苏科版九年级数学下册试题 6.7 用相似三角形解决问题同步练习（含详解）

6.7 用相似三角形解决问题
一．单选题
1．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是　　
A． B．
C． D．
2．如图，利用标杆测量建筑物的高度，标杆高，测得，，则楼高为　　．
A．10.5 B．12 C．13 D．15
3．一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是　　号窗口．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．圆桌面（桌面中间有一个直径为的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为，桌面离地面，若灯泡离地面，则地面圆环形阴影的面积是　　
A． B． C． D．
5．如图，某数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面上的影长为，请你帮她算一下，这棵树的高度是　　
A．3.25 B．4.25 C．4.45 D．4.75
6．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为　　
A．米 B．12米 C．米 D．6米
7．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条．如图，在中，，，，依次裁下宽为的矩形纸条，，，．若使裁得的矩形纸条的长不小于，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数为　　
A．24 B．25 C．26 D．27
二．填空题
8．如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为的标准视力表制作了一个测试距离为的视力表如果标准视力表中“”的高是，那么制作出的视力表中相应“”的高是　　．
9．如图，在时测得旗杆的影长是4米，时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是　　米．
10．如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高，他的眼睛距地面，同时量得，，则楼高为　　．
11．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为　　．
三．解答题
12．已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．
（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影；
（2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．
13．如图，路灯灯泡在线段上，在路灯下，王华的身高用线段表示，她在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
（2）如果王华的身高米，她的影长米，且她到路灯的距离米，求路灯的高度．
14．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上．
（1）求的长．
（2）求灯泡到地面的高度．
15．如图，一教学楼的高为，教学楼后面水塔的高为，已知，小张的目高为．当小张站在教学楼前处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，求此时他与教学楼的距离．
16．深圳市民中心广场上有旗杆如图1所示，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，求旗杆的高度．
17．利用投影知识解决问题：
（1）如图，晚上小亮在路灯下散步，在他由甲处走到乙处过程中，他在地上的影子　　．
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
（2）如图，路灯点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部点）20米的点沿所在的直线行走14米到点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
18．如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米．
（1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母．
（2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差．
19．如图，强强同学为了测量学校一座高楼的高度，在操场上点处放一面平面镜，从点处后退到达点处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点的像．再将平面镜向后移动（即放在点处，从点处后退到达点处，恰好再次在平面镜中看到高楼的顶部点的像，测得强强同学的眼睛距地面的高度，为．已知点，，，，在同一水平线上，且，，均与垂直．求高楼的高度．（平面镜的厚度忽略不计）
20．街道旁边有一根电线杆和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点，已知米，半圆形的直径为6米，米．求电线杆的高度．
21．如图，平台上有一棵直立的大树，平台的边缘处有一棵直立的小树，平台边缘外有一个向下的斜坡．小明想利用数学课上学习的知识测量大树的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端与小树顶端的影子恰好重合，且都落在斜坡上的处，经测量，长米，长2米，小树高1.8米，斜坡与平台所成的．请你帮小明求出大树的高度（结果保留一位小数）．
22．一、如图（1）是两棵树在同一盏路灯下的影子．
（1）确定该路灯泡所在的位置；
（2）如果此时小颖所在位置恰好与这两棵树所在的位置共线（三点在一条直线上），请画出图中表示小颖影子的线段．
二、如图（2），小明从点出发沿方向匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影子为，继续按此速度行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段上，测得此时影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点．他在同一灯光下的影子恰好是．图中线段，，表示小明的身高．
（1）请在图中画出小明的影子；
（2）若、两地相距12米，则小明原来的速度为　　．
23．夜晚，小明在路灯下散步．若小明身高，路灯的灯柱高．
（1）如图1，若小明在相距10米的两路灯、之间行走（不含两端），他在路灯下的影子为，在路灯下的影子为．解答问题：
①若，求影子．②猜想影子与的长的和为定值吗？说出理由．
（2）有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱前，朝着影子的方向（如图箭头），以0.8米秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，故选项错误；
、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，故选项错误；
、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，故选项错误；
、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，故选项正确．
故本题选：．
2．
【详解】解：，，
，
，
，
，，，
，
，
．
故本题选：．
3．
【详解】解：如图，点即为所求，投影中心在3号窗口．
故本题选：．
4．
【详解】解：如图，
，，
，
，即，
解得：，
同理可得：，则，
．
故本题选：．
5．
【详解】解：如图，设是在地面的影子，树高为，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，
则，解得：，
树在地面的实际影子长是，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，
解得：，
树高是．
故本题选：．
6．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，
则，作于，
在中，，，
（米，（米，
在中，
同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，，，
（米，
（米，
在中，（米．
故本题选：．
7．
【详解】解：设所求的矩形有张，其中最小的矩形的长为，
则
，
又∵y≥5，
∴40-x≥5
∴x≤26
最多能裁26张．
故本题选：．
二．填空题
8．
【详解】解：，
，
，
即，
解得：．
故本题答案为：43.62．
9．
【详解】解：如图，，，，
，
，
，而，
，
，
，即，
，
即旗杆的高度为．
故本题答案为：8．
10．
【详解】解：，（反射角等于入射角），
，
，即，
．
故本题答案为：10．
11．
【详解】解：如图，作交于点，
，
．
设米，
由题意得：米，米，
，
解得：．
故本题答案为5.5．
三．解答题
12．解：（1）作法：连接，过点作，交直线于，
如图，就是的投影；
（2）太阳光线是平行的，
，
，
又，
，
，
，，，
，
．
13．解：（1）如图，点即为灯泡所在的位置，线段即为小亮在灯光下形成的影子；
（2），
，
，
，
（米，
答：路灯的高度为4.4米．
14．解：（1）由题意可得：，
则，
故，
即，
解得：；
（2），
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
15．解：如图，过点作，交于点，交于点，
，
．
．
由题意知，，，，
，
，，
，解得：，
故此时他与教学楼的距离为．
16．解：如图，过点作，交于点，过点作，垂足为，
，
，
，
（米，
四边形为矩形，
（米，（米，
在中，，
（米，
（米．
答：旗杆的高度为 20 米．
17．解：（1）根据实际生活中的常识可知，小亮在从甲走到乙的过程中，他在地上的影子先变短，后变长，
故本题选：；
（2），
，
，
同理可得：，
米，
，
解得：．
米，米，
米．
，
解得：（米．
（米．
身影的长度变短了，变短了3.5米．
18．解：（1）如图所示；
（2）由题意可知．
又为公共角，
，
，
米，点是的中点，
米，
米，米，
，
（米，
又，为公共角，
，
，
（米，
（米，
答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米．
19．解：由已知得，，，，，
，，．
，，
，
，即，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，．
答：高楼的高度为．
20．解：如图，连接，过点作于，则是矩形，
，，
，，
是的切线，
，
太阳光线是平行光线，
，
又，
．
又，
，
，即，
解得：．
即，
答：电线杆的高度为9米．
21．解：如图，延长交于点，过点作的延长线于点，
，，
，
，
的长为2米，
米，米，
，，
，
，
，
又米，
，
，
，
，
，
，
，
米，
大树的高度为15.8米．
22.一、（1）如图1，
（2）如图1，线段即为所求线段；
．（1）如图2，
（2）设小明原来的速度为，
则，，，
，
点，，在一条直线上，，
，，
，，
，即，
解得：，
经检验为方程的解，
小明原来的速度为，
故本题答案为：．
23.解：（1）①，
，
，
解得：；
②同理可得：，
，
，
则，
解得：，
影子与的长的和为定值5；
（2）如图，
根据题意设小明由到，则影子是从到，
由（1）可知，，，
，
，
设，，
，，
，，
设影子的速度为，
，
解得：，
答：影子的速度为1.2米秒．