嘉兴高级中学2023学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量满足，其中为常数，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.方程的正整数解的个数为（ ）
A. B. C. D.
5.设，则的展开式中是系数为（ ）
A. B. C. D.
6.不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式
的解集是（ ）
B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A.若为互斥事件，则
B.若为互斥事件，则
C.若相互独立，则
D.若，则
11.已知直线与函数的图象相交于两点，与函数的图象相交于两点，的横坐标分别为，则
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则
13.已知件产品中存在次品，从中抽取件，记次品数为，已知，且这件产品的次品率不超过，则这件产品的次品率为__________.
14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
从等人中选出人排成一排.
（1）三人不全在内，有多少种排法？
（2）都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？
（3）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
（列式并用数字作答）
16.（15分）已知二项式。
(1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项．
(2)若，求二项式的值被除的余数；
17.（15分）设函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
18.（17分）
某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断。研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者。现有两个检测方案:
方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测。
方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测。
（1）分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；
（2）求两种方案检测次数相等的概率；
（3）已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好。
19.（17分）已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）（i）若函数在为递减函数，求的值；
（ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值.嘉兴高级中学2023学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量满足，其中为常数，则( )
A. B. C. D.
答案：A
2.下列求导结果正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
4.方程的正整数解的个数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
5.设，则的展开式中是系数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
6.不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
答案：D
函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：B
8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式
的解集是（ ）
B. C. D.
答案：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。
9.若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ）
A. B. C. D.
答案：BCD
10.已知为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ）
A.若为互斥事件，则
B.若为互斥事件，则
C.若相互独立，则
D.若，则
答案：ACD
解析：对于A，根据互斥事件的加法公式可得，,
故A正确。
对于B，若A，B为互斥事件，则，所以，故B不正确。
对于C，由于A，B是相互独立事件，所以，所以
，故C正确。
对于D，由，得，所以，故D正确。
综上，选ACD。
11.已知直线与函数的图象相交于两点，与函数的图象相交于两点，的横坐标分别为，则
A. B. C. D.
解析：由题，，当时，，单调递增，当时，
，单调递减；，当时，，单调递减，当时，，单调递增。画出函数和的图象，由题意可知，，其中。
选项A，，所以，A正确。
选项B，，且在上单调递增，所以，故B正确
选项C，，且，，在上单调递减，所以，故C错误
选项D，由B，C选项可知，所以，，故D正确。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则
答案：
13.已知件产品中存在次品，从中抽取件，记次品数为，已知，且这件产品的次品率不超过，则这件产品的次品率为__________.
【答案】
【解析】设件产品中有件次品,则, 这件产品的次品率不超过,这件产品的次品率为
14.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是
答案：
解析：设。
设则方程即，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，易知当时，，当时，，且当时，，当时，，作出的大致图象，数形结合可得，且方程在上有两个不同的实数根。
由当时，，此时方程在上至多有一个实数根，不符合题意，故。设方程在上的两个实数根分别为，则，所以需，得，故实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
从等人中选出人排成一排.
（1）三人不全在内，有多少种排法？
（2）都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？
（3）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
（列式并用数字作答）
【答案】(1)1800(2)144(3)1560
【解析】（1）从7人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，
由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；
（2）因A，B，C都在内，所以只需从余下4人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；
（3）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有1560种不同排法.
16.（15分）已知二项式。
(1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项．
(2)若，求二项式的值被除的余数；
【答案】(1)
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，即，
即，解得，
所以展开式中系数最大的项为第6项，
即.
（2）因为，，
所以二项式的值被除的余数为.
17.（15分）设函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
18.（17分）
某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断。研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者。现有两个检测方案:
方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测。
方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测。
（1）分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；
（2）求两种方案检测次数相等的概率；
（3）已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好。
解析：（1）设方案一所需检测次数为x，则x的可能取值为2,3.
当X=2时，有两种情况：
第1次检测2人的混合血液呈阳性，第2次任选这2人中的1人检测即可确定甲流感染者，其概率为
第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3个人中的1人呈阳性，其概率为
故
当X=3时，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阴性，第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定甲流感染者，故
故X的分布列为
X 2 3
P 3/5 2/5
故
设方案二所需检测次数为Y，则Y 的所有可能取值为1,2,3,4
故Y 的分布列为
Y 1 2 3 4
P 1/5 1/5 1/5 2/5
故
两种方案的检测次数均为2次的概率为，两种方案的检测次数均为3次的概率为，所以两种方案检测次数相等的概率为
设方案1和方案2的检测总费用分别为
则
因为，所以方案一检测总费用的期望值更小，所以选择方案一更好。
19.（17分）已知函数，.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）（i）若函数在为递减函数，求的值；
（ii）在（i）成立的条件下，若且，求的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出斜率，求解计算即可；
（2）（i）设，讨论单调性求解即可；
（ii）根据条件得，
分和两种情况构造函数求解即可.
【小问1详解】
因为，所以.
函数在处即过点的切线方程：，
故所求的切线方程为：.
【小问2详解】
（i）设，
则， ，
当时，，在为增函数.
当时，，在为增函数与在为减函数矛盾；
当时，时，在增函数，
时，，在减函数，
，
因为在为减函数，所以成立.
记，则，
因为时，，时，，所以，
又，所以.
（i i）由（i）成立的条件，即，则.
因为，（不妨设）.
所以
又在减函数，而，
所以只有和两种情况
当时，，所以，
当时，所以.
，记
，
所以在为递增函数，
又，在为递减函数，
所以
又时，，，
因为，所以.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，
对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、
微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
