专题三十三 二次函数与二倍角的处理策略（含解析）

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专题三十三 二次函数与二倍角的处理策略
01.如图，抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A和B两点，点C（6，4）在抛物线上，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标．
02.如图，抛物线yx2＋x＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且∠PAB＝2∠ACO，求点P的横坐标．
03.(2023三寄) 如图，直线yx＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2＋bx＋c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标．
专题三十三 二次函数与二倍角的处理策略
01.如图，抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A和B两点，点C（6，4）在抛物线上，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标．
解：延长DC交x轴于点M，
∵∠DCA＝2∠CAB，
∴∠CAB＝∠CMA．
∴CA＝CM．
∵抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
过点C作CQ⊥AM于点Q，
∴QM＝AQ＝8．
∴点M坐标为（14，0）．
由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：yx＋7，
令yx＋7x2x﹣2，
解得x＝﹣6或6（舍去），
∴x＝﹣6，y（﹣6）＋7＝10．
∴点D坐标为（﹣6，10）．
02.如图，抛物线yx2＋x＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点P是第四象限抛物线上的一点，且∠PAB＝2∠ACO，求点P的横坐标．
解：在OB上取OR＝OA＝2，
则∠ACR＝2∠ACO＝∠PAB，
过点A作AK⊥CR于点K，设直线AP交y轴于点H，
则S△ACRAR×COCR×AK，即4×4AK，
解得AK，则sin∠ACK，则tan∠ACKtan∠BAP，
在Rt△AOH中，OH＝AO×tan∠BAP＝2，
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为y②；
联立①②并解得x，
故点P的横坐标为．
03.(2023三寄) 如图，直线yx＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2＋bx＋c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标．
解：（1）由可得：
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图，取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD∥AB′交抛物线于点D，
∵B、B′关于x轴对称，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，
设AB′：y＝kx﹣2，
代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k，
则BD：yx＋2，
联立方程得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴D点的坐标为（﹣2，3）．