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第二十三章《旋转》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪
【思路点拔】根据旋转的定义分别判断得出即可．
【解答】解：A、在空中上升的氢气球是平移，故此选项错误；
B、飞驰的火车是平移，故此选项错误；
C、时钟上钟摆的摆动，属于旋转，故此选项正确；
D、运动员掷出的标枪是平移，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．如图分别是中国卫生、中国卫生应急、中国红十字、社区卫生的标志图案，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，B、C、D都不符合；
是中心对称图形的只有A．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【思路点拔】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
4．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣3，0），现将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣3，3）
【思路点拔】根据网格的特点结合旋转的性质画出△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°的图形，以此即可求解．
【解答】△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后，得到△A′BC′，如图，
由图可知，点A′的坐标为（﹣1，﹣4），
故旋转后点A的坐标是（﹣1，﹣4）．
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化﹣旋转，解题关键是图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
5．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFD等于（ ）
A．89° B．92° C．90° D．95°
【思路点拔】根据旋转的性质得AB＝AD，∠BAD＝α＝40°，进而得出∠DAF和∠ADF的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝α＝40°，∠ADE＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠ADE＝70°，
∵∠BAC＝55°，∠BAD＝40°，
∴∠DAF＝15°，
∴∠AFD＝180°﹣（∠DAF+∠ADF）＝180°﹣（70°+15°）＝95°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【思路点拔】连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交点M为旋转中心．
【解答】解：连接AA'、BB'、CC'，作AA'的垂直平分线，作BB'的垂直平分线，作CC'的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
7．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，4），点N的坐标为（6，0），将△OMN绕点O按逆时针方向旋转得到△OM′N′．若点M′恰好落在x轴上，则点N′的坐标为（ ）
A．（﹣3，5） B．
C．（﹣4，5） D．
【思路点拔】过点M作x轴的垂线，求出OM的长，再用面积法即可解决问题．
【解答】解：过点M作x轴的垂线，垂足为A，过点N′作x轴的垂线，垂足为B，
∵M（3，4），
∴MA＝4，OA＝3．
由勾股定理得OM＝5．
∴，
由旋转可知，
S△OM′N′＝S△OMN＝12，OM′＝OM＝5，N′O＝NO＝6，
则，
∴．
在Rt△N′BO中，
BO．
∴点B的坐标为（）．
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，巧用面积法及勾股定理是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向夹角为45°，且OA＝2，若将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，则此时点A′的坐标为（ ）
A．（，﹣1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（1，）
【思路点拔】过点A′作A′B⊥x轴于点B，根据旋转的性质可得OA′＝OA＝2，∠AOA′＝105°，利用平角的定义得出∠A′OB＝30°，解直角△A′OB，求出A′B，OB，进而得到点A′的坐标．
【解答】解：如图，过点A′作A′B⊥x轴于点B，
∵将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，
∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝105°，
∴∠A′OB＝180°﹣45°﹣105°＝30°．
在直角△A′OB中，∵∠OBA′＝90°，∠A′OB＝30°，
∴A′BOA′＝1，OBA′B，
∴点A′的坐标为（，1）．
故选：C．
【点评】此题考查的是旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD，则下列说法不正确的是（ ）
A．BE＝BC
B．∠DFC＝90°
C．DG＝3GF
D．四边形BFDE是平行四边形
【思路点拔】由旋转的性质可得AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，∠BCE＝∠ACD＝60°，∠ACB＝∠DCE＝30°，可证△BCE是等边三角形，可得BE＝BC，故选项A不符合题意；由“SAS”可证△ABC≌△CFD，可得BC＝DF，∠DFC＝∠ABC＝90°，∠CDF＝∠ACB＝30°，故选项B不符合题意；可证四边形BEDF是平行四边形，故选项D不符合题意；即可求解．
【解答】解：∵将△COD绕点O按顺时针方向旋转一定角度后得到△AOB，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，∠BCE＝∠ACD＝60°，∠ACB＝∠DCE＝30°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝BC，故选项A不符合题意；
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，
∴∠BAC＝60°，AF＝FC＝BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB＝AF＝BF＝DE，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS），
∴BC＝DF，∠DFC＝∠ABC＝90°，∠CDF＝∠ACB＝30°，故选项B不符合题意；
∴BE＝BC＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，故选项D不符合题意；
∵∠GCF＝∠DCF﹣∠DCE＝30°，
∴CG＝2GF，
∵∠CDF＝∠ACB＝∠GCD＝30°，
∴CG＝DG＝2GF，故选项C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．2
【思路点拔】连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，求出DC'＝4即可．
【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∴∠EDA＝∠FEG，
在△AED和△GFE中，
，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，AD＝EG，
∵AD＝AB，
∴AB＝EG，
∴AE＝BG，
∴BG＝FG，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG＝DA，FG＝AE，
∴AE＝BG，
∴BG＝FG，
∴∠FBG＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD＝4，AC'＝8，
∴DC'4，
∴DF+CF的最小值为4，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝ ．
【思路点拔】由直角三角形的性质可得AC＝2AB＝2，由旋转的性质可得AE＝AC＝2．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2，
∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AE＝AC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
【思路点拔】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴ADAB＝4，
∴S△A1BA8×4＝16，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B'，则点B'的坐标为 ．
【思路点拔】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．
【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，
∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，
∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，
∴AN＝3，
∴ON＝8，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，
∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，
∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，
∴∠BOA＝∠B′OA′，
∴△NOB≌△MOB′（AAS），
∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，
∴B′（﹣4，8），
故答案为：（﹣4，8）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
14．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点D处，点A落在点E处，DE与AC相交于点F，若AB∥CE，DE⊥AC，，则AB的长为 ．
【思路点拔】如图，过点C作CM⊥AB于点M，证明Rt△CMB≌Rt△CMD，得到∠B＝∠CDM，BM＝DM，再证明△CDM≌△CDF，得到BM＝DM＝DF，由AB∥CE及旋转可得到∠A＝45°，由勾股定理得到DF＝BM＝DM＝1，即可求出AB长．
【解答】如图，过点C作CM⊥AB于点M，
由旋转可知：CB＝CD，∠B＝∠CDE，∠A＝∠E，
∵CM⊥AB，
∴∠CMB＝∠CMD＝90°，
∵CB＝CD，CM＝CM，
∴Rt△CMB≌Rt△CMD（HL），
∴∠B＝∠CDM，BM＝DM，
∴∠CDM＝∠CDF，
∵DE⊥AC，
∴∠CFD＝∠CFE＝∠AFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CMD，
在△CDM和△CDF中，
，
∴△CDM≌△CDF（AAS），
∴DM＝DF，
∴BM＝DM＝DF，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠E，
∵∠CFE＝90°，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
∴∠A＝45°，
∴AF＝DF，
∵，
∴，
∴AF＝DF＝1，
∴BM＝DM＝1，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过题意构造辅助线是解题的关键．
15．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，连接AA′，若△AA'D是等腰三角形，则旋转角α的度数为 ．
【思路点拔】根据旋转的性质可得AC＝CA'，根据等腰三角形的两底角相等求出∠AA'C＝∠CAA'，再表示出∠DAA'，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ADA'，然后分①∠AA'C＝∠DAA'，②∠AA'C＝∠ADA'，③∠DAA'＝∠ADA'三种情况讨论求解．
【解答】解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A'B'C，
∴AC＝CA'，
∴∠AA'C＝∠CAA'（180°﹣α），
∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC（180°﹣α）﹣30°，
根据三角形的外角性质，∠ADA'＝∠BAC+∠ACA'＝30°+α，
△ADA'是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠AA'C＝∠DAA'时，（180°﹣α）（180°﹣α）﹣30°，无解，
②∠AA'C＝∠ADA'时，（180°﹣α）＝30°+α，
解得α＝40°，
③∠DAA'＝∠ADA'时，（180°﹣α）﹣30°＝30°+α，
解得α＝20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．
16．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为 ．
【思路点拔】过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，根据边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，得∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2，即知∠B'OD＝30°，可得B'（，），又再沿y轴方向向上平移1个单位长度，故B''（，1）．
【解答】解：过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，如图：
∵边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，
∴∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2，
∴∠B'OD＝30°，
∴B'DOB'，ODB'D，
∴B'（，），
∵再沿y轴方向向上平移1个单位长度，
∴B''（，1），
故答案为：（，1）．
【点评】本题考查正方形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及正方形的性质．
17．如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，点C的对应点为C′，点C恰好在BC边上，且∠C′AB＝2∠ABC′，则BC′长度为 ．
【思路点拔】先根据∠CAB＝120°，∠C′AB＝2∠ABC′求出∠C＝45°，再根据旋转的性质即可得出△ACC'和△ABB'都是等腰直角三角形，进而得出∠B'C'B＝90°，∠C'BB'＝60°，∠BB'C'＝30°，由可得CC'，设BC'＝a，则BB'＝2a，B'C'a，然后根据勾股定理即可解答．
【解答】解：设∠ABC′＝x，则∠C′AB＝2x，
∴∠AC'C＝3x，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'，BC＝B'C'，∠AC'B'＝∠C，AB＝AB'，
∴∠C＝3x，
∵∠CAB＝120°，
∴3x+x＝60°，
解得x＝15°，
∴∠C＝45°＝∠AC'C，∠ABC'＝15°，∠CC'B'＝∠B'C'B＝90°，∠CAC'＝90°，
∴∠BAB'＝90°，∠ABB'＝45°，
∴∠B'BC'＝60°，∠C'B'B＝30°，
∵，
∴CC'，
设BC'＝a，则BB'＝2a，B'C'a，
∴BC'2+B'C'2＝BB'2，
∴a2+（a）2＝（2a）2，
解得a或2（舍去），
∴BC'，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
18．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ．
【思路点拔】如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，如图1中，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图1中，设EP′交BC于点O，
当点P′落在BC上时，点P′与O重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EOOB，OP′OC，
∴EP′＝EO+OP′OBOCBC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案为：120°，75°．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4）、B（3，﹣3）、C（1，﹣1）（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．
【思路点拔】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣1，4），（﹣3，3），（﹣1，1）；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了画图﹣性质变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．如图，已知点P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分线OC上，且AP⊥BP，点A在x轴上，点B在y轴上．
（1）求点P的坐标；
（2）当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
【思路点拔】（1）根据在第一象限的角平分线OC上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m即可．
（2）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．证明四边形OMPN是正方形，再证明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM＝AN，可得结论．
【解答】解：（1）∵点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线 OC上，
∴3m﹣1＝6m﹣7，
∴m＝2，
∴P（5，5）；
（2）不变．
过点P作 PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝5，
∴∠MPB＝∠NPA．
在△PMB和△PNA中，
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM＝AN，
∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝10．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为旋转中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．
（1）填空：∠BAC+∠DAE＝ °；（直接写出答案）
（2）取CD中点F，连接AF，试用等式表示线段AF与BE之间数量关系，并证明．
【思路点拔】（1）由旋转可知∠DAE＝180°﹣α，所以得到：∠BAC+∠DAE＝α+180°﹣α＝180°；
（2）连接并延长AF，使FG＝AF，连接DG，CG；因为DF＝CF，AF＝GF；可以得到四边形ADGC为平行四边形；从而有∠DAC+∠ACG＝180°，再证∠ACG＝∠BAE，继而证明△ABE≌△CAG，得到BE＝AG，即可得线段AF与BE的数量关系．
【解答】解：（1）由旋转可知∠DAE＝180°﹣α，
∴∠BAC+∠DAE＝α+180°﹣α＝180°；
故答案为：180；
（2）如图，延长AF，使FG＝AF，连接DG，CG；
∵DF＝CF，AF＝GF；
∴四边形ADGC为平行四边形；
∴∠DAC+∠ACG＝180°，
即∠ACG＝180°﹣∠DAC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠DAE﹣∠DAC＝180°﹣∠DAC，
∴∠ACG＝∠BAE，
∵四边形ADGC为平行四边形，
∴∠AD＝CG，
∵AD＝AE，
∴AE＝CG，
∴△ABE≌CAG（SAS），
∴BE＝AG，
∴AFAGBE，
∴线段AF与BE的数量关系为：AFBE．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握中线倍长．
22．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．D是边BA上一点（不与点B重合且BDBA），将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图形．若∠G＝∠ACE，用等式表示线段FG，AF，AE之间的数量关系，并证明．
【思路点拔】（1）取AB的中点O，连接CO，构造△ACE≌△OCD即可解决问题：
（2）过点D作DH∥CO交CB于M点，构造△AFE≌△HFD即可解决问题．
【解答】解：（1）取AB的中点O，连接CO，如图：
在Rt△ACB中，ACB＝90°，
∴COAB＝AO，
∵∠BAC＝60°，
∴△ACO是等边三角形，
∵线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，
∴CD＝CE，即△CDE是等边三角形，
∴∠ACO＝∠ECD＝60°，CA＝CO，
即∠ACE＝∠OCD，
∴△ACE≌△OCD（SAS）．
∴∠CAE＝∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
（2）FG＝AF+AE．
如图，过点D作DH∥CO交CB于M点，如图：
由 （1）可知：△ACE≌△OCD，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵MH∥DC，
∴∠MDC＝∠OCD，
∵∠MDC＝∠HDG，∠ACE＝∠G，
∴∠HDG＝∠G，
∴HD＝HG，
∵F是DE的中点，
∴EE＝DF，
∵∠EAF＝∠DHF，∠AEF＝∠HFD，
∴△FE≌△HFD（AAS），
∴AE＝HD，AF＝HF，
∴FG＝HF+HG＝AF+AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．如图，E为正方形ABCD内一点，AE⊥BE，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
（1）试判断EF与E′F之间的关系，并说明理由．
（2）若CF＝1，AB＝5，求线段DE的长．
【思路点拔】（1）先根据旋转的性质得到BE＝BE′，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，然后判断四边形BEF′E′为正方形，从而得到EF′＝E′F′．
（2）过E点作EH⊥AD于H点，EG⊥AB于G点，如图，则∠AHE＝∠AGE＝90°，利用四边形ABCD为正方形得到AD＝BC＝AB＝5，∠DAB＝90°，设BE′＝x，则E′F′＝x，在Rt△BCE′中利用勾股定理得到x2+（x+1）2＝52，解方程得到BE＝3，CE′＝4，则根据旋转的性质得到AE＝CE′＝4，接着利用面积法求出EG，则根据勾股定理可计算出AG，由四边形AHEG为矩形得到AH，EH，然后利用勾股定理可计算出DE的长．
【解答】解：（1）EF′＝E′F′．
理由如下：
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠BEF′＝90°，
∵Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′，
∴BE＝BE′，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，
∵∠BEE′＝∠EBE′＝∠E′＝90°，
∴四边形BEF′E′为矩形，
而BE＝BE′，
∴四边形BEF′E′为正方形，
∴EF′＝E′F′．
（2）过E点作EH⊥AD于H点，EG⊥AB于G点，如图，
则∠AHE＝∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC＝AB＝5，∠DAB＝90°，
设BE′＝x，则E′F′＝x，
在Rt△BCE′中，∵BE′2+E′C2＝BC2，
∴x2+（x+1）2＝52，
解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），
∴BE＝3，CE′＝1+x＝4，
∵Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′，
∴AE＝CE′＝4，
∵EG ABAE BE，
∴EG，
在△AEG中，AG，
∵∠HAG＝∠AHE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AHEG为矩形，
∴AH＝EG，EH＝AG，
∵DH＝AD﹣AH＝5，
∴DE．
即DE的长为．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和正方形的性质．
24．已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣α，得到线段BE，连接DE，F为DE的中点，连接AF，BF．
（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得成立，并证明．
【思路点拔】（1）由题意画出图形即可，延长AF，交BE的延长线于点G，理由平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到EG＝AC．再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可；
（2）延长AF至点G使FG＝FA，连接BG，GE，延长GE交AB的延长线于点H，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形 的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可．
【解答】解：（1）补全图形 如图：
延长AF，交BE的延长线于点G，
由题意：∠DAB＝α，∠ABE＝180°﹣α，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴AD∥BE，
∴∠DAF＝∠G．
在△ADF和△GEF中，
，
∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴AD＝GE，AF＝GF，
∵AD＝AC，
∴GE＝AC，
∵BC＝BE，
∴GE+BE＝AC+CB，
即BA＝BG．
∵AF＝GF，
∴BF⊥AG．
∴∠AFB＝90°；
（2）α＝60°时，使得成立，理由：
延长AF至点G使FG＝FA，连接BG，GE，延长GE交AB的延长线于点H，如图，
在△ADF和△GEF中，
，
∴△ADF≌△GEF（SAS），
∴AD＝GE，∠DAF＝∠EGF，
∴GH∥AD，
∴∠DAB+∠H＝180°．
∵AD＝AC，
∴AC＝GE．
∵∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA，
＝180°﹣（∠DAB﹣α）﹣（∠EBA﹣180°+α）
＝180°﹣∠DAB+α﹣∠EBA+180°﹣α
＝180°﹣∠DAB+180°﹣∠EBA
＝∠H+∠EBH
＝∠BEG．
在△ABC和△BGE中，
，
∴△ABC≌△BGE（SAS），
∴AB＝GB，∠ABC＝∠GBE，
∵FG＝FA，
∴BF⊥AG，∠ABG＝2∠ABF，∠ABG＝∠EBC，
∴∠AFB＝90°．
∵α＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠ABG＝120°，
∴∠ABF＝60°，
∴AF＝BF tan∠ABF＝BF tan60°BF．
【点评】本题主要考查了图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，延长三角形的中线的一倍，构造全等三角形是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
25．已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD边上，连接BG交CE于点H．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AEC；
（2）如图2，连接FH，若FH平分∠EFG，判断CH与AE之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）由旋转得EC＝BC，得∠CEB＝∠CBE，由AD∥BC，得∠AEB＝∠CBE，则∠AEB＝∠CEB，即可证明BE平分∠AEC；
（2）连接BE，作BI⊥CE于点I，先证明△IEB≌△AEB，得IE＝AE，IB＝AB＝FE＝CG，再由FH平分∠EFG，推导出∠EHF＝∠EFH＝45°，则FE＝HE＝IB，再证明△BHI≌△GHC，得IH＝CH，由EC＝AD，IE＝AE，推导出IC＝ED，设IE＝AE＝m，IH＝CH＝n，Rt△CDE中根据勾股定理得（2n）2+（m+n）2＝（m+2n）2，求得n＝2m，则CH＝2AE．
【解答】（1）证明：如图1，连接BE，
由旋转得EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
∴BE平分∠AEC．
（2）解：CH＝2AE．
理由：如图2，连接BE，作BI⊥CE于点I，
则∠BIH＝∠BIE＝90°，
∵∠A＝∠GCH＝90°，
∴∠BIH＝∠GCH，∠BIE＝∠A，
∵BE平分∠AEC，
∴∠IEB＝∠AEB，
在△IEB和△AEB中，
，
∴△IEB≌△AEB（AAS），
∴IE＝AE，IB＝AB＝FE＝CG，
∵∠EFG＝∠FEH＝∠GCH＝90°，FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝∠GFH∠EFG＝45°，∠BIH＝∠GCH，
∴∠EHF＝∠EFH＝45°，
∴FE＝HE＝IB，
在△BHI和△GHC中，
，
∴△BHI≌△GHC（AAS），
∴IH＝CH，
∵EC＝BC＝AD，IE＝AE，
∴EC﹣IE＝AD﹣AE，
∴IC＝ED，
设IE＝AE＝m，IH＝CH＝n，则CE＝m+2n，ED＝IC＝2n，CD＝CG＝FE＝HE＝m+n，
∵∠D＝90°，
∴（2n）2+（m+n）2＝（m+2n）2，
∴n＝2m，
∴CH＝2AE．
【点评】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB，连接PQ．
（1）求证：△PBQ是等边三角形；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
【思路点拔】（1）根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP，BP＝BQ，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（3）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
（2）解：∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（3）解：如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CHPC，PHHC，
∴BH＝4，
∴BC2＝BH2+CH2（4）2＝25+12，
∵S△ABCBC2，
∴S△ABC（25+12）9．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十三章《旋转》单元提优测评卷
一．选择题（共10小题）
1．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪
2．“致中和，天地位焉，万物育焉”．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．如图分别是中国卫生、中国卫生应急、中国红十字、社区卫生的标志图案，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
4．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣3，0），现将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°，则旋转后点A的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，﹣4） D．（﹣3，3）
5．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFD等于（ ）
A．89° B．92° C．90° D．95°
6．在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
7．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，4），点N的坐标为（6，0），将△OMN绕点O按逆时针方向旋转得到△OM′N′．若点M′恰好落在x轴上，则点N′的坐标为（ ）
A．（﹣3，5） B．
C．（﹣4，5） D．
8．如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向夹角为45°，且OA＝2，若将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，则此时点A′的坐标为（ ）
A．（，﹣1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（1，）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD，则下列说法不正确的是（ ）
A．BE＝BC
B．∠DFC＝90°
C．DG＝3GF
D．四边形BFDE是平行四边形
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．2
二．填空题（共8小题）
11．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1，则AE＝ ．
12．如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到ΔOA'B'，则点B'的坐标为 ．
14．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点D处，点A落在点E处，DE与AC相交于点F，若AB∥CE，DE⊥AC，，则AB的长为 ．
15．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，设A′C交AB边于D，连接AA′，若△AA'D是等腰三角形，则旋转角α的度数为 ．
16．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为 ．
17．如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，点C的对应点为C′，点C恰好在BC边上，且∠C′AB＝2∠ABC′，则BC′长度为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ．
三．解答题（共8小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4）、B（3，﹣3）、C（1，﹣1）（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2．
20．如图，已知点P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分线OC上，且AP⊥BP，点A在x轴上，点B在y轴上．
（1）求点P的坐标；
（2）当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为旋转中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．
（1）填空：∠BAC+∠DAE＝ °；（直接写出答案）
（2）取CD中点F，连接AF，试用等式表示线段AF与BE之间数量关系，并证明．
22．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°．D是边BA上一点（不与点B重合且BDBA），将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接DE，AE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G，依题意补全图形．若∠G＝∠ACE，用等式表示线段FG，AF，AE之间的数量关系，并证明．
23．如图，E为正方形ABCD内一点，AE⊥BE，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
（1）试判断EF与E′F之间的关系，并说明理由．
（2）若CF＝1，AB＝5，求线段DE的长．
24．已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣α，得到线段BE，连接DE，F为DE的中点，连接AF，BF．
（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得成立，并证明．
25．已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD边上，连接BG交CE于点H．
（1）如图1，连接BE，求证：BE平分∠AEC；
（2）如图2，连接FH，若FH平分∠EFG，判断CH与AE之间的数量关系，并说明理由．
26．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB，连接PQ．
（1）求证：△PBQ是等边三角形；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
