课件34张PPT。第二十八章
锐角三角函数28.2
解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形 新知1 解直角三角形的常见类型及解法 续表 注意：
1. 在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角，再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2. 若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，其中已知条件中至少有一个条件为边. 【例1】（2014滨州）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，cosA= ，tanA= ，则BC的长为（ ）
A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12.5 例题精讲 1. 如图28-2-6，在直角
△BAD中，延长斜边BD到点C，
使DC= BD，连接AC，若tanB=
，则tan∠CAD的值（ ） 举一反三D 2. 如图28-2-7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（ ）A 新知2 解直角三角形的常见解法
解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中的边角关系，同时要注意运用勾股定理、代数式的变形及方程思想.解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角三角形，将非直角三角形问题转换为直角三角形问题. 注意：
1. 熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活运用特殊三角函数值来解决相关计算、求直角三角形的边和角等问题，并能根据实际情况构造出直角三角形，从而解决问题.
2. 解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答的直角三角形问题求解. 【例2】如图28-2-8，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例题精讲 解析 过点P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD即可求出OM的长. 过P作PD⊥OB，交
OB于点D，如图28-2-9
所示，
在Rt△OPD中，cos60°=
，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND= MN=1，∴OM=OD-MD=6-1=5.
答案 C 1. 如图28-2-10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥
AB，垂足为点D，AB=c，∠A=α，则CD长为（ ）
A. c·sin2α
B. c·cos2α
C. c·sinα·tanα
D. c·sinα·cosα 举一反三D 2. 如图28-2-11，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（ ）C 3. 已知：如图28-2-12，△ABC中，AC＝10，sinC= ,sinB= ,求AB. 1. 解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中除直角外的五个元素（三条边和两个锐角）之间的关系，同时还要注意运用勾股定理，代数式的变形及方法思想.
2. 解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角三角形，将之转化为直角三角形问题. 方法规律 7. (6分)如图KT28-2-4,在△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c,且b= ,∠A的平分线AD= ,解这个直角三角形. 8. （6分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图KT28-2-5，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220 kmB处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. (1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明
理由.
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的
持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）该城市受到此次台风影响，理由如下：
如答图28-2-2所示，作AD⊥BC于点D，在直角三角形ABD中，AD=AB·sin30°= AB= ×220=
110 km，台风中心与城市A的最近距离为110 km，城市A恰好受台风影响时，城市所受风力为4级，距离恰好为（12-4）×20=160 km．
因为160 km＞110 km，所以该城市受到此次台风影响． （3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12- ＝6.5（级）． 7. (6分)如图KT28-2-11，
建筑物AB后有一座假山，其坡
度为i=1∶ ，山坡上E点处有
一凉亭，测得假山坡脚C与建筑
物水平距离BC=25 m，与凉亭距
离CE=20 m，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比） 8. (6分)如图KT28-
2-12所示，某数学活动小
组选定测量小河对岸大树
BC的高度，他们在斜坡上
D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6 m到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度.（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈
1.11， ≈1.73）解：如答图28-2-4所示，
过点D作DG⊥BC于点G,
DH⊥CE于点H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在Rt△AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3
∴CG=3.课件51张PPT。第二十八章
锐角三角函数28.2
解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例 新知1 解直角三角形的知识在实际问题中的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型.将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般步骤是：
（1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
（2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
（3）根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形.
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 要点诠释：
1. 解直角三角形实质是利用三角函数知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，求解时最好画出它的示意图. 2. 非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，适当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.（如图28-2-16所示） 3. 解直角三角形的应用题时，首先弄清题意（关键弄清其中名词术语的意义），然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【例1】为解决停车难的问题，在如图28-2-17一段长56 m的路段开辟停车位，每个车位是长5 m、宽2.2 m的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出______个这样的停车位. （ ≈1.4） 例题精讲 解析 如图28-2-18，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解. 答案 17 1. 如图28-2-19，为安全起
见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜
角由45°降至30°.已知滑梯AB的
长为3 m，点D，B，C在同一水平
地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（ ） 举一反三C 2. 如图28-2-20，AC是电线杆AB的一根拉线，
测得BC的长为6 m，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）D 3. 如图28-2-21，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ）A 新知2 与坡度、坡角相关的实际问题的常见图形及解题策略
如图28-2-22，
坡面的铅垂高度
（h）和水平长度
（l）的比叫做坡面
坡度（或坡比），记作i，即i= .坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
有i= =tanα，
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 【例2】如图28-2-23，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（精确到0.1 m，参考数据： ≈1.414， ≈1.732.) 例题精讲 解析 过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可.
解 作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，如图28-2-24所示. 1. 如图28-2-25，
将一个Rt△ABC形状
的楔子从木桩的底端
点P沿水平方向打入
木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角
为15°，若楔子沿水平方向前进6 cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A. 6sin15° cm B. 6cos15° cm
C. 6tan15° cm D. cm 举一反三C 2. 某人沿坡度i=1∶3的坡面向上走50 m，则此人离地面的高度为（ ）A 新知3 与方向角相关的实
际问题的常见图形及解题策略
方向角：指北或指南方向线
与目标方向线所成的小于90°的
平面角，叫做方向角. 如图28-2-26
中的目标方向线OA，OB，OC，OD
的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°. 特别地，东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【例3】如图28-2-27
所示，一艘观光游船从港口
A以北偏东60°的方向出港
观光，航行80海里至C处时
发生了侧翻沉船事故，立即
发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间.（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 例题精讲 解析 过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D.先解Rt△ACD得出CD= AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC= ≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到达事故船C处所需的时间. 解 如图28-2-28，过点
C作CD⊥AB交AB延长线于D.
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，
∠CAD=30°，AC=80海里，
∴CD= AC=40海里.在Rt△CBD中∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°，∴BC=
=50（海里），∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40=54（h）. 1. 如图28-2-29，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB=2 km，从A测得
船C在北偏东45°的方向，从B
测得船C在北偏东22.5°的方向，
则船C离海岸线l的距离（即CD
的长）为（ ） 举一反三B 2. 如图28-2-30，马航370失联后，“海巡31”船匀速在印度洋搜救，当它行驶到
A处时，发现它的北偏东30°方向
有一灯塔B，海巡船继续向北航行
4 h后到达C处，发现灯塔B在它的
北偏东60°方向.若海巡船继续向
北航行，那么要再过多少时间海
巡船离灯塔B最近？（ ）B 新知4 与仰角、俯角相关的实际问题的常见图形及解题策略
如图28-2-31，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 常见图形如图28-2-32中的①②③④⑤⑥.解题策略均为：从仰角、俯角入手建立它们所在的直角三角形，再利用三角函数求出物体的高. 【例4】如图28-2-33，
在电线杆CD上的C处引拉线
CE，CF固定电线杆，拉线
CE和地面所成的角∠CED=
60°，在离电线杆6 m的B处
安置高为1.5 m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）. 例题精讲 解析 此题主要考查
解直角三角形的应用.要求
学生借助仰角关系构造直
角三角形，并结合图形利用
三角函数解直角三角形.
由题意可先过点A作AH⊥CD于点H，如图28-2-34所示.在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+
HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长. 1. 如图28-2-35，线段AB，
CD表示甲，乙两幢居民楼的高，
两楼间的距离BD是60 m.某人站
在A处测得C点的俯角为37°，
D点的俯角为48°（人的身高忽
略不计），求乙楼的高度CD.（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin48°≈ ，tan48°≈ ） 举一反三解：过点C作CE⊥AB交AB于点E，
如答图28-2-7，
则四边形EBDC为矩形，
∴BE=CD,CE=BD=60 m.
根据题意可得，
∠ADB=48°，∠ACE=37°， 利用解直角三角形的知识来解决生活中的实际问题，其关键是将实际问题转化为数学模型，而将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的边角关系，是解决这一类实际问题的关键. 方法规律 7. (6分)如图KT28-2-18，
海平面上灯塔O方圆100 km范
围内有暗礁，一艘轮船自西向
东方向航行，在点A处测量得灯
塔O在北偏东60°方向，继续航行100 km后，在点B处测量得灯塔O在北偏东37°方向.请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？（参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，
≈1.732）解：如答图28-2-8所示,
过点O作OC垂直于AB的
延长线于点C.
在Rt△COB中，∠BOC=37°，
BC=OC·tan37°，
答图28-2-8在Rt△AOC中，∠AOC=60°，AC=OC·tan60°= OC，
又∵AC=AB+BC，AB=100 km，即
OC=100+OC·tan37°，
∴OC= ≈102.2（km）.
∵OC>100 km，∴这艘轮船可以不改变航向，不会触礁. 8. (6分)气象台发布的卫星云
图显示,代号为W的台风在某海岛
(设为点O)的南偏东45°方向的B点
生成,测得OB= 台风中心
从点B以40 km/h的速度向正北方向
移动，经5 h后到达海面上的点C处.
因受气旋影响,台风中心从点C开始以30 km/h的速度向北偏西60°方向继续移动.以O为原点建立如图KT28-2-19所示的直角坐标系. (1)台风中心生成点B的坐标为_________________，台风中心转折点C的坐标为_______________________.
(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20 km范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？系. 7. (6分)如图KT28-2-25，
在一次军事演习中，蓝方在一
条东西走向的公路上的A处朝
正南方向撤退，红方在公路上
的B处沿南偏西60°方向前进
实施拦截，红方行驶1 000 m到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）． 解：如答图28-2-10，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF． 8. (6分)温岭是受台风影响
较为严重的城市之一．如图
KT28-2-26，坡上有一棵与水
平面EF垂直的大树AB，台风
过后，大树倾斜后折断倒在山
坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF=30°，量得树干倾斜角∠BAC=45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°且AD=4 m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度AB. （结果精确到个位，参考数据： ≈1.4， ≈1.7， ≈2.4） 解：（1）如答图28-
2-11所示，延长BA交EF于
点H.
则∠AHE=90°，
∠HAE=60°.
∵∠BAC=45°,
∴∠CAE=180°-∠EAH-∠BAC=75°. 7. (6分)如图KT28-2-33，为
测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，
小明在距离建筑物BC底部11.4 m
的点F处，测得视线与水平线夹角
∠AED=60°，∠BED=45°．小明
的观测点与地面的距离EF为1.6 m．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1 m）．
（参考数据： ≈1.41， ≈1.73．）解：（1）根据题意得EF⊥FC，ED∥FC，
∴四边形CDEF是矩形∵∠BED=45°，
∴∠EBD=45°.∴BD=ED=FC=11.4 m.
∴BC=BD+DC=BD+EF=11.4+1.6=13(m).
答：建筑物BC的高度为13 m.
（2）∵∠AED=60°，
∴AD=ED·tan60°≈11.4×1.73≈19.7(m).
∴AB=AD-BD=19.7-11.4=8.3(m).
答：旗杆AB的高度约为8.3 m． 8. (6分)如图KT28-2-34，
山坡上有一棵树AB，树底部B
点到山脚C点的距离BC为6 m，
山坡的坡角为30°．小宁在山脚
的平地F处测量这棵树的高，点C
到测角仪EF的水平距离CF=1 m，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为 m，山坡的坡角为30°,
∴在Rt△BDC中,DC=BC·cos30°= =9 m.
∵CF=1 m，∴DF=9+1=10 m.∴GE=10 m.
∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10 m.
在直角三角形BGE中，BG=GE·tan20°=10×
0.36=3.6 m，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4 m.
答：树高约为6.4 m．
