专题四十一 二次函数与参数计算 (2) 一证明位置关系（含解析）

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专题四十一 二次函数与参数计算(2)一证明位置关系
01.如图，点A（﹣1，1）在抛物线yx2x上，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE．
02.如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于,点为直线上一点,分别交抛物线于两点,求证:.
03. 如图，过点F（0，）的直线交抛物线y＝x2于S，T两点，直线PS，PT与抛物线均只有一个公共点，求证：PF⊥ST．
专题四十一 二次函数与参数计算(2)一证明位置关系
01.如图，点A（﹣1，1）在抛物线yx2x上，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE．
证明：如图，
由得，
x1＝0，x2＝1，
∴E（1，0），
∵A（﹣1，1），
∴直线AE的解析式为：y，
设H（t，0），G（t，），
∴GT＝t，FTt2m，
∵GT∥AR，
∴△GTF∽△ARF，
∴，
∴，
∴m，
∴F（0，），
∴直线FH的解析式为：y，
∴FH∥AE．
02.如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于,点为直线上一点,分别交抛物线于两点,求证:.
解:①,点设点的坐标为,
设,则,解得,
②,同理③
联立①②并整理得:,解得或(舍去),
即点,同理联立①③解得:或(舍去),
坐标为,直线的,直线的,故.
03. 如图，过点F（0，）的直线交抛物线y＝x2于S，T两点，直线PS，PT与抛物线均只有一个公共点，求证：PF⊥ST．
证明：由题意，设S（s，s2），T（t，t2），则kSTs＋t．
∴直线ST的解析式为：y＝（s＋t）（x﹣s）＋s2＝（s＋t）x﹣st．
将F（0，）代入上式得，﹣st，
∴st．
设SP解析式为y＝kx＋b'，
联立x2﹣kx﹣b'＝0，
∴xs＋xs＝﹣（﹣k）．
∴2xs＝k．
∴SP的解析式为：y＝2sx＋b'．
代入（s，s2）得2s2＋b'＝s2，
∴b'＝s2﹣2s2＝﹣s2．
∴直线SP为：y＝2sx﹣s2．
同理可得：直线PT：y＝2tx﹣t2，
联立：，∴．
∴P（，st）即P（，）．
∴PF2＋SF2（s＋t）2（s﹣0）2＋（s2）2
s2t2st＋s2＋s4s2
＝（t）2＋（s2）2，
又PS2＝（s）2＋（s2﹣st）2＝（）2＋（s2）2，
∴PF2＋SF2＝PS2．
∴PF⊥FS，即PF⊥ST．