专题三十六 二次函数与对称、公共点（含解析）

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专题三十六 二次函数与对称、公共点
核心考点二 抛物线的对称
01.将抛物线沿轴翻折,得到的新抛物线的解析式为 .
02.已知函数,点在该函数图象上,若这样的点恰好有4个,则的取值范围为 .
03.如图,抛物线交轴于两点,交轴于点,将抛物线位于第二象限的图象沿轴翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.与直线平行的直线与新图象只有1个公共点时,求的取值范围.
04.已知二次函数及一次函数,将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线与这个新图象有四个交点时,的取值范围是 .
专题三十六 二次函数与对称、公共点
核心考点二 抛物线的对称
01.将抛物线沿轴翻折,得到的新抛物线的解析式为.
02.已知函数,点在该函数图象上,若这样的点恰好有4个,则的取值范围为.
解:,
,
函数有两个最低点和,如图.
点,点在直线上,
当该直线过时,;
当该直线与相切时,则,整理得,
,解得若这样的点恰好有4个,则的取值范围为.
03.如图,抛物线交轴于两点,交轴于点,将抛物线位于第二象限的图象沿轴翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.与直线平行的直线与新图象只有1个公共点时,求的取值范围.
解:易得与平行,.
把代入,得.
由图象可知,当时,与新图象只有1个公共点.
联立和,得,
由,得,
由图象可知,当时,与新图象只有1个公共点.
综上可知,当或时,与新图象只有1个公共点.
04.已知二次函数及一次函数,将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线与这个新图象有四个交点时,的取值范围是.
解:过点作直线,将直线向下平移到恰在点处相切,
则一次函数在两条直线之间时,两个图象有4个交点,
令,解得:或2,即点坐标,
翻折抛物线的表达式为:,
将一次函数与二次函数表达式联立并整理得:,
由,解得,当一次函数过点时,
将点坐标代入:得:,解得.
综上可得:时,直线与这个新图象有四个交点.