2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将分针拨快分钟，则分针转过的弧度数是( )
A. B. C. D.
2.将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称则下列选项不正确的是( )
A. 在区间上为增函数
B.
C.
D.
3.在中，为上一点，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，为中点，在线段上，且，和相交于点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.若复数其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数的图象经过点，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 点为函数图象的对称中心
C. 直线为函数图象的对称轴
D. 函数的单调增区间为
10.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
11.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则( )
A.
B. 三棱锥的体积不变
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过，，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则______．
13.已知向量满足，且与的夹角为，则 ______．
14.若复数是纯虚数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
求函数的单调递增区间和最小正周期；
若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
16.本小题分
在等腰梯形中，，，，．
若与垂直，求的值；
若为边上的动点不包括端点，求的最小值．
17.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量的坐标；
记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值．
18.本小题分
已知，是关于的方程的两个虚根，为虚数单位．
当时，求实数，的值．
当，且，求实数的值．
19.本小题分
如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为若球与三棱台内切即球与棱台各面均相切．
求证：平面；
求二面角的正切值；
求四棱台的体积和球的表面积．
参考答案
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15.解：因为，
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以．
16.解：过作于，等腰梯形中易知，，
又，故可得，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：
则，，，
所以，，，
故，
因为与垂直，所以，解得；
设，则，，，
则，
对，，其对称轴，
故其最小值为，
所以的最小值为．
17.解：，
所以；
依题意，
由得，
因为，
所以，
所以；
由题知，，
所以
因为，，
所以，
令，
所以问题转化为函数的最值问题，
因为函数的对称轴为，
所以当，即时，
的最大值在处取得，为；
当，即时，
的最大值在处取得，为；
当，即时，
的最大值在处取得，为；
综上，在上的最大值为．
18.解：因为，是关于的方程的两个虚根，
所以当时，，
所以，；
当时，，由求根公式可知，两根分别为，，
所以，
所以，解得．
19.解：证明：设与、与分别交点，，连接，
因为底面为菱形，所以，
在等腰梯形中，因为，为底边中点，
所以，又与相交，
平面；
由可知平面平面，又平面平面，
过点作于，则平面，再作于，
则由三垂线定理得，则是二面角的平面角，
因为平面，故是侧棱与底面所成角，
所以，
在中，，，
在，，
在中，，
因此二面角的正切值为；
由题意可知三棱台为正三棱台，设，是和的中心，
，分别是和的中点，故为内切球的球心的直径，
不妨设和的边长分别是，，球的半径为，
则，
所以球的表面积为，
在中，，
由为内切球可知，解得，
在直角梯形中，，
解得，
因此，，
因此四棱台的体积．
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