湖南省常德市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

湖南省常德市一中2023-2024学年下期高一期末试卷
高一数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知定义在上的函数，其周期为2，且时，，函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．若函数的反函数是，，，则等于（ ）
A．a B． C． D．
4．如图，在四形中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
6．已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的对称轴方程为（）
C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）
D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．函数的图象是由函数的图象经过变换得到，则这个变换可以是（　　）
A．先将图象向左平移个单位.再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍
B．先将图象向右平移个单位.再将图象上所有的点横坐标变为原来的倍
C．先将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再将图象向左平移个单位
D．先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移个单位
10．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
11．—般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的“跟随区间”，则
B．函数存在“跟随区间”
C．若函数存在“跟随区间”，则
D．二次函数存在“3倍跟随区间”
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知，，将的图像向右平移个单位得到的图像，若，则 .
13．如图，AB是半圆柱底面的直径，PA是半圆柱的高，C是上一点，且，D为PB的中点，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为 ．

14．已知定义在上的偶函数，满足，当时，，若方程在区间上恰有9个解，则的取值范围是 .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，过点作的平行线，使得，连接，求的最小值.
16．已知.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值.
17．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．
18．如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面.
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离；
(3)若平面与平面夹角的余弦值，求．
19．在直三棱柱中，，，，点是平面上的动点．
(1)若点在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；
(2)若点在线段上，求的最小值；
(3)若点在线段上，作平行交于点，是上一点，满足．设，记三棱锥的体积为．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由．
1．A
2．A
3．A
4．A
5．B
6．B
7．B
8．B
9．ABC
10．BCD
11．CD
12．
13．/
14．
15．（Ⅰ）在中，，
由正弦定理可知：，即，化简得 ，又 ，
∴，又，故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，又，
∴，又，
∴，即（当且仅当时等号成立）
故的最小值为.
16 1）由题意得，
又（），得（），
令，得，令，得，
所以在上的单调递增区间是.
（2）因为，
所以（），得，
又C是锐角，所以.
由余弦定理，得，
所以，当且仅当时，等号成立.
所以，
故△ABC的面积的最大值为.
17．解：(1)第六组的频率为，
∴第七组的频率为．
(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，，
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为
．
(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，
第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．
18（1）设平面交上底面于，在圆弧上，
因为上下底面平行，故，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以，
由题意可知，又，平面，
所以平面，所以平面，
又平面，平面平面.
（2）由（1）知平面，连接，所以是直线与平面所成角，
所以由题意，
又由题意，，
所以，所以，即在圆弧的中点上，
所以由知点P在圆弧中点上，故,
所以，
因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离，
又圆柱结构性质可知,平面，平面，
所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为，
因为，
，
又，所以，即点P到平面的距离为.
（3）过作垂直于底面，则由上知，
所以可建立如图所示的分别以为轴的空间直角坐标系，
则，设，且，
所以，
设平面的法向量为，则，
所以即，取可求得，
设平面的法向量为，则，
所以即，取可求得，
设平面与平面的夹角为，则，且，
整理得，
所以即，
即，所以，
所以，所以.
19（1）在直三棱柱中，，作交于，连接，
则为异面直线与所成角或其补角，设，，
由，得，则，，，
在中，，
由，得，则，，
所以与所成角余弦值的取值范围为．
（2）由，，，得，，
将平面翻折使得与平面在同一平面上，且使矩形与在两侧，
过作于，交于，则，
对任意点，过作于，连接，，
则，当且仅当与重合时取等号，
显然，设，，，
从而，，
在中，，即，
化简得，解得，即，
所以的最小值为5．
（3），对称中心为．
由，得，，平面，，
，整理得（），
令，设其图象对称中心为，则为奇函数，
则为奇函数，
，解得，
所以对称中心为，由对称性可得．