5.1 数列基础
分层练习
题型一 数列的概念与辨析
1． （2023 下·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3, , }）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列 1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
2．（2022·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列 1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．（2023 下·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，1 1 12，3，4，… B． ―1， ―2， ―3， ―4
C． ―1， ― 1， ― 12 4， ―
1
8，… D．1， 2， 3，…，
4．（多选）（2023 下·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
题型二 求数列中的某项
1．（2023 上·河南焦作·高二石家庄市第九中学校考期末）观察下面数列的特点，1,1,2,3，___，8,13,21, 用
适当的数填空（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023 下·山东·高二校联考阶段练习）数列1,43,
9,165 7 , 的第 8 项是（ ）
A．64 B．3215 13 C．
64 32
13 D．15
3．（2023 下·陕西安康·高二校联考期末）观察下列数的规律：1，1，2，3，5，8……，则第 9 个数是
（ ）
A．21 B．22 C．33 D．34
4.（2022 上·黑龙江牡丹江·高二校考期末）某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，
，这样一个细胞分裂 次以后，得到的细胞数是128个．
题型三 由通项公式确定某项
1．（2023 下·高二课时练习）已知数列{ }的通项公式是 = 2 ― 1，则 8 = .
2． （2023 下·广西桂林·高二校考期中）已知数列{ }的通项公式为 = ( ―1) ， ∈ +，则它的第8项
是 .
2
3. （2021 下·高二课时练习）在数列 1 中，第7项是 ．
4．（2023·全国·高二随堂练习）根据下面数列的通项公式，分别说出各数列的前 5 项．
(1) = 2 ― 1
(2) = 3 ( 1)
．
题型四 数列的通项公式
1．（2023 下·高二课时练习）数列3,4,5,6，…的一个通项公式为（ ）
A． = B． = + 1
C． = + 2 D． = 2
2．（2023 上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列 1， ― 1，1， ― 12 3 4，…的一个通项公式为 = （ ）
( 1) ( 1) +1 ( 1) +1 ( 1) A． B． C． 1 D． 1
3．（2023·全国·高二课堂例题）根据下列数列的前 4 项，写出数列的一个通项公式：
(1)1， ― 1，12 3， ―
1
4，…；
(2)2，0，2，0，…．
4．（2021·高二课时练习）写出下面各数列的一个通项公式：
（1）9，99，999，9 999，…；
（2）1，2，9，8，252 2 2 ，…；
题型五 由递推公式写出某项
1
1．（2023 上·山东烟台·高二校考期末）已知数列{ }满足 +1 = 1 ， 1 = ―1，则 2024 = （ ）
A． ―1 B．12 C．2 D．1
1
2．（2023 上·江苏南通·高二统考阶段练习）设数列 满足 = ，且 = 1{ } +1 1 1 2，则 2023 = （ ）
A．-2 B． ― 13 C．
1
2 D．3
2
3．（2023 上·全国·高二假期作业）已知数列{ }的首项 1 = 1，且 +1 = +1，则这个数列的第 4 项是
（ ）
A．11 B．11 C．217 5 11 D．6
4．（2023 上·新疆·高二校考阶段练习）根据下列条件，写出数列{ }的前 5 项： 1 = 1， = ―1 + 2 ―1
（ ≥ 2）.
题型六 Sn与 an的关系求通项公式
1．（2023 上·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知数列{ }的前 项
和为 = 2 ― + 1，则 3 = .
2．（2022 下·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知数列{ }的前 项和为 = 3 2 + ，则
数列{ }的通项公式 = .
3 ．（ 2021 下 · 江 西 · 高 一 统 考 期 中 ） 若 数 列 { }的 前 项 和 = 3 ―1, 则 它 的 通 项 公 式
= ．
4．（2023 下·高二课时练习）设 为数列{ }的前 n 项和， = 2 ―10 ，求 1及 .
题型七 数列的单调性
1．（2021 上·福建漳州·高二福建省平和第一中学校考期中）已知数列{ }的通项公式为 = 2 1，按项的
变化趋势，该数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
2．（多选）（2022 上·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）下面四个数列中，既是无穷数列
又是递增数列的是（ ）．
A．1，12，
1 1
3，4，…，
1
，…
B． ―1， ― 12， ―
1 1 1
4， ― 8，…， ― 2 ―1，…
C．sinπ 2π 3π
7，sin 7 ，sin 7 ，…，sin
π
7 ，…
D．1， 2， 3，…， ，…
3．（2022·高二课时练习）已知下列数列：
①2，4，8，12；
②0，1,22 3，…，
1
，…；
③1，1,1 12 4，…，2 ―1，…；
―1
④1， ― 2,3 ( 1) 3 5，…， 2 1 ，…；
⑤1，0，－1，…，sin 2 ，…；
⑥6，6，6，6，6，6.
其中，(1)递增数列是 ；
(2)递减数列是 .(填序号)
4．（2022下·四川·高一四川省科学城第一中学校考阶段练习）已知数列{ }的通项公式为 = + ( , ∈ )，
且 1 = ―
1
2， 2 = ―
3
4．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求该数列的最大项．
题型八 数列单调性求参数
1．（2023 下·福建福州·高二福州三中校考期中）已知数列{ }满足 = 3 + ，若{ }为递增数列，则 k
的取值范围是（ ）
A．( ― 2, + ∞) B．( ― 6, + ∞) C．( ― ∞, ― 2) D．( ― ∞,2)
2．（2022·河南·高三校联考阶段练习）已知数列{ }的前 项和 2 = ― +2 + ，且对任意 ∈ N*, +1 ―
< 0，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―2, + ∞) B．( ―∞, ― 2)
C．(2, + ∞) D．( ―∞,2)
3．（2022·高二课时练习）已知数列{ }的通项公式为
(3 ― ) ― 3, ≤ 7
= ―6, > 7 ，若{ }是严格增数列，则
实数 a 的取值范围是（ ）．
A．(3,6) B．(1,2) C．(1,3) D．(2,3)
4．（2023 下·广西桂林·高二统考期末）数列{ }的通项公式为 = 2 + ，那么“ ≥ ―1”是“{ }为递
增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2023 上·河南·高二校联考阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内
会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为 1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减
少13，此时昆虫的长度记为 2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的
1
3，此时昆虫的
长度记为 3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若 4 = 12，则 1 = （ ）
A．18 B．27 C．81 2432 4 D． 16
1
2．（多选）（2023 上·贵州黔东南·高二统考期末）在数列{ }中， 1 = 2， = 1 ― ≥ 2, ∈ N ，则 ―1
下列选项正确的有（ ）
A． 2019 = 2 B． 2020 = 2
C． 2021 =
1
2 D． 2022 = 1
3．（2020 上·山东济宁·高三统考期中）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆
环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用 表示解下 ( ≤ 9, ∈ *)个圆
环所需要少移动的次数，数列{ } 满足 1 = 1，且 =
2 ― 1, 为奇数，
+1 2 + 2, 则解下 5 个环所需要最少移动 为偶数，
的次数为（ ）
A．7 B．10 C．16 D．315.1 数列基础
分层练习
题型一 数列的概念与辨析
1． （2023 下·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1,2,3, , }）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列 1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】A
【分析】利用数列的定义判断 A；举例说明判断 BC；写出数列通项公式判断 D 作答.
【详解】对于 A，由数列定义知，A 正确；
对于 B，数列1,2,3,4,5只有 5 项，该数列项数有限，B 错误；
对于 C，数列 ―1,1, ― 1,1, ― 1,1, 的通项公式可以为 = ( ― 1) ，
也可以为 = ―1, = 2 ― 1 1, = 2 , ∈ N
，该数列通项公式不唯一，C 错误；
1 , = 2 ― 1
对于 D，该数列的通项公式可以为 = 2 3 , ∈, = 2 N
，D 错误.
2
故选：A
2．（2022·高二课时练习）现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列 1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.
【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；
对于②，由无穷数列的意义知，数列 1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；
对于③，不是每个数列都有通项，如 2按精确度为0.1,0.01,0.001,0.0001, 得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；
对于④，前 4 项为 1，1，1，1 的数列通项公式可以为 = 1, ∈ N， = cos2 π, ∈ N 等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；
对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，
所以说法正确的个数是 1.
故选：B
3．（2023 下·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，1，12 3，
1
4，… B． ―1， ―2， ―3， ―4
C． ―1， ― 1 1 12， ― 4， ― 8，… D．1， 2， 3，…，
【答案】C
【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断．
【详解】A，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有 C 符合题意．
故选：C．
4．（多选）（2023 下·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．数列可以用图象来表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等
D．数列可以用一群孤立的点表示
【答案】ABD
【分析】根据数列相关的概念逐项分析即可.
【详解】对于 A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数，故可以用图象来表示，
A 正确；
对于 B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一，
例如：数列 ―1,1, ― 1,1, ― 1,1, 的通项公式可以为 = ( ― 1) ，
也可以为 = ―1, = 2 ― 1 1, = 2 , ∈ N ，B 正确；
对于 C，数列中的项可以相等，如常数列，C 不正确；
对于 D，由数列是特殊的函数且 ∈ 知，数列可以用一群孤立的点表示，D 正确.
故选：ABD
题型二 求数列中的某项
1．（2023 上·河南焦作·高二石家庄市第九中学校考期末）观察下面数列的特点，1,1,2,3，___，8,13,21, 用
适当的数填空（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】应用观察法，得从第 3 项开始每一项等于它前 2 项的和.
【详解】观察可知，数列的前 2 项都是 1，从第 3 项开始每一项等于它前 2 项的和，
所以空的一项为 5，
故选：C．
2．（2023 下·山东·高二校联考阶段练习）数列1,4,9,163 5 7 , 的第 8 项是（ ）
A．64 B．32 C．64 D．3215 13 13 15
【答案】A
【分析】观察，将 1 看为11，找到分子分母各自的规律即可.
【详解】观察1,4,9,163 5 7 , 可看为
1 4
1,3,
9,165 7 ,
分母是2 ― 1，分子为 2，故第 8 项为6415，
故选：A.
3．（2023 下·陕西安康·高二校联考期末）观察下列数的规律：1，1，2，3，5，8……，则第 9 个数是
（ ）
A．21 B．22 C．33 D．34
【答案】D
【分析】根据题意，得到数列的计算规律，结合规律，即可求解.
【详解】由数列 1，1，2，3，5，8……，则数列满足 + +1 = +2，
所以数列满足 1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，
所以数列的第 9 个数为 34.
故选：D.
4.（2022 上·黑龙江牡丹江·高二校考期末）某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，
，这样一个细胞分裂 次以后，得到的细胞数是128个．
【答案】7
【分析】根据已知得出通式，即可列式得出答案.
【详解】根据已知经过 次分裂后，得到的细胞数是2 个，其中 ∈ N ，
令2 = 128，解得 = 7，
故答案为：7.
题型三 由通项公式确定某项
1．（2023 下·高二课时练习）已知数列{ }的通项公式是 = 2 ― 1，则 8 = .
【答案】15
【分析】根据通项公式求得 8.
【详解】由于 = 2 ― 1，所以 8 = 2 × 8 ― 1 = 15.
故答案为：15
2． （2023 下·广西桂林·高二校考期中）已知数列{ }的通项公式为 = ( ―1) ， ∈ +，则它的第8项
是 .
【答案】1
【分析】将 = 8代入通项公式即可.
【详解】 ∵ = ( ―1) ， ∴ 8 = ( ―1)8 = 1.
故答案为：1.
2
3. （2021 下·高二课时练习）在数列 1 中，第7项是 ．
【答案】487
【分析】直接代入 的值即可求解.
2 2
【详解】令 = 7，则 1 = 7 1 7 =
48
7 .
故答案为：487
4．（2023·全国·高二随堂练习）根据下面数列的通项公式，分别说出各数列的前 5 项．
(1) = 2 ― 1
(2) = 3 ( 1)
．
【答案】(1) 1 = 1， 2 = 3， 3 = 5， 4 = 7， 5 = 9
(2) 1 = 2，
2 2
2 = 2， 3 = 3， 4 = 1， 5 = 5
【分析】根据通项公式写出数列的前5项即可.
【详解】（1）因为 = 2 ― 1，所以 1 = 2 × 1 ― 1 = 1， 2 = 2 × 2 ― 1 = 3，
3 = 2 × 3 ― 1 = 5， 4 = 2 × 4 ― 1 = 7， 5 = 2 × 5 ― 1 = 9.
（2）因为 3 ( 1) = ，
所以 = 3 ( 1)
1 2 3 4 5
1 1 = 2，
3 ( 1)
2 = 2 = 2， =
3 ( 1) = 2， = 3 ( 1)3 3 3 4 4 = 1， =
3 ( 1)
5 5 =
2
5.
题型四 数列的通项公式
1．（2023 下·高二课时练习）数列3,4,5,6，…的一个通项公式为（ ）
A． = B． = + 1
C． = + 2 D． = 2
【答案】C
【分析】根据规律确定正确答案.
【详解】依题意， 1 = 3，
A 选项 1 = 1，错误；B 选项 1 = 2错误；D 选项 1 = 2错误，
C 选项， 1 = 3，且后面的项也满足 = + 2，所以 C 选项正确.
故选：C
2．（2023 上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列 1， ― 12，
1
3， ―
1
4，…的一个通项公式为 = （ ）
A．( 1)
B．( 1)
+1 ( 1) +1 ( 1)
C． 1 D． 1
【答案】B
【分析】根据给定数列的前 4 项，利用观察法求出通项即得.
【详解】数列前 4 项的绝对值依次为 1，1，12 3，
1
4，由此得数列第 n 项的绝对值为
1
，
而数列的奇数项为正，偶数项为负，可用( ― 1) +1表示数列的第 n 项的符号，
+1
因此 ( 1) = .
故选：B
3．（2023·全国·高二课堂例题）根据下列数列的前 4 项，写出数列的一个通项公式：
(1)1， ― 1，12 3， ―
1
4，…；
(2)2，0，2，0，…．
( 1) +1【答案】(1) =
(2) = ( ― 1) +1 +1
【分析】（1）（2）根据数列的情况，归纳即可.
【详解】（1）这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，
+1
并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 ( 1) = ．
（2）这个数列前 4 项的奇数项是 2，偶数项是 0，
所以它的一个通项公式为 +1 = ( ― 1) +1．
4．（2021·高二课时练习）写出下面各数列的一个通项公式：
（1）9，99，999，9 999，…；
（2）1，2，9，8，252 2 2 ，…；
2
【答案】（1） = 10 ―1；（2） =
2 .
【分析】（1）各项加 1 后，求得新数列的通项公式为10 ，即可求得原数列的通项公式；
（2）将各项统一成分数再观察：1,4,9 162 2 2, 2 ,
25
2 , ，进而求得数列的通项公式.
【详解】（1）各项加 1 后，变为 10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10 ，
可得原数列的一个通项公式为 = 10 ―1.
（2）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：1,42 2,
9
2,
16,252 2 , ，
2
所以它的一个通项公式为 = 2 .
题型五 由递推公式写出某项
1
1．（2023 上·山东烟台·高二校考期末）已知数列{ }满足 +1 = 1 ， = ―1，则 = （ ） 1 2024
A． ―1 B．12 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据数列的递推公式和首项依次求出若干项，即可发现项的周期性，从而得解.
1 1 1 1
【详解】由 +1 = 1 ，因 1 = ―1，则 2 = =
1
1 ( 1) 2， 3 = 1 1 = 2， =
1 = ―1， = = 14 1 2 5 1 ( 1) 2， 6 = 2
1
1 1 = 2， ，
2
由此不难发现，数列{ }的项具有周期性，且最小正周期为 3，故 2024 = 3×674+2 = 2 =
1
2.
故选：B.
1
2．（2023 上·江苏南通·高二统考阶段练习）设数列{ }满足 =
+1 1 ，且
1
1
= 2，则 2023 = （ ）
A．-2 B． ― 1 C．13 2 D．3
【答案】A
【分析】判断出数列{ }的周期为 4，即可求解.
1
【详解】因为 1 +1 = 1 ， 1 = 2，
1 1 1 2 1 3 1 1 所以 = 4 12 1 = 3， 1 3 = 1 = ―2， 4 = 1 = ―2 3 3， 5 = 1 =4 2，
显然数列{ }的周期为 4，而2023 = 4 × 505 + 3，因此 2023 = 3 = ―2.
故选：A.
2
3．（2023 上·全国·高二假期作业）已知数列{ }的首项 1 = 1，且 +1 = +1，则这个数列的第 4 项是
（ ）
A．117 B．
11
5 C．
21
11 D．6
【答案】B
= 2 +1 = 1 = 2 2 5 2 11【详解】由 +1 ， 1 得， 2 +1 = 3， 3 = +1 = 3， 4 = +1 = 5 ．故选 B 1 2 3
4．（2023 上·新疆·高二校考阶段练习）根据下列条件，写出数列{ }的前 5 项： 1 = 1， = ―1 + 2 ―1
（ ≥ 2）.
【答案】1,3,7,15,31
【分析】根据递推公式逐项求解即可.
【详解】因为 = 1， = + 2 ―11 ―1 ，
所以， 2 = 1 + 21 = 1 + 2 = 3，
3 = 22 + 2 = 3 + 4 = 7，
4 = 3 + 23 = 7 + 8 = 15，
5 = 4 + 24 = 15 + 16 = 31，
所以，数列{ }的前 5 项为：1,3,7,15,31.
题型六 Sn与 an的关系求通项公式
1．（2023 上·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知数列{ }的前 项
和为 = 2 ― + 1，则 3 = .
【答案】4
【分析】根据 =
1, = 1
― 进行求解. ―1, ≥ 2
【详解】 3 = 3 ― 2 = 9 ― 3 + 1 ― (4 ― 2 + 1) = 4.
故答案为：4
2．（2022 下·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知数列{ 2 }的前 项和为 = 3 + ，则
数列{ }的通项公式 = .
【答案】6 ― 2
【分析】利用 , 的关系可求通项公式.
【详解】当 = 1时， 1 = 1 = 4；
当 ≥ 2时， = ― 2 2 ―1 = 3 + ― 3( ― 1) ― ( ― 1) = 6 ― 2；
显然 = 1时也符合上式，所以 = 6 ― 2.
故答案为：6 ― 2
3 ．（ 2021 下 · 江 西 · 高 一 统 考 期 中 ） 若 数 列 { }的 前 项 和 = 3 ―1, 则 它 的 通 项 公 式
= ．
【答案】2 × 3 ―1
【分析】先求出首项,再根据 = ― ―1,求出通项公式,检验首项是否符合,写出通项公式即可.
【详解】解:由题知 = 3 ―1,( ∈ N ),
当 = 1时, 1 = 1 = 2,
当 ≥ 2时, = ― = 3 ―1 ―1 ― (3 ―1 ― 1) = 2 × 3 ―1,
将 = 1代入,满足 1 = 2,
所以 ―1 = 2 × 3 .
故答案为:2 × 3 ―1
4．（2023 下·高二课时练习）设 为数列{ }的前 n 项和， = 2 ―10 ，求 1及 .
【答案】 1 = ―9， = 2 ― 11
【分析】利用 1, = 1 = ― , ≥ 2 求出答案. ―1
【详解】因为 = 2 ―10 ，所以当 = 1时， 21 = 1 = 1 ―10 = ―9，
当 ≥ 2时， 2 = ― ―1 = ―10 ― ( ― 1)2 ― 10( ― 1) = 2 ― 11.
经验证当 = 1时， = 2 ― 11成立，
所以 = 2 ― 11.
题型七 数列的单调性
1．（2021 上·福建漳州·高二福建省平和第一中学校考期中）已知数列{ }的通项公式为 = 2 1，按项的
变化趋势，该数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
【答案】B
【分析】分析 的单调性，即可判断和选择.
1
【详解】因为 = 1 12 1 = 2 ，显然随着 的增大，2 ― 是递增的，故 是递减的，
则数列 是递减数列.
故选：B.
2．（多选）（2022 上·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）下面四个数列中，既是无穷数列
又是递增数列的是（ ）．
A．1，12，
1，1，…，13 4 ，…
B． ―1， ― 1， ― 1， ― 12 4 8，…， ―
1
2 ―1，…
C．sinπ7，sin
2π 3π π
7 ，sin 7 ，…，sin 7 ，…
D．1， 2， 3，…， ，…
【答案】BD
【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解.
【详解】对于 A，1，12，
1，1，…，13 4 ，…为递减数列，故 A 错误；
对于 B， ―1， ― 1 1 1 12， ― 4， ― 8，…， ― 2 ―1，…为递增数列，且是无穷数列，故 B 正确；
对于 C，sinπ7，sin
2π
7 ，sin
3π
7 ，…，sin
π
7 ，…中sin
6π
7 > sin
8π
7 ，故不是递增数列，故 C 错误；
对于 D，1， 2， 3，…， ，…既是无穷数列又是递增数列的，故 D 正确.
故选：BD.
3．（2022·高二课时练习）已知下列数列：
①2，4，8，12；
②0，1,22 3，…，
1
，…；
③1，12,
1
4，…，
1
2 ―1，…；
2 3 ( 1) ―1④1， ― , 3 5，…， 2 1 ，…；
⑤1，0，－1，…，sin 2 ，…；
⑥6，6，6，6，6，6.
其中，(1)递增数列是 ；
(2)递减数列是 .(填序号)
【答案】 ①② ③
【分析】根据数列单调性的定义或反例可判断增数列、减数列.
【详解】对于①，因为2 < 4 < 8 < 12，故①为增数列，
对于②，数列的通项为 =
1
，故 = 1 ―
1
，
1 1 1故 ― ―1 = 1 ― = ( 1) > 0，故{ }为增数列，故②为增数列，
对于③，数列的通项为 =
1
2 ―1，
故 ―
1
―1 = 2 ―1 ―
1 1
2 ―2 = ― 2 ―1 < 0，故{ }为减数列，故③为减数列，
对于④，因为1 > ― 2 2 33, ― 3 < 5，故此数列既不是增数列，也不是减数列.
对于⑤，该数列的第 4 项为sin4 2 = 0，
故该数列的前 4 项为：1,0, ― 1,0，而1 > 0 > ―1, ― 1 < 0，
故⑤中数列既不是增数列，也不是减数列，而⑥中数列为常数列，
故答案为：①②，③.
4．（2022下·四川·高一四川省科学城第一中学校考阶段练习）已知数列{ }的通项公式为 = + ( , ∈ )，
且 1 = ―
1
2， 2 = ―
3
4．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求该数列的最大项．
【答案】(1) = 1 ―12 ；
(2) 11 = ― 2.
【分析】(1)根据 1、 2即可求出 p 和 q，从而求出 ；
(2)根据指数函数单调性即可判断.
【详解】（1）将 1、 代入通项公式得 ―
1 = + ， ― 3 = 2 + ，解得 = 12 2 4 2， = ―1，
1 ∴ = ―12 ；
（2）∵ ( ) = 1 ―12 在 R 上单调递减，
1 ∴ = ―12 为递减数列，
∴数列的最大项为其第一项 1 = ―
1
2.
题型八 数列单调性求参数
1．（2023 下·福建福州·高二福州三中校考期中）已知数列{ }满足 = 3 + ，若{ }为递增数列，则 k
的取值范围是（ ）
A．( ― 2, + ∞) B．( ― 6, + ∞) C．( ― ∞, ― 2) D．( ― ∞,2)
【答案】B
【分析】利用 +1 ― > 0得到 > ―2 × 3 ，求出 = 1时， ―2 × 3 取得最大值，得到答案.
【详解】要想{ }为递增数列，则 +1 +1 ― = 3 + + ― 3 ― = 2 × 3 + > 0恒成立，
故 > ―2 × 3 ，
又 = 1时， ―2 × 3 取得最大值，最大值为 ―6，故 > ―6，
故选：B
2．（2022·河南·高三校联考阶段练习）已知数列{ }的前 项和 = ― 2 +2 + ，且对任意 ∈ N*, +1 ―
< 0，则实数 的取值范围是（ ）
A．( ―2, + ∞) B．( ―∞, ― 2)
C．(2, + ∞) D．( ―∞,2)
【答案】A
【分析】根据数列为递减数列，结合 与 的关系即可求解.
【详解】因为 +1 ― < 0，所以数列{ }为递减数列，当 ≥ 2时， = ― 2 ―1 = ― +2 + ―
― ( ― 1)2 + 2( ― 1) + = ―2 + 3，
故可知当 ≥ 2时，{ }单调递减，
故{ }为递减数列，只需满足 2 < 1，
因为 2 = ―1, 1 = 1 = 1 + ,
所以 ―1 < 1 + ,解得 > ―2，
.故选:A.
3．（2022·高二课时练习）已知数列{ }的通项公式为
(3 ― ) ― 3, ≤ 7
= ―6, > 7 ，若{ }是严格增数列，则
实数 a 的取值范围是（ ）．
A．(3,6) B．(1,2) C．(1,3) D．(2,3)
【答案】D
【分析】结合数列单调性列式求解.
3 ― > 0
【详解】由题意可得 > 1 ，解得2 < < 3
7(3 ― ) ― 3 < 2
故选：D.
4．（2023 下·广西桂林·高二统考期末）数列{ }的通项公式为 2 = + ，那么“ ≥ ―1”是“{ }为递
增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当 ≥ ―1时，可得 +1 ― > 0，知充分性成立；由数列单调性可知 +1 ― > 0，从而得到
> ― (2 + 1)，由此可得 > ―3，知必要性不成立，由此可得结论.
【详解】当 ≥ ―1时， +1 ― = ( + 1)2 + ( + 1) ― 2 ― = 2 + 1 + ≥ 2 > 0，
∴ 数列{ }为递增数列，充分性成立；
当数列{ }为递增数列时， 2 2 +1 ― = ( + 1) + ( + 1) ― ― = 2 + 1 + > 0，
∴ > ― (2 + 1)恒成立，又[ ― (2 + 1)]max = ― (2 × 1 + 1) = ―3，
∴ > ―3，必要性不成立；
∴ “ ≥ ―1”是“{ }为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
1．（2023 上·河南·高二校联考阶段练习）已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内
会伴随着蜕皮和生长的交替，该种昆虫最开始的身体长度记为 1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减
少13，此时昆虫的长度记为 2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的
1
3，此时昆虫的
长度记为 3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若 4 = 12，则 1 = （ ）
A．18 B．27 81 2432 C． 4 D． 16
【答案】C
【分析】根据题意确定 2, 3, 4之间的关系以及与 1的关系即可得所求.
【详解】由题意可知，
2 =
2
1 ― 1
3 1
= 3 1，
4 4 2 83 = 1 + 1 3 2 = 3 2 = 3 × 3 1 = 9 1，
= 1 = 2 = 2 × 8 = 164 1 ― 3 3 3 3 9 1 27 1 = 12，3
所以 27 811 = 12 × 16 = 4 .
故选：C.
1
2．（多选）（2023 上·贵州黔东南·高二统考期末）在数列{ }中， 1 = 2， = 1 ― ≥ 2, ∈ N
，则
―1
下列选项正确的有（ ）
A． 2019 = 2 B． 2020 = 2
C． 12021 = 2 D． 2022 = 1
【答案】BC
【分析】求出 2、 3、 4，易得该数列为周期数列，结合周期性计算即可得.
1 1
【详解】由 = 1 ― ，则 = 1 ― 1 2 2 =
1
2， 3 = 1 ― 1 = ―1，
1
―1 4
= 1 ―
2 1
= 2，
则数列{ }是以3为周期的数列，由2019 = 3 × 673，故 2019 = 3 = ―1，
2020 = 1 = 2， 2021 = 2 =
1
2， 2022 = 3 = ―1，故 B、C 正确，A、D 错误.
故选：BC.
3．（2020 上·山东济宁·高三统考期中）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆
环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用 表示解下 ( ≤ 9, ∈ *)个圆
环所需要少移动的次数，数列{ } 满足 2 ― 1, 为奇数， 1 = 1，且 +1 = 2 + 2, 则解下 5 个环所需要最少移动 为偶数，
的次数为（ ）
A．7 B．10 C．16 D．31
【答案】C
【分析】根据数列递推公式代入求解即可；
【详解】 1 = 1， =
2 ― 1, 为奇数，
+1 2 + 2, 为偶数，
5 = 2 4 +2 = 2(2 3 ― 1) +2 = 4(2 2 + 2) = 8(2 1 ― 1) +8 = 16 1 = 16，
故选：C.
