苏科版九年级数学下册 7.3 特殊角的三角函数试题 （含答案详解）

7.3 特殊角的三角函数
一．单选题
1．点关于轴对称的点的坐标是　　
A．， B．， C．， D．，
2．已知在中，，，则的值为　　
A． B． C． D．
3．当300≤a≤600时，以下结论正确的是　　【提示：】
A．<≤ B．<≤ C．≤≤ D．≤≤
4．在中，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
5．为锐角，当无意义时，的值为　　
A． B． C． D．
6．若菱形的两邻角之比为，那么此菱形的较短对角线与较长对角线之比为　　
A． B． C． D．
7．因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知：　　
A． B． C． D．
8．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“实验三角形”，下列各组数据中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是　　
A．1，1， B．1，1， C．1，2， D．1，2，3
9．某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当时，小于3.4米的车辆均可以通过该闸口；
②当时，等于3.0米的车辆不可以通过该闸口；
③当时，等于3.2米的车辆可以通过该闸口．
上述说法正确的个数为　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题
10．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于　　．
11．已知是锐角，，则　　．
12．在中，，，，则　　．
13．在中，若，，都是锐角，则是　　三角形．
14．如图，半径为的圆与地面相切于点，圆周上一点距地面高为，圆沿地面方向滚动，当点第一次接触地面时，圆在地面上滚动的距离为　　．
15．已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为，那么这个等腰三角形的顶角等于　　度．
三．解答题
16．（1）计算：．
（2）计算：．
17．求下列各式的值：
（1）； （2）．
18．计算：．
19．求满足下列条件的锐角：．
20．求满足下列条件的锐角：．
21．对于钝角，定义它的三角函数值如下：
，，．
（1）求，，的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是，，是这个三角形的两个顶点，，是方程的两个不相等的实数根，求、的值及和的大小．
22．一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得：
；
；
；
．
例如：．
类似地，求：
（1）的值．
（2）的值．
（3）的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．
23．如图，是等腰三角形，，以为直径的与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，，求的度数；
（3）在（2）的条件下，求图形中阴影部分的面积．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：，，
，，，
关于轴对称点的坐标是，．
故本题选：．
2．
【详解】解：在中，，
．
．
故本题选：．
3．
【详解】解：、，，，
∴<≤，故此选项正确；
、，，
∴<≤故此选项错误；
、，，
∴≤≤，故此选项错误；
、，，
∴≤≤，故此选项错误．
故本题选：．
4．
【详解】解：如图，
在中，，，
，
则．
故本题选：．
5．
【详解】解：无意义，
，即，
锐角，
．
故本题选：．
6．
【详解】解：如图，
菱形的两邻角之比为，
较小角为，
，
，
，，
．
故本题选：．
7．
【详解】解：，
．
故本题选：．
8．
【详解】解：、若三边为1，1，，由于，则此三边构成一个等腰直角三角形，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以选项错误；
、由1，1，能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，所以这个三角形是“实验三角形”，所以选项正确；
、若三边为1，2，，由于，则此三边构成直角三角形，最小角为，所以这个三角形不是“实验三角形”，所以选项错误；
、由1，2，3不能构成三角形，所以选项错误．
故本题选：．
9．
【详解】解：由题知，限高曲臂道路闸口高度为：，
①当时，米，即米即可通过该闸口，故①错误；
②当时，米，即米即可通过该闸口，
，等于3米的车辆不可以通过该闸口，故②正确；
③当时，米，即米即可通过该闸口，
，等于3.2米的车辆可以通过该闸口，故③正确．
故本题选：．
二．填空题
10．【详解】解：如图，连接，
以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，
，
以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
是等边三角形，
，
．
故本题答案为：．
11．
【详解】解：，
，
，
，
故本题答案为：30．
12．
【详解】解：，
，
．
故本题答案为：．
13．
【详解】解：，
，，
，，
是等边三角形．
故本题答案为：等边．
14．
【详解】解：如图，作于，于，
则，又，
，
，
，
则的长为，
则圆在地面上滚动的距离为．
故本题答案为：．
15．
【详解】解：由题意知，分两种情况：
（1）当腰上的高在三角形内部时，如下图，，，在直角三角形中，，
顶角；
（2）当腰上的高在三角形外部部时，如上图，，，在直角三角形中，，
，顶角．
故本题答案为：．
三．解答题
16．解：（1）
；
（2）．
．
17．解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．解：原式
．
19．解：
（舍去），
．
20．解：原式
，（舍去）
．
21．解：（1），
，
；
（2）一个三角形的三个内角的比是，且三角形的内角和为，
三角形的三个内角为30、30、120，
①当、时，，，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
解得：，；
②当、时，，，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
解得：，；
③当、时，，，
此时，不满足题意．
综上，当时，，；当、时，，．
22．解：如图，连接，将阴影部分沿翻折，点的对应点为，过点作于点，
为的直径，，，
，
，，垂足为，
设的半径为，则，
，
解得：或（舍去），
，
即的半径是5；
，由对称性可知，，，
连接，则，
，
过点作于点，
，
，
即图中阴影部分的面积是：．
故本题答案为：．
23．解：如图，当点在点时，作出点关于的对称点，当点在点时，作出点的对称点，连接，，
点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧，
线段的扫过的区域面积为扇形的面积和△的面积之和，
，，
，
，
，
，
扇形的面积为：，
过点作于点，
，
，
线段扫过的区域的面积为．
故本题答案为：．
24．解：（1）
；
（2）
；
（3）．
．
．
25．（1）证明：如图，连接、，
是直径，
，
，
是的中点，
又是的中点，
，
，
，
又点在上，
是的切线；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
解得：，
，
，
；
（3）解：如上图，连接，
，，
是等边三角形，，
同理可得：是的中位线，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，，
平行四边形的面积，
．