苏科版九年级数学下册试题 6.4.1 探索三角形相似的条件——平行线分线段成比例同步练习（含解析）

6.4.1 探索三角形相似的条件——平行线分线段成比例
一．单选题
1．如图，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG＝4GC B．EG＝3GC C．EG＝GC D．EG＝2GC
2．如图，l1∥l2∥l3，若，DF＝15，则EF等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
3．如图，点F在平行四边形ABCD的边CD上，射线AF交BC的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，图中相似的三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．已知线段a、b、c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（　　）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
6．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE、AD交于点G，给出下列3个关系式：
①；②；③．
其中，正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（　　）
A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
二．填空题
10．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，则EF＝　　．
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝2，AC＝8，那么CE＝　　．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，则CE的长为　　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，则四边形EFGH的周长是　　．
14．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝2，则EC的长为　　．
三．解答题
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F，．
（1）若BD＝20，求BG的长；
（2）求的值．
16．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC于点F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若DG＝4，求FG的长．
17．阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
角平分线分线段成比例定理：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E．
任务一：请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
任务二：如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，直接写出线段FC的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，求△ABO面积最大值．
19．如图，矩形ABCD中，边长AB＝3，BC＝4，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度在边BC、CD上运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B、E、C、G在同一直线上，DE与BF交于点O．
（1）若BE＝1，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△BOE与△DOF的面积相等？
（3）延长DH交BC的延长线于M，当E点在BC边上的什么位置时，DM＝DE？
答案
一．单选题
1．
【详解】解：∵DE∥FG∥BC，DB＝4FB，
∴．
故本题选：B．
2．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，若，
∴，
∵DF＝15，
∴EF＝9．
故本题选：D．
3．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，∠ABE＝∠FCE．
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE∽△FCE；
在△ADF和△ECF中，，
∴△FDA∽△FCE．
∵△ABE∽△FCE，△FDA∽△FCE，
∴△ABE∽FDA．
∴在不添加辅助线的情况下，图中相似的三角形有3对．
故本题选：C．
4．
【详解】解：由A得，，则x＝，A错误；
由B得，，则x＝，B正确；
由C得，，则x＝，C错误；
由D得，，则x＝，D错误；
故本题选：B．
5．
【详解】解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，BC＝DA，AB＝CD，∠ABC＝∠D，
∴△ABC≌△CDA（SAS），即△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE．
故本题选：C．
6．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴，
∵EG∥AB，
∴，
∴．
故本题选：A．
7．
【详解】解：如图，连接DE，
∵BD＝DC，EF＝FC＝AE，
∴DF∥BE，
∴，，
∴GE＝DF，DF＝BE，
∴，
∴，
∴①③正确，②错误．
故本题选：B．
8．
【详解】解：∵l1∥l2，AF：BF＝2：5，
∴，
∴AG＝BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝BD，
∴，
∵l1∥l2，
∴．
故本题选：C．
9．
【详解】解：如图，作BH⊥OA于H，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴AO＝OB＝，
∵BH AC＝AB BC，
∴BH＝，
在Rt△OBH中，OH＝，
∵EA⊥CA，
∴BH∥AE，
∴，
∴，
∴．
故本题选：C．
二．填空题
10．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝5，DE＝2，AC＝15，
∴，
解得：DF＝6，
∴EF＝DF﹣DE＝4．
故本题答案为：4．
11．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝3，BD＝2，AC＝8，
∴，
∴CE＝．
故本题答案为：．
12．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴，
∴BE＝10，
∴CE＝BE﹣BC＝10﹣6＝4．
故本题答案为：4．
13．
【详解】解：∵EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF＝HG，EH＝FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠BAD＝90°，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝BD，
∵EF∥AC，
∴，
∵EH∥BD，
∴，
∴
∴1＝，
∴EF+EH＝BD＝，
∴四边形EFGH的周长＝2×（EF+EH）＝2×＝2．
故本题答案为：2．
14．
【详解】解：如图，作DF∥AE交BC于F，
∵OE∥DF，O是BD的中点，
∴，
∴BE＝EF，
∵DF∥AE，
∴，
∴FC＝2EF，
∴EC＝3EF＝3BE，
∵BE＝2，
∴EC＝6．
故本题答案为：6．
三．解答题
15．解：（1）∵GF∥BC，，
∴，
∵BD＝20，
∴BG＝8；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴，
∴，
∴．
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠FDC，
∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
又∵∠E＝∠FDC，∠BFE＝∠DFC，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴BF＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△CFG，
∴，
∵BF＝CF＝BC＝AD，
∴，
∵DG＝4，
∴，
∴FG＝2．
17．任务一、证明：如图2，过C作CE∥DA交BA的延长线于E，
∵CE∥AD，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴；
任务二、解：∵AD是△ABC的平分线，AB＝11，AC＝15，
∴，
设BD＝11a，则CD＝15a，
∴BC＝26a，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝13a，
∵EF∥AD，
∴FC：AC＝EC：DC，即FC：15＝13a：（15a），
解得：FC＝13．
18．解：如图，过点D作DF∥AE，
则，
∵，
∴DF＝2CE，
∴DO＝2CO，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：×4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故本题答案为：．
19．解：（1）如图，连接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴∠G＝∠FCB＝90°，GH＝CF，
∴GH∥CF，
∴四边形FCGH是平行四边形，
∴四边形FCGH是矩形，
∴两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度在边BC、CD上运动，
∴BE＝CF＝1，
∵EG＝BC＝4，
∴EC＝3，
∴CG＝1，
∴CG＝CF，
∴四边形CGHF为正方形，
∴FH＝1，
∵四边形ABCD是矩形ABCD，AB＝3，
∴CD＝3，
∴DF＝2，
∴DH＝；
（2）要使△BOE与△DOF的面积相等，由图看出只要△BCF与△DCE面积相等即可，
∵，，
∵由（1）可知，CF＝BE，
∴CF＝BE＝4﹣CE，
∴BC×BE＝（4﹣BE）×CD，
∴代入数值得：；
（3）如图，
∵DM＝DE，
∴CD为EM的垂直平分线，
∵FH＝BE＝FC，CE＝BC﹣BE，
∴DF＝DC﹣＝DC﹣＝DC﹣BE，CM＝BC﹣BE，
由（1）中知FH∥BC，
∴，
∴，
代入数值得：，
解得：．