第三章《勾股定理》典型题分类解析 （新版）苏科版

第三章 勾股定理 典型题分类解析
l．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．25
考点 勾股定理．
专题 网格型．
分析 建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．
解答 解：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
AB==5．故选A．
点评 本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点C 恰好落在AB边的中点C'上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 ( )
A．4 B．3 C．4．5 D．5
考点 翻折变换 (折叠问题)．
分析 先求出BC'，再由图形折叠特性 ( http: / / www.21cnjy.com )知，C'F=CF=BC－BF =9－BF，在直角三角形C'BF中，运用勾股定 BF2+BC'2=C'F2求解．
解答 解：∵点C'是AB边的中点，AB=6，
∴BC'=3，
由图形折叠特性知，C'F=CF=BC－BF=9－BF，
在直角三角形C'BF中，BF2+B'2=C'F2，
∴BF2+9= (9－BF)2，
解得，BF=4，
故选：A．
点评 本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高，同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
3．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC ( http: / / www.21cnjy.com )=3： 2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于 ( )
A．3：4 B．：2
C．：2 D．2：
考点 平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理
分析 连接DE，DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S△DEC=S△DFA=S△平行四边形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，FN=，CM=a，求出AF=，CE=2，代入求出即可。
解答 解：连接DE，DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，即AF×DP=CE×DQ，∴AF×DP=CE×DQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠DAB=60°，∴∠CBN=∠DAB=60°，∴∠BFN=∠MCB=30°，∵AB：BC=3：2，∴设AB=3a，BC=2a，∵AE：EB=1：2，F是BC的
中点，∴BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，由勾股定理得：FN=a，CM=a，AF=
=，CE==2.∴·DP=2·DQ∴DP：DQ=：2．故选D．
点评 本题考查了平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF，CE的值．
4．如图，△ABC中，CD⊥AB于D， ( http: / / www.21cnjy.com )E是AC的中点．若 AD= 6，DE= 5，则CD的长等于 ．
考点 勾股定理；直角三角形斜边上的中线
专题 证明题．
分析 由“直角三角形斜边上的 ( http: / / www.21cnjy.com )中线等于斜边的一半”求得AC= 2DE= 10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
解答 解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8．
点评 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AB的长是 ．
考点 角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题 证明题．
分析 先求出∠CAD=30 ( http: / / www.21cnjy.com )°，求出∠BAC=60°，∠B=30°， 根据勾股定理求出AC，再求出AB=2AC，代入求出即可．
解答 解：∵在Rt △ACD中，∠C=90°，CD=2，AD=4，∴∠CAD=30°，由勾股定理得：AC==2，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=4，故答案为：4．
点评 本题考查了含30度角的直角三角形性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，三角形内角和定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC长和求∠B=30°，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．