小球的弹力大小之比为FN1 : FN2 = 3 :1
【答案】C
【详解】A．对两个小球受力分析并画力的矢量三角形，如图所示
两个弹力均指向 P 点，故两弹簧均处于拉伸状态，故 A 错误；
B．大圆环对两球的弹力均背离圆心，故 B 错误；
CD．M 的力矢量三角形相似于三角形 OPM，故
F m g 3N1 = 1 = T3 1
FN2 = m2g = T2
可知
m1 : m2 =1: 3
FN1 : FN2 =1: 3
故 C 正确，D 错误。
故选 C。
6．如图所示，一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在粗糙的水平地面上，直梯处于
静止状态，已知直梯与竖直墙面夹角为 30°，直梯的重心位于直梯的几何中心，直梯的质量
为 m，重力加速度为 g。则下列说法正确的是（ ）
A 2 3．水平地面对直梯作用力大小为 mg
3
B 3．水平地面对直梯支持力大小为 mg
2
C 3．水平地面对直梯摩擦力大小为 mg
3
D 3．竖直墙壁对直梯支持力大小为 mg
6
【答案】D
【详解】AD．对直梯进行受力分析如图所示
令竖直墙壁对直梯支持力为F1，水平地面对直梯作用力为F2 ，F2 与竖直方向的夹角为b ，
F2 为地面对直梯的摩擦力与支持力的合力，直梯与竖直墙壁夹角为a ，根据三力汇交原理
可知，三力交汇于 O 点。设直梯的长度为 L，由几何关系可得
tan b 1= tana 3=
2 6
由力学平衡可得
F2 cos b = mg ，F2 sin b = F1
解得
F 39 32 = mg ，F1 = mg6 6
故 A 错误，D 正确；
B．结合上述可知，水平地面对直梯支持力大小为
F = F2 cos b = mg
故 B 错误；
C．结合上述可知，水平地面对直梯摩擦力大小为
f = F2 sin b
3
= mg
6
故 C 错误。
故选 D。
7．在精工实验课上，小明将一重为 G 的圆柱形工件放在“V”形金属槽中，如图所示，槽的
两侧面与水平面的夹角相同，“V”形槽两侧面间的夹角为 90°。小明发现当槽的棱与水平面的
夹角为 37°时，工件恰好能够匀速下滑，则可知（ ）
A．工件对“V”形槽每个侧面的压力均为0.8G B．工件对“V”形槽每个侧面的压力均为
0.4G
C “V” 3 2 3 2．工件与 形槽间的动摩擦因数为 D．工件与“V”形槽间的动摩擦因数为
4 8
【答案】D
【详解】AB．工件的重力可以分解为沿槽棱方向向下的分力G sin 37°与垂直于槽棱方向的分
力G cos37°，如图
垂直于槽棱方向的分力G cos37°又进一步分解为两个挤压斜面的压力，如图
F1和F2 的合力与G cos37°等大反向，由几何关系可知
2F1 cos 45° = G cos37°
解得
F1 = F
2 2
2 = G5
故 AB 错误；
CD．沿槽棱方向的分力G sin 37°与圆柱体和槽之间的摩擦力大小相等，有
Ff = 2mF1 = G sin 37°
解得
m 3= 2
8
故 C 错误，D 正确。
故选 D。
8．如图，油桶放在汽车的水平底板上，汽车停于水平地面。对油桶、汽车进行受力分析，
涉及油桶、汽车、地球三个物体之间的作用力和反作用力一共有 m 对。这几对力的各个力
中，有些能形成一对平衡力，形成平衡力的一共有 n 对。则（ ）
A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=3，n=2 D．m=2，n=3
【答案】B
【详解】对油桶受力分析，受重力和支持力，对汽车分析，受重力、压力和支持力，地球受
到油桶和汽车的引力，汽车的压力，其中涉及油桶、汽车、地球三个物体之间的作用力和反
作用力为油桶与地球间有相互吸引的力、油桶和汽车间的相互作用力、汽车和地球间有相互
吸引的力、地面和汽车间的相互作用力，共四对，而其中油桶所受的重力和支持力为一对平
衡力。
故选 B。
9．如图所示，三物体 A、B、C 均静止，轻绳两端分别与 A、C 两物体连接且伸直，
mA = 3kg ，mB = 2kg ，mC =1kg，物体 A、B、C 及 C 与地面之间的动摩擦因数均为 m = 0.1，
轻绳与滑轮间的摩擦可忽略不计，重力加速度 g 取10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
若用水平拉力 F 将 B、C 一起向左抽出，则作用在 C 物体上的 F 应大于（ ）
A．14N B．12N C．8N D．6N
【答案】B
【详解】若恰好拉出，对 B、C 整体受力分析，有
F = T + m mA + mB + mC g + mmA g
对 A 受力分析，有
T = mmA g
解得
F =12N
故选 B。
10．如图甲所示为烤肠机，香肠放置在两根水平的平行金属杆中间，其截面图如图乙所示。
假设香肠可视为质量为 m 的均匀圆柱体，烤制过程中香肠质量不变，半径变大。忽略摩擦
及金属杆的热胀冷缩，重力加速度为 g。下列说法正确的是（ ）
A．香肠烤熟前，金属杆 1 对烤肠的支持力大小为0.5mg
B．香肠烤熟后，金属杆 1 对烤肠的支持力比烤熟前变小
C．香肠烤熟后与烤熟前相比，两根金属杆对烤肠的合力变大
D．香肠烤熟后，金属杆 1 对烤肠的支持力与竖直方向的夹角比烤熟前变大
【答案】B
【详解】ABD．对香肠进行受力分析如图所示
根据对称性有
N1 = N2
根据平衡条件有
mg = 2N1 cosq = 2N2 cosq
解得
N mg1 = N2 = 2cosq
令金属杆之间的距离为 d，则
sinq d=
2(R + r)
可知半径 R 变大，则q 减小，由分析可知， N1、N2 均减小，故 AD 错误，B 正确；
C．香肠处于静止平衡状态，合力为 0，则两根金属杆对其合力不变，始终与重力等大反向，
故 C 错误。
故选 B。
11．（多选）“柳条搓线絮搓棉，搓够千寻放纸鸢”，四月正是放风筝的好时节。如图所示，
在轻绳拉力的作用下，风筝始终静止在空中，下列说法正确的是（ ）
A．气流对风筝的作用力方向水平向左
B．人对地面的压力小于人和风筝受到的总重力
C．轻绳对人的拉力等于地面对人的摩擦力
D．地面对人产生支持力是因为地面发生了弹性形变
【答案】BD
【详解】A．风筝处于平衡状态，风筝受到重力、轻绳的拉力和气流的作用力，由于重力方
向竖直向下，轻绳的拉力方向斜向右下方，因此气流对风筝的力的方向一定斜向左上方，
故 A 错误；
B．对人和风筝整体分析，受竖直向下的重力、竖直向上的支持力、向右的摩擦力、斜向左
上方的气流的力，因此支持力小于人和风筝受到的总重力，根据牛顿第三定律，人对地面的
压力小于人和风筝受到的总重力，故 B 正确，
C．以人为对象，轻绳对人的拉力的水平分力等于地面对人的摩擦力，则轻绳对人的拉力大
于地面对人的摩擦力，故 C 错误；
D．地面对人产生支持力是因为地面发生了弹性形变，故 D 正确。
故选 BD。
12．（多选）如图所示，一质量为m 、半径为 r 的光滑球A 用细绳悬挂于O点，另一质量为
M 、半径为 R 的半球形物体 B 被夹在竖直墙壁和A 球之间， B 的球心到O点之间的距离为 h ，
A 、 B 的球心在同一水平线上，A 、 B 处于静止状态，重力加速度为 g ，则下列说法正确的
是（）
R + r
A．A 对 B 的压力大小为 mg
h
B．竖直墙壁对 B 的摩擦力可能为零
C．当只轻轻把球 B 向下移动一点距离，若A 、 B 再次保持静止，则A 对 B 的压力大小
保持不变，细绳拉力增大
D．当只轻轻把球 B 向下移动一点距离，若A 、 B 再次保持静止，则A 对 B 的压力减小，
细绳拉力减小
【答案】AD
【详解】A．分析 A 球的受力情况，如图 1 所示，
N 与 mg 的合力与 T 等大反向共线，根据两个阴影三角形相似得
N mg T
= =
R + r h OA
解得
N R + r= mg
h
T mg= OA
h
由牛顿第三定律知 A 对 B 的压力大小为
R + r
N′=N= mg
h
故 A 正确；
B．B 在竖直方向受到重力，AB 之间光滑，则由平衡条件知竖直墙壁对 B 的摩擦力一定摩擦
力，故 B 错误；
CD．当只轻轻把球 B 向下移动一点距离，分析 A 球的受力情况，如图 2 所示，N 与 T 的合
力与 mg 等大反向共线，根据两个阴影三角形相似得
N mg T
= =
R + r L OA
可得
N R + r= mg
L
T mg= OA
L
由于 L＞h，可知，N 减小，T 减小，由牛顿第三定律知 A 对 B 的压力减小，故 C 错误，D 正
确。
故选 AD。
13．（多选）叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为 m，相互接触，
球与地面间的动摩擦因数均为m ，则：（ ）
A．上方球与下方 3 个球间均没有弹力
B．下方三个球与水平地面间一定有摩擦力
4mg
C．水平地面对下方三个球的支持力均为
3
4mmg
D．水平地面对下方三个球的摩擦力均为
3
【答案】BC
【详解】A．对上方球分析可知，小球受重力和下方球的支持力而处于平衡状态，所以上方
球一定与下方球有力的作用，故 A 错误；
BD．下方球由于受上方球斜向下的弹力作用，所以下方球有运动的趋势，故下方球受静摩
擦力作用，如图所示
得三个下方小球受到的是静摩擦力，故不能根据滑动摩擦力公式进行计算，故 BD 错误；
C．将四个球看作一个整体，地面的支持力与整体重力平衡，设下方一个球受的支持力大小
为 FN ，因此有
3FN = 4mg
解得水平地面对下方三个球的支持力均为
F 4mgN = 3
故 C 正确。
故选 BC。
14．（多选）如图所示，质量分别为M = 4kg、m = 2kg的物体A 、B 放置在水平面上，两物
体与水平面间的动摩擦因数相同，均为m = 0.4 ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现分
别对两物体施加外力T1、T2，两个力与水平面的夹角分别为d = 30°、q = 53°，其中T1 = 30N ，
取重力加速度大小 g =10m / s2 ， sin 53° = 0.8。物体A 、B 保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．A 和 B 之间一定相互挤压
B．T2可能等于5N
C．T2可能等于 4N
D．若不施加T2，使T1 = 50N ，则两物体仍然静止
【答案】AC
【详解】A．隔离 B，因为
T1cosd =15 3N
大于
m mg +T1sind =14N
所以 B 受 A 的弹力，它们之间一定相互挤压，且
FN = T1cosd - m mg +T1sind = 15 3 -14 N
故 A 正确；
BC．当 A 刚好运动时
T2cosq + FN = m Mg -T2sinq
T2 = 4.4N
因为 A 静止，所以T2不能大于 4.4N，故 B 错误，C 正确；
D．以 A、B 整体为研究对象，当
T1 = 50N
时
T1cosd = 25 3N = 43.3N
而
m é M + m g +T1sind ù = 34N
T1cosd > m é M + m g +T1sind ù
所以若不施加T2，使
T1 = 50N
则两物体运动，故 D 错误。
故选 AC。
二、填空题
15．如图所示，木块 B 放在水平地面上，质量为 2.0kg的物体 A 放在它的水平上表面；弹簧
测力计一端固定在墙壁上，另一端与物块 A 相连，重力加速度 g = 10m/s2 。当用水平力匀速
抽出长木板 B 的过程中，观察到弹簧测力计的示数为 4.00N ，弹簧伸长量为 4.00cm ，物块 A
与木板 B 间的动摩擦因数为 ，弹簧的劲度系数为 N/m。
【答案】 0.2 100
【详解】[1][2]当用水平力匀速抽出长木板 B 的过程中，观察到弹簧测力计的示数为 4.00N ，
弹簧伸长量为 4.00cm ，以 A 为对象，根据受力平衡可得
f = F = 4.00N
又
f = mmg
联立解得物块 A 与木板 B 间的动摩擦因数为
m F 4.00= = = 0.2
mg 2.0 10
根据胡克定律可得弹簧的劲度系数为
k F 4.00= = N / m =100N / m
x 4.00 10-2
16．如图下图所示，轻绳 AO 和 BO 共同吊起质量为 m 的重物。AO 与 BO 垂直，BO 与竖直
方向的夹角为q ，OC 连接重物，重力加速度为 g，轻绳 AO 所受拉力的大小为 N。轻
绳 BO 所受拉力的大小为 N。
【答案】 mg sinq mg cosq
【详解】[1][2]O 点收竖直向下的拉力为 mg。将 mg 沿绳分解，则两绳所受拉力分别为
FAO = mg sinq ，FBO = mg cosq
三、解答题
17．如图一根轻绳跨过定滑轮将物体 A、B 连接在一起，A、B 均处于静止状态。已知两物体
质量分别为mA = 5kg 和mB = 8kg ，绳与水平方向的夹角为q = 53°，不计滑轮和绳的质量及
其摩擦 sin 53° = 0.8,cos53° = 0.6, g =10m / s2 求：
（1）水平地面对物体 B 的支持力大小 FN ；
（2）水平地面对物体 B 的摩擦力大小Ff 。
【答案】（1）40N；（2）30N
【详解】（1）对 B 受力分析如图所示
在竖直方向由平衡条件有
mBg = FN +T sin 53
o
而对 A 由平衡条件有
T = mA g
联立解得
FN = 40N
（2）根据平衡条件，在水平方向根据平衡条件对 B 有
Ff = T cos53
o = 30N
18．用三根细线 a、b、c 将两个小球 1 和 2 连接并悬挂，如图所示。两小球处于静止状态，
细线 a 与竖直方向的夹角为 30°，细线 c 水平，两个小球 1 和 2 的重力分别为 2G 和 G。求：
（1）细线 a、c 分别对小球 1 和 2 的拉力大小；
（2）细线 b 对小球 2 的拉力大小；
（3）细线 b 与竖直方向的夹角。
【答案】（1） 2 3G， 3G ；（2）2G；（3）60°
【详解】（1）设细线 a、c 分别对小球 1 和 2 的拉力大小分别为 Ta、Tc，对小球 1、2 整体
分析，有
Ta cos30° = 3G
Tc = 3Gtan30°
解得
Ta = 2 3G
Tc = 3G
（2）设细线 b 对小球 2 的拉力大小为 Tb，对小球 2 分析，有
T 2b = G +T
2
c = 2G
（3）设细线 b 与竖直方向的夹角为 θ，对小球 2 分析，有
tanq T= c
G
可得
q = 60°
19．某网红主播举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m = 25kg 的棱台形金砖，挑战者须戴
上主办方提供的手套，单手抓住金砖的 a、b 两侧面向上提，保持金砖 c 面水平朝上，而且
手指不能抠底，在空中保持 10s，就算挑战成功，可直接带走金砖。已知金砖 a、b 两侧面
与金砖底面的夹角均为q = 78.5o，挑战者施加给金砖的单侧压力为 F，假设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，取重力加速度 g =10m / s2 。计算时取 sin78.5o 1.0 ， cos78.5o 0.20，试解
决下列问题：
（1）若手与金砖侧面间动摩擦因数m1 = 0.3，现要徒手抓起金砖，则 F 至少需要多大
（2）若要求所有戴上特供手套的挑战者绝无挑战成功的可能性，则手套与金砖侧面的动摩
擦因数m2 需满足什么条件
【答案】（1）1250N；（2）m2 0.2
【详解】（1）对金块受力分析，如图所示，正交分解得
f = m1F ， 2 fsinq = mg + 2Fcosq
解得
F mg=
2 m1sinq - cosq
代入数据可得
F =1250N
（2）由（1）问得
F mg=
2 m2sinq - cosq
要使 F 不存在，则
m2sinq - cosq 0
即
m cosq2 = 0.2sinq
20．质量为 30kg 的小孩坐在 10kg 的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为 100N
的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速运动，（ sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8）求：
（1）雪橇对地面的压力；
（2）雪橇受到的摩擦力大小；
（3）雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．
【答案】（1）340N；（2）80N；（3）0.24
【详解】（1）经对小孩和雪橇整体受力分析得：竖直方向有
F sinq + FN = mg
其中
m = 30kg +10kg = 40kg
解得
FN = 340 N
雪橇对的地面压力是地面对雪橇支持力 FN 的反作用力，所以雪橇对的地面压力为 340N；
（2）（3）水平方向有
F cosq - Ff = 0
Ff = mFN
由上式解得
Ff = 80 N，m = 0.243.5 共点力的平衡（知识解读）（原卷版）
知识点 1 一般情况下的共点力平衡
知识点 2 动态平衡分析
作业 巩固训练
知识点 1 一般情况下的共点力平衡
1、平衡状态：物体静止或做匀速直线运动。
2、平衡条件： F合 = 0或 Fx = 0， Fy = 0 。
3、常用推论
①若物体受 n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相
等、方向相反。
②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。
4、处理共点力平衡问题的基本思路
确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程
→求解或作讨论。
5、求解共点力平衡问题的常用方法：
①合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡。
②正交分解法： Fx合 = 0 ， Fy合 = 0，常用于多力平衡。
③矢量三角形法，把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般
三角形。
6、物体受多个力作用处于平衡状态时，可以通过求出其中几个力的合力，将多个力的平衡
问题转化为二力平衡或三力平衡问题。
7、应用共点力平衡条件解题的步骤
（1）明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
（2）分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
（3）对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
（4）建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。
（5）求解方程，并讨论结果。
【典例 1-1】如图所示，用一根细绳跨过铁钉将一块小黑板悬挂在墙壁上，细绳的两端固定
在小黑板边缘两点 A、B 上。小黑板静止时，铁钉两侧细绳与竖直方向的夹角分别为a 、
b 。细绳质量不计，细绳与铁钉接触处摩擦不计，则关于夹角a 、b 大小关系正确的是
（ ）
A．若 A 点高于 B 点，则a > b
B．若 A 点高于 B 点，则绳 OB 段的拉力较大
C．不论 A 点与 B 点高度关系如何，均有a = b
D．由于细绳与铁钉接触处摩擦不计，平衡时 OA 与 OB 的长度一定相等
【典例 1-2】（多选）商场中的电动扶梯有两种，顾客 A、B 分别站在如图甲、乙所示的电动
扶梯上随扶梯做匀速直线运动，图甲中扶梯台阶的上表面水平且粗糙。下列说法正确的是
（ ）
A．顾客 A 受到的支持力与其受到的重力大小相等
B．顾客 B 受到的摩擦力小于其受到的重力
C．顾客 A 受到的摩擦力方向水平向左
D．顾客 B 受到的支持力方向竖直向上
【典例 1-3】如图所示，人与木块重分别为 600N 和 400N，人与木块，木块与水平面间的动
摩擦因数为 0.2，绳与滑轮间摩擦不计，则当人用F = N 的力拉绳，就可以使人与木块
一起匀速运动，此时人受到摩擦力方向水平向 ，木块对水平面的摩擦力的大小为 N。
【典例 1-4】如图所示，放在粗糙斜面（斜面固定不动）上的物块 A 和悬挂的物块 B 均处于
静止状态，轻绳 AO 绕过光滑的定滑轮与轻质弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于 O 点。轻
质弹簧中轴线沿水平方向，轻绳OC 段与竖直方向的夹角q = 53°，斜面倾角a = 37°，弹簧
劲度系数为 k = 200N/m，弹簧的形变量 x = 2cm ，物体 A 与斜面间的动摩擦因数 = 0.5，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度 g = 10m/s2 ， sin 53° = 0.8， cos53° = 0.6。求：
（1）B 物块的质量；
（2）为了使 A 和 B 始终在图示位置处于静止状态，A 物体的质量要满足什么条件？
【变式 1-1】一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为 m 的圆环穿过细
线，如图所示。若 AC 段竖直，BC 段水平，AC 长度等于 BC 长度，重力加速度为 g，细线
始终有张力作用，现施加一作用力 F 使圆环保持静止状态，则力 F 的值不可能为（ ）
1
A． mg B．mg C． 2mg D．2mg
2
【变式 1-2】（多选）某战士爬杆训练的场景如图所示，关于战士在匀速竖直向上爬升的过
程和下滑的过程中的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．战士向上爬升时受到的摩擦力方向向上
B．战士向上爬升时受到的摩擦力与其受到的重力一定大小相等
C．战士下滑时的摩擦力一定等于战士的重力
D．战士向上爬升时手握得越紧，杆子与手之间的摩擦力就会越大
【变式 1-3】如图所示，位于水平桌面上的物块P ，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从
滑轮到P 和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P 之间以及P 与桌面之间的动摩擦因数均为
，两物块的质量均为m ，重力加速度为 g 。滑轮轴上的摩擦不计，用一水平向右的力F
拉P 使其做匀速运动。运动过程中物块Q受到的摩擦力方向 （选填“水平向左”或“水
平向右”）、大小为 ，水平拉力F 的大小为 。
【变式 1-4】如图所示，光滑圆球 A 的半径为10cm，悬线长 l = 40cm，物体 B 的厚度为
20cm，重为12N 。物体 B 与墙之间的动摩擦因数 = 0.2 ，物体 B 在未脱离圆球前匀速下滑，
试求：
（1）球对物体 B 的压力多大？
（2）球多重？
知识点 2 动态平衡分析
1、动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生缓慢改变，“缓慢”
指物体的速度很小，可认为速度为零，所以在变化程中可认为物体处于平衡状态，把物体的
这种状态称为动态平衡态。
2、动态平衡的四种典型解法：解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法。
3、解析法应用一般步骤：
（1）选某一状态对物体进行受力分析；
（2）将其中两力合成，合力与第三个力等大反向；
（3）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
（4）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
※解析法适用于有特殊三角形的时候（直角始终存在）。
4、图解法应用一般步骤：
（1）确定恒力、定向力、第三力
（2）画出恒力，从恒力末端画出与定向力同方向的虚线，将第三力平移与恒力、定向力构
成矢量三角形。
（3）根据题中变化条件，比较这些不同形状的矢量三角形，判断各力的大小及变化。
※图解法适用于三力动态平衡：一力大小方向均不变、一力方向不变、一力大小方向都变。
5、相似三角形法:物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，根据合力为零，把三个力画在
一个三角形中，看力的三角形与哪个三角形相似，找到力的三角形与空间三角形相似后，根
据相似三角形的对应边成比例，列方程求解.
※相似三角形法适用于：有一恒力，另外两个力大小、方向都变。
6、辅助圆法：适用于物体受三个力处于动态平衡时，其中一个力大小、方向均确定,另两个
力大小、方向均不确定,但是这两个力的方向夹角保持不变。
【典例 2-1】如图，一块木板倾斜放置，O 端着地，一个物块放在木板上处于静止，将木板
绕 O 点在竖直面内顺时针缓慢转动，物块相对于木板始终静止。则在转动过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．物块受两个力的作用 B．物块受到的合外力变大
C．物块对木板的压力大小不变 D．木板对物块的摩擦力不断增大
【典例 2-2】（多选）如图，右侧面光滑的斜面体固定在水平面上，质量相等的物块 M、N
分别放在斜面体的左右两个面上，M、N 拴接在跨过光滑定滑轮的轻质细绳两端，整个系统
处于静止状态。现对 N 施加一始终与右侧轻绳垂直的拉力 F，使 N 缓慢移动至右侧细绳水
平，该过程 M 保持静止。下列说法正确的是（ ）
A．拉力 F 先减小后增大
B．轻绳的拉力逐渐增大
C．M 所受摩擦力先减小后增大
D．斜面对 M 的作用力先减小后增大
【典例 2-3】如图所示，倾角为 30°、质量 M=2kg 的斜面体 C 置于粗糙水平地面上，质量 mB=3kg
的小物块 B 置于粗糙斜面上，通过不可伸长的细绳跨过光滑轻质定滑轮与质量为mA = 3kg
的物块 A 相连接。开始 A 静止在滑轮的正下方，连接 B 的一段细绳与斜面平行，B、C 始终
保持静止状态，细绳的质量不计。现对 A 施加一个拉力 F 使 A 缓慢移动，移动过程中 F 与
连接 A 的轻绳的夹角始终保持 120°，直至轻绳水平，g 取 10m/s2.求：
（1）A 静止时地面对 C 支持力的大小；
（2）轻绳水平时，B 受到的摩擦力；
（3）A 缓慢移动过程中，地面对 C 摩擦力的最大值。
【变式 2-1】如图所示，一条轻质细绳上有一滑轮 C，滑轮下面挂一物块 A，轻绳一端固定
于直角支架 MOD 的 O 点，支架固定在地面上，MO 水平，OD 竖直，轻绳另一端绕过一固
定在斜面上的定滑轮 Q 与一物块 B 相连，与 B 连接的轻绳与斜面平行，物块 B 静止在斜面
上，物块 A 和斜面都处于静止状态，斜面和地面都是粗糙的，滑轮的质量及轻绳与滑轮间
的摩擦均忽略不计。如果将轻绳固定点由 O 点缓慢地移动到 M 点或 N 点，物块 A、B 和斜
面仍处于静止状态，轻绳仍为绷直状态。则（ ）
A．移动到 M 点后，物体 B 受到的摩擦力变大
B．移动到 M 点后，斜面受到地面的摩擦力变大
C．移动到 N 点后，物体 B 受到的摩擦力不变
D．移动到 N 点后，斜面受到地面的摩擦力变大
【变式 2-2】（多选）如图所示，三根无弹性的轻质细绳系于 O 点，A、B 端分别固定在竖直
与水平墙上，绳 OA 水平，绳 OB 与水平方向间夹角为 53°，C 端竖直悬挂一小球（可视为
质点）.现保持结点 O 不变动，对小球施加一水平向右的作用力 F，使小球缓慢运动至绳 OC
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与水平方向成 37°夹角的位置（绳始终伸直）.不计空气阻力， sin 37° = ， cos37° = .则此
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过程（ ）
A．力 F 大小不变
B．绳 OB 受到的拉力大小不变
C．绳 OC 受到的拉力大小不变
D．绳 OA 受到的拉力大小增大
【变式 2-3】用三根细线 a、b 、 c将重力均为 10N 的两个小球 P 和 Q 连接并悬挂，如图所
示。用手拉住细线 c的右端使两小球均处于静止状态。
（1）若调整细线 a与竖直方向的夹角为 37°，细线 c水平，求细线 a对小球 P 的拉力大小；
（2）若适当调整细线 c的方向，始终保持细线 a与竖直方向的夹角为 37°，则当细线 c与竖
直方向的夹角为多大时 c对小球 Q 的拉力的最小？最小值为多少？
一、单选题
1．如图所示，质量为 M 的物块 A 放在水平桌面上，质量为 m 的物块 B 通过轻绳与 A 相连，
水平拉力 F（大小未知）作用在物块 B 上，系统恰好处于平衡状态，此时轻绳与竖直方向的
夹角为 θ。已知物块 A 与桌面之间的动摩擦因数为 μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力
加速度为 g，下列说法正确的是（ ）
mg
A．轻绳的拉力大小为
sinq
B．F 的大小为 mgtanθ
C．桌面对 A 的摩擦力大小为 μMg
D．桌面对 A 的支持力大小为 Mg
2．南方多雨水，大多屋顶为坡顶且坡度（坡与水平面的夹角）较大（如图甲），是为了利于
雨水顺畅流下，减少其停留时间和积水。北方多风沙，很多屋顶为平顶（如图乙），是为了
能让风顺利地吹过，从而保护房子。下列说法正确的是（ ）
A．静止于坡顶的物体，质量越大越容易滑落
B．坡顶的坡度大于 45°时，静止于坡顶的物体才能够滑落
C．平顶和坡顶对静止于其上的物体的作用力方向都竖直向上
D．对于同一个静止在坡顶的物体，坡度越大，物体所受摩擦力越小
3．如图所示，物体 A 静止在固定斜面上，斜面的倾角为q ，下列说法正确的是（ ）
A．物体 A 受到重力、支持力、摩擦力、下滑力共四个作用力
B．斜面对物体 A 的支持力是因为物体 A 发生形变产生的
C．物体 A 受到的摩擦力沿斜面向下
D．斜面对物体 A 的作用力方向竖直向上
1
4．如图所示，粗糙水平地面上放有截面为 圆周的柱状物体 A，A 与墙面之间放一光滑的
4
圆柱形物体 B，整个装置保持静止。若将 A 的位置向右移动稍许，整个装置仍保持平衡，则
（ ）
A．地面对 A 的支持力不变 B．地面对 A 的摩擦力减小
C．墙对物体 B 的作用力减小 D．物体 A 对 B 的作用力减小
5．如图所示，竖直固定放置的光滑大圆环，其最高点为 P，最低点为 Q。现有两个轻弹簧
1、2 的一端均栓接在大圆环 P 点，另一端分别拴接 M、N 两小球，两小球均处于平衡态。
已知轻弹簧 1、2 上的弹力大小相同，轻弹簧 1、2 轴线方向与 PQ 连线的夹角分别 30°、
60°，则下列说法正确的是（ ）
A．轻弹簧 1 处于压缩状态，轻弹簧 2 处于伸长状态
B．大圆环对两小球的弹力方向均指向圆心
C．M、N 两小球的质量比为m1 : m2 =1: 3
D．大圆环对 M、N 两小球的弹力大小之比为FN1 : FN2 = 3 :1
6．如图所示，一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在粗糙的水平地面上，直梯处于
静止状态，已知直梯与竖直墙面夹角为 30°，直梯的重心位于直梯的几何中心，直梯的质量
为 m，重力加速度为 g。则下列说法正确的是（ ）
A 2 3．水平地面对直梯作用力大小为 mg
3
B 3．水平地面对直梯支持力大小为 mg
2
C 3．水平地面对直梯摩擦力大小为 mg
3
D 3．竖直墙壁对直梯支持力大小为 mg
6
7．在精工实验课上，小明将一重为 G 的圆柱形工件放在“V”形金属槽中，如图所示，槽的
两侧面与水平面的夹角相同，“V”形槽两侧面间的夹角为 90°。小明发现当槽的棱与水平面的
夹角为 37°时，工件恰好能够匀速下滑，则可知（ ）
A．工件对“V”形槽每个侧面的压力均为0.8G
B．工件对“V”形槽每个侧面的压力均为0.4G
C．工件与“V” 3 2形槽间的动摩擦因数为
4
D．工件与“V” 3 2形槽间的动摩擦因数为
8
8．如图，油桶放在汽车的水平底板上，汽车停于水平地面。对油桶、汽车进行受力分析，
涉及油桶、汽车、地球三个物体之间的作用力和反作用力一共有 m 对。这几对力的各个力
中，有些能形成一对平衡力，形成平衡力的一共有 n 对。则（ ）
A．m=4，n=2 B．m=4，n=1 C．m=3，n=2 D．m=2，n=3
9．如图所示，三物体 A、B、C 均静止，轻绳两端分别与 A、C 两物体连接且伸直，
mA = 3kg ，mB = 2kg ，mC =1kg，物体 A、B、C 及 C 与地面之间的动摩擦因数均为 = 0.1，
轻绳与滑轮间的摩擦可忽略不计，重力加速度 g 取10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
若用水平拉力 F 将 B、C 一起向左抽出，则作用在 C 物体上的 F 应大于（ ）
A．14N B．12N C．8N D．6N
10．如图甲所示为烤肠机，香肠放置在两根水平的平行金属杆中间，其截面图如图乙所示。
假设香肠可视为质量为 m 的均匀圆柱体，烤制过程中香肠质量不变，半径变大。忽略摩擦
及金属杆的热胀冷缩，重力加速度为 g。下列说法正确的是（ ）
A．香肠烤熟前，金属杆 1 对烤肠的支持力大小为0.5mg
B．香肠烤熟后，金属杆 1 对烤肠的支持力比烤熟前变小
C．香肠烤熟后与烤熟前相比，两根金属杆对烤肠的合力变大
D．香肠烤熟后，金属杆 1 对烤肠的支持力与竖直方向的夹角比烤熟前变大
11．（多选）“柳条搓线絮搓棉，搓够千寻放纸鸢”，四月正是放风筝的好时节。如图所示，
在轻绳拉力的作用下，风筝始终静止在空中，下列说法正确的是（ ）
A．气流对风筝的作用力方向水平向左
B．人对地面的压力小于人和风筝受到的总重力
C．轻绳对人的拉力等于地面对人的摩擦力
D．地面对人产生支持力是因为地面发生了弹性形变
12．（多选）如图所示，一质量为m 、半径为 r 的光滑球A 用细绳悬挂于O点，另一质量为
M 、半径为 R 的半球形物体 B 被夹在竖直墙壁和A 球之间， B 的球心到O点之间的距离为 h ，
A 、 B 的球心在同一水平线上，A 、 B 处于静止状态，重力加速度为 g ，则下列说法正确的
是（）
R + r
A．A 对 B 的压力大小为 mg
h
B．竖直墙壁对 B 的摩擦力可能为零
C．当只轻轻把球 B 向下移动一点距离，若A 、 B 再次保持静止，则A 对 B 的压力大小
保持不变，细绳拉力增大
D．当只轻轻把球 B 向下移动一点距离，若A 、 B 再次保持静止，则A 对 B 的压力减小，
细绳拉力减小
13．（多选）叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为 m，相互接触，
球与地面间的动摩擦因数均为 ，则：（ ）
A．上方球与下方 3 个球间均没有弹力
B．下方三个球与水平地面间一定有摩擦力
4mg
C．水平地面对下方三个球的支持力均为
3
4 mg
D．水平地面对下方三个球的摩擦力均为
3
14．（多选）如图所示，质量分别为M = 4kg、m = 2kg的物体A 、B 放置在水平面上，两物
体与水平面间的动摩擦因数相同，均为 = 0.4 ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现分
别对两物体施加外力T1、T2，两个力与水平面的夹角分别为d = 30°、q = 53°，其中T1 = 30N ，
取重力加速度大小 g =10m / s2 ， sin 53° = 0.8。物体A 、B 保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．A 和 B 之间一定相互挤压 B．T2可能等于5N
C．T2可能等于 4N D．若不施加T2，使T1 = 50N ，则两物体仍然静止
二、填空题
15．如图所示，木块 B 放在水平地面上，质量为 2.0kg的物体 A 放在它的水平上表面；弹簧
测力计一端固定在墙壁上，另一端与物块 A 相连，重力加速度 g = 10m/s2 。当用水平力匀速
抽出长木板 B 的过程中，观察到弹簧测力计的示数为 4.00N ，弹簧伸长量为 4.00cm ，物块 A
与木板 B 间的动摩擦因数为 ，弹簧的劲度系数为 N/m。
16．如图下图所示，轻绳 AO 和 BO 共同吊起质量为 m 的重物。AO 与 BO 垂直，BO 与竖直
方向的夹角为q ，OC 连接重物，重力加速度为 g，轻绳 AO 所受拉力的大小为 N。轻
绳 BO 所受拉力的大小为 N。
三、解答题
17．如图一根轻绳跨过定滑轮将物体 A、B 连接在一起，A、B 均处于静止状态。已知两物体
质量分别为mA = 5kg 和mB = 8kg ，绳与水平方向的夹角为q = 53°，不计滑轮和绳的质量及
其摩擦 sin 53° = 0.8,cos53° = 0.6, g =10m / s2 求：
（1）水平地面对物体 B 的支持力大小 FN ；
（2）水平地面对物体 B 的摩擦力大小Ff 。
18．用三根细线 a、b、c 将两个小球 1 和 2 连接并悬挂，如图所示。两小球处于静止状态，
细线 a 与竖直方向的夹角为 30°，细线 c 水平，两个小球 1 和 2 的重力分别为 2G 和 G。求：
（1）细线 a、c 分别对小球 1 和 2 的拉力大小；
（2）细线 b 对小球 2 的拉力大小；
（3）细线 b 与竖直方向的夹角。
19．某网红主播举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量m = 25kg 的棱台形金砖，挑战者须戴
上主办方提供的手套，单手抓住金砖的 a、b 两侧面向上提，保持金砖 c 面水平朝上，而且
手指不能抠底，在空中保持 10s，就算挑战成功，可直接带走金砖。已知金砖 a、b 两侧面
与金砖底面的夹角均为q = 78.5o，挑战者施加给金砖的单侧压力为 F，假设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，取重力加速度 g =10m / s2 。计算时取 sin78.5o 1.0 ， cos78.5o 0.20，试解
决下列问题：
（1）若手与金砖侧面间动摩擦因数 1 = 0.3，现要徒手抓起金砖，则 F 至少需要多大
（2）若要求所有戴上特供手套的挑战者绝无挑战成功的可能性，则手套与金砖侧面的动摩
擦因数 2 需满足什么条件
20．质量为 30kg 的小孩坐在 10kg 的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为 100N
的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速运动，（ sin 37° = 0.6 ， cos37° = 0.8）求：
（1）雪橇对地面的压力；
（2）雪橇受到的摩擦力大小；
（3）雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．
