九年级数学下册试题 6.3 相似图形同步练习-苏科版（含详解）

6.3 相似图形
一．单选题
1．下列图形中不一定是相似图形的是（　　）
A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形
C．两个菱形 D．两个正方形
2．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
3．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（　　）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
4．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，正五边形ABCDE与正五边形FGHMN相似．若，则下列结论正确的是（　　）
A．3BC＝4GH B．4DE＝3MN
C．4∠A＝3∠F D．∠A＝∠F＝100°
6．两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之差为14cm，那么小三角形的周长为（　　）
A．15cm B．17cm C．19cm D．21cm
7．下列四组图形中，一定相似的图形是（　　）
A．两个直角三角形
B．各有一个角是20°的两个等腰三角形
C．各有一个角是110°的两个等腰三角形
D．有两边之比都等于2：3的两个三角形
8．将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是（　　）
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．都不相似
9．如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
10．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是　　　　．
11．如图，相似的正方形共有　　　　个，相似的三角形共有　　　　个．
12．用4倍的放大镜看一个20°的角，则看出的角的度数是　　　　．
13．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则α＝　　　　．
14．两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为36cm2，则较大的多边形的面积为　　　　．
15．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则a、b的大小关系式为　　　　．
16．如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”，解决问题：如图②，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，＝　　　　．
三．解答题
17．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　　　　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
18．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
19．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，求EF的长．
20．甲、乙是两个形状相同，大小不相同的五棱柱．像这样，两个形状相同，大小不一定相同的几何体称为相似体．两个相似体的一切对应线段之比都等于相似比（即有a：a′＝b：b′＝c：c′＝k）．
解答下列问题：
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是　　　　；
A．两个正方体 B．两个圆锥体
C．两个圆柱体 D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体一切对应线段（或弧）长的比等于　　　　；
②相似体表面积的比等于　　　　；
③相似体体积的比等于　　　　．
据新华社报道：一头特殊的体内带有抗疯牛病基因体细胞的克隆牛犊，于2006年5月25日在山东省莱阳农学院自然诞生．这头转基因体细胞克隆牛出生时体重55kg，身高95cm．假定在完全正常发育的条件下，不同时期的这头牛的身体是相似体，经过若干月后，这头小牛的身高为1.5m时，它的体重将是多少？（精确到个位，不考虑不同时期牛的身体平均密度的变化）
答案
一．单选题
1．
【详解】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；
C、两个菱形，四个边都相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意；
D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意．
故本题选：C．
2．
【详解】解：甲：邻边的比为3：2，
乙：邻边的比为2.5：1.5＝5：3，
丙：邻边的比为1.5：1＝3：2，
∴相似图形是甲和丙．
故本题选：B．
3．
【详解】解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，周长和边长均为原来的4倍，面积为原来的16倍，
∴A错误，符合题意．
故本题选：A．
4．
【详解】解：∵△ABO∽△CDO，
∴，
∵BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴，
解得：AB＝6．
故本题选：D．
5．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠E＝∠F＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∵五边形FGHMN是正五边形，
∴∠M＝∠N＝∠F＝∠G＝∠H＝108°，MN＝NF＝FC＝GH＝HM，
∵正五边形ABCDE与正五边形FGHMN相似，，
∴，，∠A＝∠F＝108°，
∴4DE＝3MN，4BC＝3GH，
∴本题选项A，C，D错误，不合题意．
故本题选：B．
6．
【详解】解：设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
∵两三角形的周长的比为5：3，
∴5x﹣3x＝14，解得：x＝7，
∴小三角形的周长为：3x＝21（cm）．
故本题选：D．
7．
【详解】解：A、两个直角三角形比一定相似，不合题意；
B、各有一个角是20°的两个等腰三角形不一定相似，不合题意；
C、各有一个角是110°的两个等腰三角形一定相似，符合题意；
D、有两边之比都等于2：3的两个三角形不一定相似，不合题意．
故本题选：C．
8．
【解析】解：根据题意得：两个三角形对应边平行，
∴两个三角形的对应角相等，
∴两个三角形相似；
如图，
设AB＝CD＝x，AD＝BC＝y，则A′B′＝C′D′＝x+2，A′D′＝B′C′＝y+2，
∴，，
若x≠y，则，
∴新矩形与原矩形对应边的比不一定相等，
∴新矩形与原矩形不一定相似．
故本题选：A．
9．
【详解】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则AG＝b，BG＝b+a，BE＝2b﹣a，CE＝2b，
∴AB＝2b+a，BC＝2b+2b﹣a＝4b﹣a，
∵矩形BEFG∽矩形ABCD，
∴，即，
∴b＝a，
∴BG＝b+a＝a，AD＝4b﹣a＝5a，
∵矩形BEFG∽矩形ABCD，
∴＝（）2＝（）2＝．
故本题选：C．
二．填空题
10．
【详解】解：①所有的等腰三角形都相似，错误，对应边不一定成比例，对应角不一定相等；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误，对应边不一定成比例；
⑤所有的圆都相似，正确．
故本题答案为：②③⑤．
11．
【详解】解：如图，相似的正方形共有5个，相似的三角形共有16个．
故本题答案为：5，16．
12．【详解】解：用一个放大4倍的放大镜看一个20度的角，看到的这个角仍是20度．
故本题答案为：20°．
13．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A'＝62°，∠B＝∠B'＝75°，
∴α＝360°﹣140°﹣62°﹣75°＝83°．
故本题答案为：83°．
14．
【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为36cm2，
∴较大多边形的面积为64cm2．
故本题答案为：64cm2．
15．
【详解】解：∵小矩形与原矩形相似，原矩形纸片的边长为a、b，
∴，
∴a2＝4b2，
∴a＝2b（负数舍去）．
故本题答案为：a＝2b．
16．
【详解】解：如图，
∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠AEM＝∠BCE＝∠ECM，
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM＝∠DCM＝∠BCE，CE＝CD＝AB，
∴∠BCE＝∠BCD＝×90°＝30°，
∴在Rt△BCE中，CE＝2BE，
∴CE＝BC，
∴，
∵AB＝CD，
∴AB＝CE，
∴．
故本题答案为：．
三．解答题
17．解：（1）如图1，
∵第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，
∴由勾股定理可得BC＝AB，
∵第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合，
∴较长边＝AB，
∴A4纸较长边与较短边的比为：，
故本题答案为：；
（2）A4纸与A5纸是相似图形，理由如下：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a，
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为，
∴A5纸的长边与短边的比为：，
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
18．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴EB＝GD；
（2）如图，连接BD交AC于点P，
∴BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴AP＝，
∴EP＝，
∴EB＝，
∴GD＝．
19．解：如图，
∵△ABC∽△DAC，
∴AC2＝DC BC，
∵AD＝CD，
∴AC2＝AD BC，
∵AC＝，AD＝，
∴BC＝2，
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴在Rt△AFC中，AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝．
故本题答案为：．
20.解：（1）因为正方体的棱长都相等，形状都相同，所以两个正方体一定属于相似体，
故本题选A；
（2）①由题意知，相似体一切对应线段（或弧）长的比等于相似比，
②根据S＝6a2得：，∴相似体表面积的比等于相似比的平方，
③根据V＝a3得：，∴相似体体积的比等于相似比的立方，
故本题答案为：相似比，相似比的平方，相似比的立方；
（3）它的体重将是x千克，由题意得，，
解得，x≈217（千克），
答：它的体重是217千克．