专题三十四 二次函数与利用角度构造全等（含解析）

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专题三十四 二次函数与利用角度构造全等
01.如图,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,若点在抛物线上运动(点异于点),当时,求点的坐标.
02.抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB＋∠CAB＝135°，求P点坐标．
03.(武汉元调) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．
专题三十四 二次函数与利用角度构造全等
01.如图,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,若点在抛物线上运动(点异于点),当时,求点的坐标.
解:,
,
,作轴,交于,
则平分,
(ASA),
,
由待定系数法得直线的解析式为,
联立.
02. 抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB＋∠CAB＝135°，求P点坐标．
解：如图，过B作BM∥y轴，交CP延长线于M．
∴∠ABC＝∠MBC．
在△ABC和△MBC中，
，
∴△ABC≌△MBC（ASA），
∴AB＝MB＝4，
∴点M的坐标为（3，﹣4），
设直线CM的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得：
∴直线CM解析式为：yx﹣3；
联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，得：
，解得：（不合题意的值已舍去），
∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等，解题的关键是：通过构造全等三角形找出直线PC的解析式．
03.(武汉元调) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．
【解答】如图，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，
∵∠ACD＝45°，
∴AC＝AK，
∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，
∴K（2，1），
设直线CD的解析式为y＝kx﹣3
∴2k﹣3＝1，
∴k＝2，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣3，
联立，
解得x＝0（舍去），或x＝4，
∴D（4，5）．
【点评】本题考查二次的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度适中