课件46张PPT。第二十七章
相 似27.2
相似三角形27.2.1 相似三角形的判定 新知1 平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
如图27-2-3所示，l1∥l2∥l3，则满足: 【例1】如图27-2-4，已知AB∥CD∥EF，AC∶CE=2∶3，BF=15，那么BD= . 例题精讲 解析 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求值即可.
∵AB∥CD∥EF，AC∶CE=2∶3，BF=15，
答案 6
点拨 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：对应线段成比例. 1. 如图27-2-5，AB∥CD∥EF，
则在图中下列关系式一定成立的是
（ ） 举一反三C 2. 如图27-2-6，
直线l1∥l2∥l3，若
AB=2，BC=3，DE=1，
则EF的值为（ ）B 新知2 相似三角形的判定定理一
判定定理一的主要内容是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 该定理说明了三角形中相似与平行的关系，是一个重要的结论，也是判定三角形相似的一种基本方法. 在三角形中有平行于边的直线，就可以找到相似的三角形. 如图27-2-7所示，DE∥BC，直线DE的位置有三种，但无论是哪一种情况，总有△ABC∽△ADE. 【例2】如图27-2-8，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（ ） 例题精讲 解析 根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例求得BC的长度.
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则
∵DE=1，AD=2，DB=3.
∴AB=AD+DB=5.∴BC=
答案 C 1. 如图27-2-9所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则DEBC的值为（ ） 举一反三C 2. 如图27-2-10所示，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）C 新知3 相似三角形的判定定理二
判定定理二的主要内容是：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 此判定定理和全等三角形的“边边边（SSS）”定理类似，即三组对应边的比相等，就可以判定两个三角形相似. 判断三边是否成比例，应先将三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来判定两个三角形是否相似. 如图27-2-11所示，如果 ，那么△ABC∽△DEF. 【例3】如图27-2-12所示，在正方形网格上有两个三角形A1B1C1和A2B2C2 ，求证：△A1B1C1∽△A2B2C2. 例题精讲 证明 设单位网格正方形的边长为1， 点拨 已知条件给的图形，从中“读出”两个三角形对应边之间的关系，再利用相似三角形的判定定理二得出结论. 本题主要体现“代数计算解决几何问题”的思想方法，这里具体地结合图形，利用勾股定理来证明. 1. 网格图27-2-13中每个方格都是边长为1的正方形.若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF. 举一反三 新知4 相似三角形的判定定理三
判定定理三的主要内容是：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 此判定方法和全等三角形的“边角边(SAS)”公理类似，我们也能通过两边和夹角来判断两个三角形相似. 需要我们注意的是：①当两个三角形有两组对应边的比相等时，可考虑用此判定方法证明两个三角形相似； ②夹角必须是已知两对应边的夹角； ③一定要扣住“对应”二字，写三角形相似时要把对应顶点写在对应的位置上. 【例4】如图27-2-14，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，求证：△CFE∽△ABC.
解析 先利用SAS证明△ADE≌△CFE，再由DE为中位线，得到△ADE∽△ABC，从而得出△CFE∽△ABC. 例题精讲 证明 ∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE.
在△ADE与△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（SAS）.
又∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.AE=CE,
∠AED=∠CEF,
DE=FE, 1. 如图27-2-15，要使△ACD∽△ABC，需要补充的一个条件是（ ） 举一反三D 2. 如图27-2-16所示，要使得△ABC∽△ACD，只需增加条件（ ）D 新知5 相似三角形的判定定理四
判定定理四的主要内容是：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这个相似三角形的判定方法是判断两个三角形是否相似的常用方法之一. 在应用此判定方法进行证明时，关键是寻找对应角，一般地，公共角、对顶角、同角的余角（或补角）都是相等的，在证明过程中要特别注意加以应用. 【例4】如图27-2-17所示，E，C分别是AB，AD上的点，BC与DE相交于点O，且有AE·AB=AC·AD，问：OD∶OB=OC∶OE吗？为什么？ 例题精讲 解析 欲判断OD∶OB=OC∶OE是否成立，应观察四条线段所在的△OBE与△ODC是否相似. 由对顶角相等得∠BOE=∠DOC，只要再看∠B与∠D是否相等即可判断两三角形是否相似，由已知条件较容易推出△ABC∽△ADE，故∠B=∠D，问题得以解决. 可见推出△ABC∽△ADE的目的是为证明△BOE∽△DOC创造条件，这种方法要逐步掌握. 解 OD∶OB=OC∶OE.
理由：由AE·AB=AC·AD，得
又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADE，∴∠B=∠D.
又∵∠EOB=∠COD，∴△BOE∽△DOC，
∴OB∶OD=OE∶OC，即OD∶OB=OC∶OE. 1. 如图27-2-18，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是
（ ） 举一反三C 2. 两块完全相同的等腰三角形放成如图27-2-19所示样子，假设图形中的所有点、线、面都在同一平面内，下列不正确的是（ ）
A. △DAE∽△DCA
B. △EAD∽△EBA
C. △BAD∽△CAE
D. △BAE∽△CDAC 1. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
2. 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 方法规律 3. 相似三角形的判定定理：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
（2）三边成比例的两个三角形相似.
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（4）两角分别对应相等的两个三角形相似.
（5）推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似. 7. （6分）如图KT27-2-7，
E是平行四边形ABCD的边BC的延
长线上的一点，连接AE交CD于F，求证：△AFD∽△EFC． 解：∵E是平行四边形ABCD的边BC
的延长线上的一点，连接AE交CD于F，
∴AD∥CE.
∴△AFD∽△EFC． 8. （6分）如图KT27-2-8，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE.求证：△BCG∽△ACE.证明： ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
∴AE⊥BC．
∵BF与⊙O相切，∴∠ABF=90°．
∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE．
∵∠BAF=2∠CBF．∴∠BAF=2∠BAE．
∴∠BAE=∠CAE．∴∠CBF=∠CAE．
∵CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEC=90°．
∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC，∴△BCG∽△ACE． 7. （6分）已知：如图KT27-2-15，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴△ABC为等腰直角三角形.
∴∠B=∠C=45°.
∴∠1+∠2=180°-∠B=135°.
∵∠ADE=45°，
∴∠2+∠3=135°.
∴∠1=∠3.
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE． 8. （6分）如图KT27-2-16，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm，OB=6 cm．点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）.那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？ 7. （6分）如图KT27-2-21，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M．求证：△ABE∽△ECM．证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B.
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE.
∴△ABE∽△ECM． 8. （6分）如图KT27-2-22，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．
（1）证明：△ABD∽△DCF；
（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．（1）证明：如答图27-2-1所示.
∵△ABC，△ADE为等边三角形，
答图27-2-1∴∠B=∠C=∠3=60°.
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2.
∴∠1=∠DFC.
∴△ABD∽△DCF. （2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF.
∴△ABD∽△AEF.
故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．课件23张PPT。第二十七章
相 似27.2
相似三角形27.2.2 相似三角形的性质 新知 相似三角形的性质
如果两个三角形相似，那么：
（1）相似三角形对应角相等.
（2）相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例. . （3）相似三角形的周长比等于相似比.
（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
注意： （1）在运用相似三角形的面积比等于相似比的平方时，一定要避免出现面积比等于相似比这样的错误. 已知面积比求相似比时，注意相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根. （2）两个三角形全等和相似的性质对比如下表，注意不要混淆了. 【例】已知：如图27-2-21，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，CA，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，C1A1，A1B1的中点……以此类推.若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为 . 例题精讲 1. 如图27-2-22，在 ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC=3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 3∶4 B. 9∶16 C. 9∶1 D. 3∶1 举一反三B 2. 如图27-2-23，将△ABC
沿着过AB中点D的直线折叠，使点
A落在BC边上的A1处，称为第1次操
作，折痕DE到BC的距离记为h1；还
原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去……经过第2 015次操作后得到的折痕D2 014E2 014到BC的距离记为h2 015，到BC的距离记为h2 015.若h1=1，则h2 015的值为（ ）D 相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应角相等.
（2）相似三角形对应线段（边、高、中线、角平分线）的比等于相似比.
（3）相似三角形的周长的比等于相似比.
（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方. 方法规律 7. （6分）如图KT27-2-28，E是矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点O，已知△OCE和△OBC的面积分别为2和8.
（1）求△OAB和四边形AOED的面积；（2）若BE⊥AC，求BE的长. 8. （6分）图KT27-2-29中，图①是边长为1的阴影正三角形，连接它的各边中点，挖去中间的三角形得到图②，再分别连接剩下的每个阴影三角形各边中点，挖去中间的三角形得到图③.再用同样的方法得到图④. （1）请你求出图④中阴影部分的面积；
（2）若再用同样的方法继续下去，试猜想图n中阴影部分的面积;
（3）试说出图⑤中三角形的个数. 7. （6分）已知，如图KT27-2-36，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD·CE=CD·DE． 8. （6分）如图KT27-2-37，
△ABC中，AB=AC，以AB为直径
作⊙O，交BC于点D，交CA的延长
线于点E，连接AD，DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD-AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．课件18张PPT。第二十七章
相 似27.2
相似三角形27.2.３ 相似三角形应用举例 新知 相似三角形的应用
在现实生活中，面对不能直接测量出物体的长度和宽度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等一些实际问题时，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形的数学模型，再利用线段成比例等知识即可求解. 【例1】如图27-2-28，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12 m，则旗杆AB的高为 m. 例题精讲 【例2】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是：如图27-2-29，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=里. 解析 首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求出答案即可.
解 ∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH.
∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG.
∴△GEA∽△AFH.
∴EGFA=
∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，
∴FA=3.5里，EA=4.5里.∴
解得：FH=1.05里.
答案 1.05 1. 如图27-2-30，当小聪
正好站在广场的A点（距N点
5块地砖长）时，其影长AD恰
好为1块地砖长；当小军正好
站在广场的B点（距N点9块地
砖长）时，其影长BF恰好为
2块地砖长.已知广场地面由
边长为0.8 m的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6 m，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01 m） 举一反三 2. 如图27-2-31，△ABC是一块锐角三角形的余料，它的边BC=120 mm，高AD=80 mm.要把它加工成一个矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，问要使加工成的这个矩形面积最大，那么边长MN应是多少毫米？ 利用相似三角形的知识来解决生活中的实际问题，其关键是将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形的数学模型，再利用线段成比例等知识来求解. 方法规律 7. （6分）如图27-2-42，
小明同学用自制的直角三角
形纸板DEF测量树的高度AB，
他调整自己的位置，设法使斜
边DF保持水平，并且边DE与
点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，求树高AB. 8. （6分）沈老师要装
修自己带阁楼的新居（如图
KT27-2-43为新居剖面图），
在建造客厅到阁楼的楼梯AC
时，为避免上楼时墙角F碰
头，设计墙角F到楼梯的竖直
距离FG为1.75 m.他量得客厅高AB=2.8 m，楼梯洞口宽AF=2 m,阁楼阳台宽EF=3 m.请你帮助沈老师解决下列
问题： （1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m,楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？
（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶高小于20 cm，每个台阶宽要大于20 cm,问沈老师应该将楼梯建多少个台阶？为什么？
