1.1.1 空间向量及其线性运算 课件（共21张PPT）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

(共21张PPT)
1.1.1 空间向量及其线性运算
新授课
1.理解空间向量及相关概念
2.掌握空间向量线性运算的运算律
3.理解共线向量定理、共面向量定理，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2),那他实际发生的位移是什么？又如何表示呢
国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游缆结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1),游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
O
A
B
O
A
B
D
(2)
(1)
平面向量 空间向量
定义 平面内既有大小又有方向的量
平移 自由向量，平移后不发生改变
表示法 几何表示：有向线段 字母表示：a,
空间中具有大小和方向的量
知识点1：空间向量的有关概念
思考：类比平面向量的知识，试给出空间向量的有概念.
自由向量，任意两个空间向量都可以平移到一个平面
几何表示：有向线段
字母表示：a,
平面向量 空间向量
向量的长度或模
相等向量 方向相同且长度相等
相反向量 方向相反且长度相等
单位向量 长度为1的向量
零向量 长度为0的向量
长度为0的向量
长度为1的向量
|a|,
|a|,
方向相同且长度相等
方向相反且长度相等
要点辨析
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性；
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1；
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.
1.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，
练一练
(1)试写出与向量 相等的向量；
(2)试写出向量 的相反向量；
(3)若AB=AD=2，AA1=1，求向量 的模.
解：(1)与向量 相等的向量有
(2)向量 的相反向量为
(3) 所以
知识点2：空间向量的线性运算
思考：给出两个空间向量a、b,如何作出a＋b,b－a.
先把向量a，b平移到同一个平面α内,以任意点O为起点作
=a,
=b,
b－a.
a＋b,
则
平面向量 空间向量
加法运算 三角形法则或平面四边形法则
减法运算 三角形法则
数乘运算 ka(k为正数、负数、零)
线性运算的类比
a
O
A
b
B
a+b
C
a-b
O
A
a
P
Q
λa(λ＞0)
N
M
λa(λ＜0)
三角形法则
a＋b=
三角形法则
a－b=
当λ=0时， λa=0;
当λ＞0时， λa=
当λ＜0时， λa=
平面向量 空间向量
交换律 a＋b=b＋a
结合律 (a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， λ(μa) = (λμ)a
分配律 (λ＋μ )a= λa＋μa， λ(a＋b) = λa＋λb
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
a＋b=b＋a
(a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
(λ＋μ )a= λa＋μa，
λ(a＋b) = λa＋λb
思考：完成教材P3探究，思考三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系
一般地,对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
利用向量加法的交换律和结合律,还可以得到:有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.
可以发现，
例1：如图，已知四面体OABC,M,N分别是OA,BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN,设 =a, =b, =c,试用a,b,c表示向量
解：
a＋ b＋ c
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
空间向量加法、减法运算的两个技巧
技巧归纳
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
共线向量定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一实数λ，使a＝λb.
在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
知识点3：共线向量、共面向量
如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
空面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯的有序实数对(x,x),使p=xa＋yb.
思考：阅读教材P4第2个探究，思考向量p与向量a，b共面的充要条件是什么？
例2：如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使 ，求证：E,F,G,H四点共面.
分析：欲证E,F,G,H四点共面,只需证明 共面.而由已知 共面,可以利用向量运算由 共面的表达式推得 共面的表达式.
证明：因为
所以
因为四边形ABCD是平行四边形，
因此
所以
由向量共面的充要条件可知，
共面，又
过同一点E,从而E,F,G,H四点共面.
例2：如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使 ，求证：E,F,G,H四点共面.
证明空间向量共面或四点共面的方法
方法归纳
(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa＋yb(a，b不共线),则向量p，a，b共面.
(3)利用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
(2)若存在有序实数组(x,y,x)使得对于空间任一点O,有
且x+y+z=1成立，则P,A,B,C四点共面.
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法.
根据今天所学，回答下列问题：
证明空间向量三点共线，四点共面的方法是什么？