第二章《轴对称图形》典型题分类解析 （新版）苏科

第二章 轴对称图形
1．【问题情境】张老师给爱好学习的小军和 ( http: / / www.21cnjy.com )小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
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小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得．PD+PE=CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折 ( http: / / www.21cnjy.com )叠，使点D落在点B上，点C落在点C'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；
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考点 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理
专题 压轴题 探究型
分析 【问题情境】如下图②，按照小军、小俊的证明思路即可解决问题．
【变式探究】如下图③，借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题．
【结论运用】易证BE=BF，过点E作EQ⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BF，垂足为Q，如下图④，利用问题情境中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可．
【迁移拓展】由条件AD·C ( http: / / www.21cnjy.com )E=DE·BC联想到三角形相似，从而得到∠A=∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM与△CEN的周长之和就可转化为AB+BH，而BH是△ADB的边AD上的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求出BH，就可解决问题．
解答 【问题情境】证明：(方法1)连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴AB·CF=AB·PD+AC·PE．∵AB=AC，∴CF=PD+PE．(方法2) 过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②．∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD=∠FDG=∠FGP=90°．∴四边形PDFG是矩形．∴DP=FG，∠DPG=90°．∴∠CGP=90°．∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°．∴∠PGC=∠CEP. ∵∠BDP=∠DPG=90°．∴PG∥AB．∴∠GPC=∠B．∵AB=AC，∠B=∠ACB．∴∠GPC=∠ECP．在△PGC和△CEP中， ( http: / / www.21cnjy.com )∴△PGC≌△CEP．∴CG=PE．∴CF=CG +FG=PE+PD．
【变式探究】证明：(方法1)连接AP，如图③．∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且
S△ABC=S△ABP－S△ACP，∴AB·CF=AB·PD－AC·PE．∵AB=AC，∴CF=PD－PE．(方法2) 过点C作CG⊥DP，垂足为G，如图③．∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，∴∠CFD=∠FDG=∠DGC=90°．∴四边形CFDG是矩形．∴CF=GD，∠DGC=90°．∴∠CGP=90°．∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°．∴∠CGP=∠CEP．∵CG⊥DP，AB⊥PD．∴∠CGP=∠BDP=90°, ∴CG∥AB．∴∠GCP=∠B．∵AB=AC．∴∠B=∠ACB．∵∠ACB=∠PCE，∴∠GCP=∠ECP．在△CGP和△CEP中， ( http: / / www.21cnjy.com ) △CGP≌ △CEP．∴PG=PE．∴CF=DG=DP－PG=DP－PE．
【结论运用】 过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．∵AD=8，CF=3，∴BF=BC－CF=AD－CF=5．由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．∴DF=5．∵∠C=90°，∴DC===4．∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是矩形．∴EQ=DC=4．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF．由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．∴PG +PH=4．∴PG+PH的值为4．
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点评 本题考查了矩形的性质与判定、等 ( http: / / www.21cnjy.com )腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
2．如图，△ABC中，AB=AC， ( http: / / www.21cnjy.com )DE垂直平分AB，BE⊥ AC，AF⊥BC，则∠EFC= °．
考点 等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质
分析 根据线段垂直平分线上的点到 ( http: / / www.21cnjy.com )线段两端点的距离相等可得 AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的 性质求出∠BAC=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答 解：∵DE垂直平分AB．
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=(180°－∠BAC)=(180°－45°)=67．5°，
∴∠CBE=∠ABC－∠ABE=67．5°－45°=22．5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∴BF=EF，
∴∠BEF=∠CBE=22．5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22．5°+22．5°=45°．
故答案为：45．
点评 本题考查了等腰三角形三线合一的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
3．如图，△ABC中，CD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AB于D，E是AC的中点，若 AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．
考点 勾股定理；直角三角形斜边上的中线
分析 由“直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得 AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
解答 解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8，
故答案是：8．
4．如图，在△ABC中，点D在BC上， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=AD=DC， ∠B=80°，则∠C的度数为 ( )
A．30° B．40°
C．45° D．60°
考点 等腰三角形的性质．
分析 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解答 解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°－∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C===40°．
故选B．
点评 本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．