专题三十八 二次函数与线段处理 转化思想（含解析）

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专题三十八 二次函数与线段处理转化思想
核心考点一 斜线段转化为竖直线段
01.(2024青山期中)如图,已知抛物线与轴交于点(点在点的左侧),与轴交于点.点为直线下方抛物线上一点,于点,求的最大值.
核心考点二 点到直线的距离相等与平行转化,再分类讨论
02.(2022武汉)如图,抛物线交轴于两点(在的左边),是第一象限抛物线上一点,直线交轴于点.当时,在抛物线上存在点(异于点),使两点到的距离相等,求出所有满足条件的点的横坐标.
核心考点三 等线段构造全等
03.(2024武汉)如图,抛物线交轴于两点(在的右侧),交轴于点.
（1）直接写出三点的坐标;
（2）连接,第三象限抛物线上有一点,作交轴于点,若平分线段,求点的坐标.
核心考点四 线段的倍数关系与分类讨论
04.(2024武汉元调)如图,抛物线与轴交于两点,且.将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线是抛物线与轴的交点,过点作射线轴,交抛物线于两点,点在点的左侧.若,求的值.
专题三十八 二次函数与线段处理转化思想
核心考点一 斜线段转化为竖直线段
01.(2024青山期中)如图,已知抛物线与轴交于点(点在点的左侧),与轴交于点.点为直线下方抛物线上一点,于点,求的最大值.
解:易得,
过点作轴,交于点,
易求得.
设,则,
,开口向下.
当时,最大值为.
最大值为.
核心考点二 点到直线的距离相等与平行转化,再分类讨论
02.(2022武汉)如图,抛物线交轴于两点(在的左边),是第一象限抛物线上一点,直线交轴于点.当时,在抛物线上存在点(异于点),使两点到的距离相等,求出所有满足条件的点的横坐标.
解:直线的解析式为.
①若点在下方时,过点作的平行线与抛物线的交点即为.
的解析式为.
联立,解得:(舍),点的横坐标为0.
②若点在上方时,点关于点的对称点为.
过点作的平行线,则与抛物线的交点即为符合条件的点.
直线的解析式为.联立,
解得:,
点的横坐标分别为,
符合条件的点的横坐标为:或.
核心考点三 等线段构造全等
03.(2024武汉)如图,抛物线交轴于两点(在的右侧),交轴于点.
（1）直接写出三点的坐标;
（2）连接,第三象限抛物线上有一点,作交轴于点,若平分线段,求点的坐标.
解:.
（2）设交于点,作轴交于点,
由,
可求得.
设,则,
.
可设,当时,.
由轴,可证得,
解得(舍去),点的坐标为.
核心考点四 线段的倍数关系与分类讨论
04.(2024武汉元调)如图,抛物线与轴交于两点,且.将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线是抛物线与轴的交点,过点作射线轴,交抛物线于两点,点在点的左侧.若,求的值.
解:对称轴.
,代入得,
的解析式为的解析式为,
轴,,解得或.
①当时,,解得;
②当时,,解得.
或.