期末真题重组卷-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册

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期末真题重组卷-2023-2024学年高二数学下学期人教A版2019选择性必修第二册
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏淮安·期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·吉林松原·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（ ）
A．1或 B．1或3 C．或 D．或3
5．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知为函数，图象上一动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数有2个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（23-24高二下·云南红河·期末）记正项数列的前n项和为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．数列的前n项和小于1
10．（23-24高二下·山东烟台·期末）某弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则（ ）
A．时，弹簧振子的位移为
B．时，弹簧振子的瞬时速度为
C．时，弹簧振子的瞬时加速度为
D．时，弹簧振子的瞬时速度为
11．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，对所有的，都有，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．在上可能单调递增 D．在上可能单调递减
三、填空题
12．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知函数，若有解，则a的取值范围是 ．
13．（23-24高二下·山东日照·期末）已知函数，数列的前n项和为，且满足，，，则 .
14．（23-24高二下·山东烟台·期末）南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶 2阶 3阶 4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为，则阶科赫曲线的周长为 ；若阶科赫曲线围成的平面图形的面积为，且满足，则的最小值为
四、解答题
15．（24-25高二下·苏州·期末）已知数列的前项和，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项乘积为，求的最小值.
16．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数 .
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时，证明：函数有且仅有一个零点.
17．（23-24高二下·吉林·期末）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和．
(1)求的值：
(2)若，求数列的前项和
(3)对互不相等的质数，证明：，并求的值．
18．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明不等式：；
(3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围．
19．（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立.
(1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根.
(2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解.
(3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点.
参考答案：
1．D
【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D．
2．D
【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可．
【详解】求导，令，得．
易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知
故选：D.
3．D
【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系.
【详解】根据题意，设，
若为奇函数，则，则函数为偶函数.
.
又当时，，则函数在上为减函数，
故在上为增函数.
则，且，则有；
故选D.
4．D
【分析】运用等比数列的性质公式求解即可.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，故 ，
解得 或 .
故选：D．
5．B
【分析】根据已知条件列方程组求出，从而可求出
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，化简得，
解得，
所以.
故选：B
6．A
【分析】分析可知当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，结合导数的几何意义运算求解.
【详解】设，由题意得，
当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
则，得，，
所以点到直线的距离的最小值为．
故选：A.
7．B
【分析】求出函数的定义域及导数，函数有2个极值点则方程在上有2个不同的实数根，列不等式组即可得答案.
【详解】的定义域为，，
因为有2个极值点，所以方程在上有2个不等的实数根，
所以，
解得.
故选：B.
8．C
【分析】运用等比数列的下标性质，结合对数性质可解.
【详解】，则，
根据等比数列的性质，知道,
则，则，即，则.
故选：C.
9．AD
【分析】由与的关系结合定义证明为等差数列，从而判断ABC；由裂项相消求和法结合不等式性质判断D.
【详解】对于B：∵，①
∴当时，，解得；
当时，，②
由①②得，
化为，
∵有，∴.
数列是以首项为1，公差为1的等差数列.
∴.
∴，故B错误；
对于AC：，，故A正确，C错误；
对于D： ，
数列的前n项和为，
故D正确；
故选：AD
10．ABD
【分析】对于A，将代入即可判断；对于B，根据导数的几何意义先求出，将代入即可判断；对于C，设，根据导数的几何意义求出，将代入即可判断；对于D，将代入即可判断.
【详解】对于A，当时，，
即时，弹簧振子的位移为，故A正确；
对于B，，
当时，，
即时，弹簧振子的瞬时速度为，故B正确；
对于C，设，
则，
当时，，
即时，弹簧振子的瞬时加速度为，故C错误；
对于D，，
当时，，
即时，弹簧振子的瞬时速度为，故D正确.
故选：ABD.
11．AC
【分析】应用赋值法及化简判断A,B选项，再根据导函数的正负判断函数单调性即可判断C,D选项.
【详解】令，则，
若，则，即，
所以为常数，则．
因为，所以，所以为奇函数，故A正确，B错误．
，当时，在上单调递增，故C正确．
结合是开口向上的二次函数可知，不可能恒成立，故D错误．
故选：AC.
12．
【分析】由，得，构造函数，利用函数的性质结合导数转化为求最值问题即可求解.
【详解】由，得，
令，该函数在上均单调递增，设，
则，
故该题等价于，
①若，由的图象可知或，
等价于或，
令则
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递增；当时，，单调递减；
由以下图象可知
或，可得；
②若，由的图象可知或，
等价于
或，
由以下图象可知
;
综上，.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式能成立的问题，解题的关键是化简变形得，再构造函数，再次转化为有解问题，再变形化简，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
13．2
【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故答案为：2.
【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.
14．
【分析】记第阶科赫曲线为，其三角形边长为，边数，周长为，面积为，由题意可得，边数，可求，进而可得，累加可得，计算可得结论.
【详解】记第阶科赫曲线为，其三角形边长为，边数，周长为，面积为，
若第阶科赫曲线中的三角形的周长为，则，边数，
第阶科赫曲线中的三角形的，边数，
所以第阶科赫曲线中的三角形的边长，边数，
所以以第阶科赫曲线中的三角形的周长；
由图形可知是每条边上生成一个小三角形（去掉底边），
则，所以
，
，
，
左右两边分别相加得，又，
因为数列是公比为的等比数列，数列是公比为的等比数列，
所以，又，
所以
，
当时，，所以，
所以，所以的最小值为.
故答案为：①；②.
【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用由求判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式解出结果；
（2）由第一问已知，根据题意求的，在计算的最小值；
【详解】（1）因为.
所以当时，
当时，，
两式相减得
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则数列通项公式为
（2）记数列的前项乘积为，
所以，由（1）可知
则
令，开口向上且对称轴为，
所以或8时，取最小值且最小值为.
所以的最小值为.
16．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先确定定义域，对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果；
（2）利用（1）中结果，再利用零点存在性原理，即可得出结果.
【详解】（1）易知函数的定义域为，，
令，，，对称轴为，
（1）当，即时，方程有两根为，，
（i）时，，时，，即，
时，，即，
（ii）时，，时，，即，
时， ，即，
（2）当，即时，方程的根为，
此时在区间上恒成立，当且仅当取等号，
（3）当，即时，在区间上恒成立，
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
时，函数的单调递增区间为，无减区间.
（2）由（1）知当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，又，
又，所以，，则，，得到，
而时，，
由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数的单调递增区间为，
又，而时，，
由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点，
综上，函数有且仅有一个零点.
17．(1)
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）先找出的所有正因数，再根据题设定义，即可求解；
（2）由题设定义，结合的正因数，求出，再由分组求和与错位相减法，即可求出结果；
（3）先分别求出及的正因数，由丰度指数的定义，证明，再利用结论求解即可.
【详解】（1）因为的所有正因数为，所以，得到.
（2）因为共有个正因数，它们为，
所以，得到，
所以，
令①，则②，
由①②得到，
所以，
故.
（3）因为是互不相等的质数，则的正因数有个，它们是，
的正因数均为个，分别为和，
的正因数有个，分别为，
所以，
，
因为，所以.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可；
（2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明；
（3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可.
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上单调递减，
当时，令，解得：，
令，则在上单调递增．
令，则在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，，要证明：；
即证：，即证：，
设，
令，解得：，
x 1
0
单调递减 0 单调递增
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，，
．即：，
；
（3）由题意得：在上恒成立，
整理得：，
参变分离即证在上恒成立，
令，则只要证明的最大值即可．
．
令解得：，
（列表如下）
x
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
在上单调递增，在上单调递减，
，
则实数b取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题主要借助导数研究函数的单调性和极值最值.第一问需要对导数分类讨论；第二问需要构造新函数，转化为最值问题；第三问采取参变分离后构造新函数，求导讨论单调性，进而得到最值.考查分类讨论，转化思想，综合性较强，属于中档题.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）令函数，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得；
（2）令，由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得，至少存在一个，使得，可得结论；
（3）令 ，则 ，由罗尔中值定理知，存在，使得，故函数区间 内至少存在一个零点.
【详解】（1）证明：令函数，
显然在 上连续，在内可导，
则，
由条件知，
由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得，
即方程必有一个小于的正根.
（2）令，则.
由，得，所以.
因为，所以，
由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得，
即.
同理，因为，由罗尔中值定理知，
至少存在一个，使得，所以 .
故方程在内至少存在两个不同的解.
（3）证明：令 ，则 .
由，得，
则，又因为 是连续且可导函数，
由罗尔中值定理知，存在，使得，
则 ，所以.
故函数区间 内至少存在一个零点.
【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，本题明确罗尔中值定理的描述，通过构造函数，结合导数的运算和性质求解.
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