5.4数列的应用(分层练习,8大题型)(PDF含解析) 2023-2024学年高二数学同步讲义(人教B版2019选择性必修第三册)

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名称 5.4数列的应用(分层练习,8大题型)(PDF含解析) 2023-2024学年高二数学同步讲义(人教B版2019选择性必修第三册)
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资源类型 试卷
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-08-05 14:37:27

文档简介

5.4 数列的应用
分层练习
题型一 等差数列的实际应用
1.(2023 上·福建三明·高二校联考期中)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、
立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这些节气的日影长依次成等差数列,冬至、
立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )
A.4.5尺 B.3.5尺 C.2.5尺 D.1.5尺
【答案】B
【分析】利用等差数列的前 n 项和和等差中项,求得通项公式求解.
【详解】从冬至日起,依次构成等差数列,设为{ },
由题意得: 9 =
9( 1 9)
2 = 85.5,
解得 5 = 9.5,
又冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺: 1 + 4 + 7 = 3 4 = 31.5,
所以 4 = 10.5,
所以 = 5 ― 4 = ―1,
所以 11 = 5 +6 = 3.5,
故选:B
2.(2023 上·辽宁·高三校联考期末)我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它在世界
数学史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及
的是数的整除问题,其数学思想在近代数学,当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用,为世界数学
的发展做出了巨大贡献,现有这样一个整除问题:将 1 到 2022 这 2022 个数中能被 3 除余 2,且被 5 除余
3,且被 7 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{ },那么此数列的项数为( )
A.17 B.18 C.19 D.20
【答案】D
【分析】由 = 3 ― 1, = 5 ― 2, = 7 ― 6变形得到{ }的通项公式,从而得到不等式组,求出此
数列的项数.
【详解】由题意得:能被 3 除余 2 的数为 2,5,8,11……,
故 = 2 + 3( ― 1) = 3 ― 1, ∈ N ,
被 5 除余 3 的数为 3,8,13……,故 = 3 + 5( ― 1) = 5 ― 2, ∈ N ,
被 7 除余 1 的数为 1,8,15……,故 = 1 + 7( ― 1) = 7 ― 6, ∈ N ,
由 = 3 ― 1 = 3( ― 3) +8, = 5 ― 2 = 5( ― 2) +8, = 7 ― 6 = 7( ― 2) +8,
故 = 105( ― 1) +8 = 105 ― 97, ∈ N ,
令1 ≤ 105 ― 97 ≤ 2022,解得: 98105 ≤ ≤
2119 = 20 19105 105,
因为 ∈ N ,所以 = 1,2,3, ,20,故此数列的项数为 20.
故选:D
3.(2022 上·江苏淮安·高三校考阶段练习)天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十
天干即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,
天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以
此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,之后地支回到“子”重新
开始,即“丙子”,…,以此类推,2022 年是壬寅年,请问:在 100 年后的 2122 年为( )
A.壬午年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年
【答案】A
【分析】将天干和地支分别看作等差数列,结合100 ÷ 10 = 10,100 ÷ 12 = 8 4,分别求出 100 年后天干
为壬,地支为午,得到答案.
【详解】由题意得:天干可看作公差为 10 的等差数列,地支可看作公差为 12 的等差数列,
由于100 ÷ 10 = 10,余数为 0,故 100 年后天干为壬,
由于100 ÷ 12 = 8 4,余数为 4,故 100 年后地支为午,
综上:100 年后的 2122 年为壬午年.
故选:A
4.(2021 上·陕西汉中·高二校联考期中)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊
蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满,芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,若立春当日
日影长为10.5尺,立夏当日日影长为4.5尺,则春分当日日影长为( )
A.4.5尺 B.5 尺 C.5.5尺 D.7.5尺
【答案】D
【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{ },利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{ },则立春当日日影长为 4 = 10.5,立夏当日
日影长为 10 = 4.5,所以春分当日日影长为 7 =
1
2( 4 + 10) = 7.5.
故选:D
题型二 等比数列的实际应用
1.(2023 上·河南周口·高三校联考阶段练习)如图,正方形 1 1 1 1的边长为 1,记其面积为 1,取其四
边的中点 2, 2, 2, 2,作第二个正方形 2 2 2 2,记其面积为 2,然后再取正方形 2 2 2 2各边的
中点 3, 3, 3, 3,作第三个正方形 3 3 3 3,记其面积为 3,如果这个作图过程一直继续下去,记这
些正方形的面积之和 = 1 + 2 + 3 + + + ,则面积之和 将无限接近于( )
A.32 B.2 C.2 2 D.4
【答案】B
【分析】根据给定条件,构造等比数列,利用等比数列前 项和公式求和即可得解.
【详解】设正方形 的面积为
1
,则数列{ }是以 1 为首项,2为公比的等比数列,
1×(1 1 )
数列 1{ }的前 项和 2

= 1 = 2 ― 2 ―1 < 2,随着 的无限增大,
1
2 ―1无限接近于 0,1
2
所以所有这些正方形的面积之和将无限接近于 2.
故选:B
2.(2023 上·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中
有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,
问何日相逢?”描述的问题是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大 小鼠第一天都
进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则( )天后两鼠相遇.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】由题意得等比数列的前 项和列不等式,然后再由 2( ) = 2 ― 2 ―4,结合函数零点的判断得出答
案.
1 1

【详解】设 天后能打穿,则2 1 222 1 + 1 ≥ 5,化简为2 ―1 2 ―4 ≥ 0,
2
令 ( ) = 2 ―
2
2 ―4,则
1
(2) = ― 2 < 0, (3) = 8 ―
2
8 ―4 > 0,又由函数的单调性可知
2
( ) = 2 ― 2 ―4在
(2,3)内有唯一零点,
所以至少需要3天.
故选:C.
3.(2022 上·黑龙江鸡西·高三校考期末)有一个人进行徒步旅行,他 6 天共走了 378 里路,第一天健步行
走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半. 则此人第 4 天和第 7 天共走了 里.
【答案】27
【分析】根据题意知,此人每天走的里数构成公比为12的等比数列,按照等比数列前 项和公式及通项公式
求解即可.
【详解】由题意知,此人每天走的里数构成公比为12的等比数列,
设等比数列的首项为 1,
1(1
1 )
则有 66 = 21 1 = 378 1 = 192,
2
1 3 1 1 3 1
4 = 1 ( 2 ) = 192 × 8 = 24, 7 = 4 ( 2 ) = 24 × 8 = 3
所以有 4 + 7 = 27.
所以此人第 4、7 天共走了 27 里.
故答案为:27.
4. (2024·全国·高三专题练习)河南省某村在某荒山飞播种草(即用飞机酒种种草),由于生草过快且禁割
禁啃,致使第三年青草过旺,草根烂坏,山坡荒废,损失很大.村委会决定再次飞播时,需养殖一定数量
优质大白山羊,以控制青草过旺生长,他们面临以下调研结果:飞播种草第一年生草量100000kg,如果年
新生草量不超过 420 万kg,那么每年新生草将以200%的增长率递增(旧草自然枯竭、落种),若超过此量,
草地就有荒废的危险.每只大白山羊平均年食草量为500kg,若从飞播后第二年起养殖大白山羊量保持在
200 只,请你设计出一方案帮助村委会决策.
【答案】答案见解析
【分析】根据题意结合归纳法归纳出第 年新生草量为 = 10 × 3 ―1 ―10 × 3 ―2 ―10 × 3 ―3 ― ―10 × 3,
利用等比数列的运算,整理可得新生草量 与年份 的函数关系,从而可得年新生草量不超过 420 万kg时的
年份,即可得所求.
【详解】200 只大白山羊每年吃掉200 × 500 × 110000 = 10万 kg 新草.
第一年新生草量 10 万kg;
第二年新生草量10(1 + 200%)万kg,
第二年剩余草量[10(1 + 200%) ― 10]万kg;
第三年新生草量[10(1 + 200%) ― 10] × (1 + 200%) = 10 × 32 ―10 × 3,
第三年剩余草量10 × 32 ―10 × 3 ― 10;
第 年新生草量:
= 10 × 3 ―1 ― 10 × 3 ―2 ― 10 × 3 ―3 ― ―10 × 3
= 10 × 3 ―1 ― 10 × 3 ―2 ― ―10 × 3 ― 10 + 10
= 10 × 3 ―1 ― 10(3 ―2 + 3 ―3 + +3 + 1) + 10
= 10 × 3 ―1 ― 10(1 3
―1) +10 = 5 × 3 ―11 3 +15.
∴新生草量 与年份 的函数关系为
= 1, = 15 × 3 ―1 + 15, ≥ 2 且 ≤ 420,
当某一年的新生草量达到 420 万kg时,该年必须养殖适量的大白山羊,控制所留草种使下年的新生草量不
超 过 420 万 kg, 以 免 山 坡 荒 废 又 可 使 新 草 量 达 到 最 高 值 . 此 时 满 足 5 × 3 ―1 +15 = 420, 即 3 ―1
= 81, = 5.
∴第 5 年新生草量达到 420 万kg.
设该年大白山羊应吃掉新生草 万kg,则(420 ― )(1 + 200%) = 420,
解得 = 28.
此时大白山羊数280 ÷ 50010000 = 5600(只).
因而,年新生草量 与年份 的函数关系为 = 1, = 15 × 3 ―1 + 15, ≥ 2 且 ≤ 420,
第 5 年应养殖大白山羊的总数增加到最大数量为 5600 只,因而建成村委会应加快大白山羊的繁殖,当然也
可考虑从外地引进.
题型三 单利问题
1.(2023·全国·高二随堂练习)小蕾 2018 年 1 月 31 日存入银行若干万元,年利率为 1.75%,到 2019 年
1 月 31 日取款时,银行按国家规定给付利息 469 元,则小蕾存入银行的本金介于( )元之间,并说明
理由.
A.1 万~2 万 B.2 万~3 万 C.3 万~4 万 D.4 万~5 万
【答案】B
【分析】设存入本金 元,再列出方程求解即可.
【详解】设小蕾存入银行的本金 元,依题意,1.75% = 469,解得 = 26800(元),
所以小蕾存入银行的本金介于 2 万~3 万元之间.
故选:B
2.(2021 上·河南新乡·高二期中)2021年9月10日,小王开始读小学一年级,小王父母决定给他开一张银
行卡,每月的16号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账),用于小王今后的教育开支.2021年9月16日小
王父母往卡上存入500元,以后每月存的钱数比上个月多100元,则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行
利息)首次达到100000元的时间为( )
A.2024年11月16日 B.2024年12月16日
C.2025年1月16日 D.2025年2月16日
【答案】C
【分析】由题意分析每月所存钱数依次成首项为500,公差为100的等差数列,求出其前 项和列不等式即可
解得.
【详解】由题可知,小王父母从2021年9月开始,每月所存钱数依次成首项为500,公差为100的等差数列,
其 前 项 和 为 500 + 100 ( 1)2 = 50
2 +450 . 令 50 2 +450 ≥ 100000, 即 2 +9 ≥ 2000. 因 为 402
+9 × 40 < 2000,412 +9 × 41 > 2000,所以第41个月的16号存完钱后,他这张银行卡账上存钱总额首次
达到100000元,即2025年1月16日他这张银行卡账上存钱总额首次达到100000元.
故选:C
3.(2022·全国·高三专题练习)某银行在某段时间内,规定存款按单利计算,且整存整取的年利率如下:
存期 1 年 2 年 3 年 5 年
年利率(%) 2.25 2.4 2.73 2.88
某人在该段时间存入 10 000 元,存期两年,利息税为所得利息的 5%.则到期的本利和为( )元.
A.10373 B.10396 C.10422 D.10456
【答案】D
【分析】先求出存期两年的利息与本金和,再求得利息税,作差即可.
【详解】由题意存期两年的利息与本金为 10 000×(1+2×2.4%),利息税为 10 000×2×2.4%×5%,
所以到期的本利和为 10 000×(1+2×2.4%)-10 000×2×2.4%×5%=10 456.
故选: .
4. (2021 上·吉林·高三阶段练习)2015 年 7 月 31 日,国际奥委会正式确定 2022 年冬奥会的举办权为北
京——张家口.小明为了去现场观看 2022 年的冬奥会,他打算自 2016 年起,每年的 1 月 1 日都到某银行
存入1000元的一年期定期存款,若该银行的年利率为2.5%,且年利率保持不变,并约定每年到期存款本息
均自动转为新一年的定期.那么到 2022 年 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则小明一
共约可取回 元.
(参考数据:1.0255 ≈ 1.131,1.0256 ≈ 1.160,1.0257 ≈ 1.189)
【答案】6560
【分析】根据等比数列的求和公式计算可求得答案.
【详解】解:由题意可知,可取出钱的总数为:
1000 × (1+ 1.025)7+ 1000 × (1+ 1.025)6+ 1000 × (1+ 1.025)5+ 1000 × (1+ 1.025)4+ 1000
× (1+ 1.025)3+ 1000 × (1+ 1.025)2+ 1000 × (1+ 1.025)
= 1000 × (1 1.025) 1 (1 1.025)
7 1000
1 (1 1.025) = 0.025 × (1+ 1.025)
7 ― (1+ 1.025) = 6560,
故答案为:6560.
题型四 复利问题
1.(2023 下·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中)某人从 2023 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 2 万
元(一年定期),若年利率为 2%保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2033 年 1 月 1
日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的线数约为( )(单位:万元)
参考数据:1.029 ≈ 1.195 1.0210 ≈ 1.219 1.0211 ≈ 1.243
A.2.438 B.19.9 C.22.3 D.24.3
【答案】C
【分析】复利计息问题,逐年分析寻找规律,根据等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意,2023 年存的 2 万元共存了 10 年,本息和为2(1 + 0.02)10万元,
2024 年存的 2 万元共存了 9 年,本息和为2(1 + 0.02)9万元,

2032 年存的 2 万元共存了 1 年,本息和为2(1 + 0.02)万元,
所以到 2033 年 1 月 1 日将之前所有存款及利息全部取回,
10
他 可 取 回 的 钱 数 约 为 2(1 + 0.02)10 +2(1 + 0.02)9 + + 2(1 + 0.02) = 2 × 1.02 (1.02 1) ≈
2.04×(1.219 1)
1.02 1 0.02
≈ 22.3万元,
故选:C.
2.(2023 下·江苏镇江·高二统考期中)某公司第 1 年年初向银行贷款 1000 万元投资项目,贷款按复利计
算,年利率为 10%,约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润 300 万元,利润随即存入银行,
存款利息按复利计算,年利率也为 10%,则到第 年年初该项目总收益为 万元,到第 年的年初,
可以一次性还清贷款.
【答案】 3000 × (1.1 ―1 ― 1) 6
【分析】根据题意列出第 年年初时借贷总额和总收益,即可求解.
【详解】由题知,到第 年年初,
借贷总额为1000 1 + 10 0

0 = 1000 × 1.1

总收益为300 + 300 × 1.1 + + 300 × 1.1 ―2 = 3000 × (1.1 ―1 ― 1),
当 = 5时,1000 × 1.1 = 1610.51 > 300 + 300 × 1.1 + 300 × 1.1 ―1 = 1392.3,
当 = 6时,1000 × 1.1 = 1771.561 < 300 + 300 × 1.1 + 300 × 1.1 ―1 = 1831.53,
故第 年年初该项目总收益为3000 × (1.1 ―1 ― 1),
到第6年的年初,可以一次性还清贷款.
故答案为:3000 × (1.1 ―1 ― 1);6
3.(2023 上·江苏淮安·高二统考期末)小张计划连续十年向某公司投放资金,第一年年初投资 10 万元,以
后每年投资金额比前一年增加 2 万元,该公司承诺按复利计算,且年利率为 10%,第十年年底小张一次性
将本金和利息取回,则小张共可以取得 万元.(结果用数字作答).
参考数据:1.19 = 2.36,1.110 = 2.59,1.111 = 2.85.
【答案】305
【分析】根据给定信息,构建数列,再利用错位相减法求和作答.
【详解】依题意,小张每年向公司投资金额构成以 10 为首项,2 为公差的等差数列{ }, ∈ N , ≤ 10,
= 10 + 2( ― 1) = 2 +8,因此每年的投资到第十年年底的本金和利息和为 = × 1.111― = (2
+8) × 1.111― ,
10 次投资到第十年年底本金和利息总和为 ,
则 = 28 × 1.1 + 26 × 1.12 +24 × 1.13 + + 12 × 1.19 +10 × 1.110,
于是得1.1 = 28 × 1.12 +26 × 1.13 +24 × 1.14 + + 12 × 1.110 +10 × 1.111,
两式相减得 ―0.1 = 28 × 1.1 ― 2(1.12 + 1.13 + + 1.19 + 1.110) ― 10 × 1.111
2 9
= 30.8 ― 2 × 1.1 (1 1.1 ) 11 111 1.1 ―10 × 1.1 = 55 ― 30 × 1.1 ,
则有 = 300 × 1.111 ―550 ≈ 300 × 2.85 ― 550 = 305,
所以小张共可以取得 305 万元.
故答案为:305
4. (2023·全国·高二随堂练习)小王想用分期付款的方式购买一套价值 90 万元的商品房.首付 40 万元,贷
款期限为 20 年,银行住房贷款的年利率为4.9%,按复利计息,如果小王按年还款,每年还款的数额相同,
那么每年需要还款多少元?小王为购买此房共要付房款多少元?(精确到 0.01 元)
【答案】每年需要还款39781.81元,小王为购买此房要付款1701606.68元
【分析】利用复利的定义,结合等比数列的前 项和公式列式即可得解.
【详解】依题意,得90 ― 40 = 50(万元),50万元 = 500000元,40万元 = 400000元
而500000 × (1 + 0.049)20 = 1301606.678元,
所以小王为购买此房要付款400000 + 1301606.678 = 1701606.678 ≈ 1701606.68元,
假设小王每年需要还款 元,则小王 20 年后一共还款
20
(1 + 0.049)19 + (1 + 0.049)18 + (1 + 0.049) + = 1 (1 0.049)1 (1 0.049) ,
所以 1 (1 0.049)
20 20
1 (1 0.049) = 500000 × (1 + 0.049) ,解得 = 39781.808 ≈ 39781.81,
所以小王每年需要还款39781.81元.
题型五 分期付款问题
1.(2021 下·北京·高二北京交通大学附属中学校考期末)某单位用分期付款方式为职工购买 40 套住房,总
房价 1150 万元.约定:2021 年 7 月 1 日先付款 150 万元,以后每月 1 日都交付 50 万元,并加付此前欠款
利息,月利率1%,当付清全部房款时,各次付款的总和为( )
A.1205 万元 B.1255 万元 C.1305 万元 D.1360 万元
【答案】B
【分析】判断出每次还款利息构成等差数列,由等差数列求和公式求得利息和,再加上本金即可求解.
【详解】由题意知,还的次数为(1150 ― 150) ÷ 50 = 20次,每次付款本金均为 50 万元,利息依次为
1000 × 1%,950 × 1%, ,50 × 1%构成了一个等差数列,
则所还欠款利息总额为 1000 50(1000 + 950 + + 50) × 1% = 2 × 20 × 1% = 105万元,故各次付款的总和为
1150 + 105 = 1255万元.
故选:B.
2.(多选) (2023 下·广西钦州·高二校考阶段练习)刚考入大学的小明准备向银行贷款 0元购买一台笔记本
电脑,然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定:每个月还一次款,分12次还清所有的欠
款,且每个月还款的钱数都相等,贷款的月利率为 ,设小明每个月所要还款的钱数为 元,则下列说法正
确的是( )
A.小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B.小明选择的还款方式为“等额本息还款法
12
C.小明第一个月还款的现值为 元 D. = 0 (1 )1 (1 )12 1
【答案】BCD
【分析】AB 根据还款特点,得到还款方式;C 选项,设出第一个月还款的现值为 ,列出方程,求出答案;
D 选项,表达出第 12 个月末所欠银行贷款数,因为分12次还清所有的欠款,故得到方程,求出答案.
【详解】AB 选项,由于每个月还款的钱数都相等,故小明选择的还款方式为“等额本息还款法,A 错误,
B 正确;

C 选项,设小明第一个月还款的现值为 ,则 (1 + ) = ,解得 = 1 ,故 C 正确;
D 选项,根据等额本息还款法可得,第一个月末所欠银行贷款为 1 = 0(1 + ) ― ,
第二个月末所欠银行贷款为 2 = 1(1 + ) ― = 0(1 + )2 ― (1 + ) ― ,
第三个月末所欠银行贷款为 3 = 2(1 + ) ― = 0(1 + )3 ― (1 + )2 ― (1 + ) ― ,
……
第 12 个月末所欠银行贷款为 1212 = 0(1 + ) ― (1 + )11 ― (1 + )10 ― ― (1 + ) ―
= (1 + )120 ― (1 + )11 + (1 + )10 + + (1 + ) + 1
= (1 + )12 1 (1 )
12
― = (1 + )12 + 1 (1 )
12
0 1 (1 ) 0 ,
12
由于分12次还清所有的欠款,故 12 1 (1 )0(1 + ) + = 0,
12
解得 = 0 (1 )(1 )12 1,D 正确.
故选:BCD
3.(2022 下·辽宁·高二沈阳市第一二〇中学校联考期中)小李向银行贷款 14760 元,并与银行约定:每年
还一次款,分 4 次还清所有的欠款,且每年还款的钱数都相等,贷款的年利率为 0.25,则小李每年所要还
款的钱数是 元.
【答案】6250
【分析】根据等额本息还款法,列出方程,利用等比数列 前项和即可求解.
【详解】设每年还款的金额为 ,由题意可知: 1 + (1 + 0.25)1 + (1 + 0.25)2 + (1 + 0.25)3 = 14760 ×
(1 + 0.25)4,所以 1 1.25
4
= 14760 × 1.254 = 14760×1.25
4×0.25
1 1.25 1.254 1 = 6250
故答案为:6250
4. (2023·全国·高二随堂练习)小杨2017年向银行贷款20万元用于购房,银行住房贷款的年利率为4.9%,
并按复利计息若双方协议自2018年元月起生效,每年年底还银行相同金额的贷款,到2027年年底全部还清
(即用10年时间等额还款).则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元?(精确到1元)
【答案】25775元
【分析】以每年年底还款后的本利欠款数构造数列,令 10 = 0求解即可.
【详解】设小杨每年年底还银行贷款的金额为 元,第 年年底还款后的本利欠款数为 ,
则 1 = 200000 × (1 + 4.9%) ― = 200000 × 1.049 ― ,
2 = 1 × (1 + 4.9%) ―
= (200000 × 1.049 ― ) × 1.049 ―
= 200000 × 1.0492 ―1.049 ― ,
3 = 2 × (1 + 4.9%) ―
= (200000 × 1.0492 ― 1.049 ― ) × 1.049 ―
= 200000 × 1.0493 ― 1.0492 ― 1.049 ― ,
4 = 3 × (1 + 4.9%) ―
= (200000 × 1.0493 ― 1.0492 ― 1.049 ― ) × 1.049 ―
= 200000 × 1.0494 ― 1.0493 ― 1.0492 ― 1.049 ― ,
……
10 = 200000 × 1.04910 ― 1.0499 ― 1.0498 ― ― 1.049 ―
= 200000 × 1.04910 ― (1 + 1.049 + + 1.0498 + 1.0499)
10 1×(1 1.04910 = 200000 × 1.049 ― )1 1.049
= 200000 × 1.04910 ― 1.049
10 1
0.049
∵10年后,到2027年年底全部还清,∴ 10 = 0,
10
∴200000 × 1.04910 ― 1.049 10.049 = 0,
∴ = 200000×1.049
10×0.049
1.04910 1 ≈ 25775(元)
∴小杨每年年底还银行贷款的金额为25775元.
题型六 产值增长问题
1.(多选)(2023 下·河北秦皇岛·高二统考期末)我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、
VAR 模型、队列要素法等多种方法,直接推算法使用的公式是 = 0(1 + ) ( > ―1),其中 为预测期
人口数, 0为初期人口数, 为预测期内人口增长率, 为预测期间隔年数,则下列说法正确的有( )
A.若在某一时期内 ―1 < < 0,则这期间人口数呈下降趋势
B.若在某一时期内 > 0,则这期间人口数呈上升趋势
C.若在某一时期内0 < < 1,则这期间人口数摆动变化
D.若在某一时期内 = 0,则这期间人口数不变
【答案】ABD
【分析】利用数列的单调性逐项判断,可得出合适的选项.
【详解】由 = 0(1 + ) ( > ―1),得当 ―1 < < 0时,0 < 1 + < 1,
因为 0 > 0,所以,对任意的 ∈ , > 0,

所以, +1 = 0(1 )
+1
0(1 )
= 1 + < 1,则 +1 < ,
此时,在某一时期内 ―1 < < 0,则这期间人口数呈下降趋势,A 对;
对于 B 选项,当 > 0时,1 + > 1,
因为 0 > 0,所以,对任意的 ∈ , > 0,
+1 (1 ) +1所以, = 0 (1 ) = 1 + > 1,则 +1 > 0 ,
故在某一时期内 > 0,则这期间人口数呈上升趋势,B 对;
对于 C 选项,由 B 选项可知,在某一时期内0 < < 1,则这期间人口数呈上升趋势,C 错;
对于 D 选项,当 = 0时, = 0,
故在某一时期内 = 0,则这期间人口数不变,D 对.
故选:ABD.
2.(2023 下·高二课时练习)某厂去年的产值记为1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从
今年起到第五年这五年内,这个厂的总值约为 .(保留一位小数,取1.15 ≈ 1.6)
【答案】6.6
+1
【分析】设第 年的产值为 ,则 = 1.1,且 1 = 1.1,利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】由题意可知,第一年要比上年增长10%,

设第 +1年的产值为 ,则 = 1.1,且 1 = 1.1,
所以,数列{ }是首项为1.1,公比为1.1的等比数列,
所以,从今年起到第五年这五年内,这个厂的总值为1.1×(1 1.1
5) ≈ 1.1×(1 1.6)1 1.1 1 1.1 = 6.6.
故答案为:6.6.
3.(2023·全国·高三专题练习)某企业 2021 年年初有资金 500 万元,资金年平均增长率可达到 20%.每年
年底扣除下一年必需的消费资金后,剩余资金全部投入再生产,为了实现 5 年后投入再生产的资金达到 800
万元的目标,每年应扣除的消费资金至多为 万元.(结果取整数,参考数据:1.24≈2.07,
1.25≈2.49)
【答案】59
【分析】利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】设每年应扣除的消费资金为 x 万元,设 年后投入的再生产资金为 ,
则 1 年后投入再生产的资金 1为:500 × 1 + 20% ― ,
2
2 年后投入再生产的资金 2 = 1 × 1 + 20% ― = 500 × 1 + 20% ― 1 + 20% ― ,…
5 年后投入再生产的资金
5 4 3 2
5 = 500 × 1 + 20% ― 1 + 20% ― 1 + 20% ― 1 + 20% ― 1 + 20% ― ,
∵ 5 ≥ 800
∴1.2
5 1 5
1.2 1 ≤ 1.2 × 500 ― 800 ≤ 59.7,取整数为 59.
故答案为:59
4. (2022 上·高二单元测试)某工厂 2022 年 1 月的生产总值为 万元,计划从 2022 年 2 月起,每月生产
总值比上一个月增长 %,则到 2023 年 8 月底该厂的生产总值为 万元.
【答案】 (1 + %)19
【分析】利用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】由已知可得 2022 年 1 月到 2023 年 8 月底每月的生产总值是以 为首项,
公比为1 + %的等比数列,
20
则到 2023 年 8 月底该厂的生产总值为 [1 (1 %)]1 (1 %) = (1 + %)
19万元.
故答案为: (1 + %)19.
题型七 浓度问题
1.(2018 上·北京·高三北京八中阶段练习)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规
定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 / .如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量
将迅速上升到0.3 / ,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小,问他至少要经过几
小时才可以加强机动车(精确到小时)
A.1 小时 B.2 小时 C.4 小时 D.6 小时
【答案】C
【分析】设 n 个小时后才可以驾车,由题意得方程0.3(1 ― 50%)n ≤ 0.02,解得 即可.
【详解】设 n 个小时后才可以驾车,根据题意可知,每小时酒精下降的量成等比数列,公比为50%,进而
n
可得方程0.3(1 ― 50%)n ≤ 0.02,得(
1 ) ≤ 1
2 15,即n ≥ 4,所以至少要经过 4 小时后才可以驾驶机动车.
故选 C.
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及实际应用,考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力,属
于基础题.
2.(2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考三模)新型冠状病毒蔓延以来,世界各国都在研制疫苗,某专家认
为,某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用,假如规定每天早上 7:00 和晚上 7:00 各服
药一次,每次服用该药药量 700 毫克具有抗病毒功效,若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 70%,
该药在人体内含量超过 1000 毫克,就将产生副作用,若人长期服用这种药,则这种药 (填“会”
或者“不会”)对人体产生副作用.
【答案】不会
【分析】由题意,此药服药后每经过 12 小时在体内的含量构成等比数列,求经过 n 个 12 小时后体内药物
含量的和,取极限即可判断.
【详解】由题意第一次服药后,经过 12 小时后,体内药物含量700 × (1 ― 70%) = 700 × 30%,经过 24 小
时后,体内药物含量700 × (30%)2,以此类推,一次服药后体内药物含量构成以 1 = 700, = 30%为公比的
等比数列,即 = 700 × (30%) ―1,
所以第 次服药后,体内药物的含量为:
700 + 700 × 0.3 + 700 × 0.32 + … + 700 × 0.3 ―1
= 700×[1 (0.3)
]
1 0.3 = 1000 × [1 ― (0.3)
],
当 → + ∞时,药在体内的含量无限接近 1000,该药在人体内含量不超过 1000 毫克,不会产生副作用.
故答案为:不会
【点睛】本题以实际问题为载体,主要考查了等比数列数列的通项公式,等比数列的求和公式,无限逼近
的思想,考查了学生分析解决问题的能力,属于中档.
3.(2019·高二课时练习)有纯酒精 20 升,倒出 3 升后以水补足 20 升,其后再倒出 3 升,再以水补足 20
升,如此继续下去,至少反复才做多少次,方能使酒精浓度降到 30%以下?
【答案】至少反复操作 8 次,才能完成要求
【分析】分析连续两次后的浓度关系,可得出第 次操作后,酒精浓度为等比数列,列不等式求解即可.
【详解】设操作 此后,酒精浓度为 ,
则 = 17, = 20 ―1 3 ―1 = 171 20 20 20 ―1,
∴ { }是公比为
17
20,首项 =
17
1 20的等比数列,

∴ =
17
20 ,
∵ < 30%,

∴ 17 < 3
20 10,
∴ ≥ 8,
∴ 至少反复操作 8 次,才能完成要求.
【点睛】本题的考点是函数模型的选择与应用,主要考查将实际问题转化为数学模型的能力、考查溶液的
纯质量=溶液的质量×溶液容量,是中档题.
4. (2021·高二课时练习)已知0 < < < 100,在一容器内装有浓度为 %的溶液 1 kg,注入浓度为 %的
溶液14kg,搅匀后倒出混合液
1
4kg.如此反复进行下去.
(1)写出第 1 次混合后溶液的浓度 1%;
(2)设第 n 次混合后溶液的浓度为 %,试用 an 表示 an+1;
(3)写出{an}的通项公式.
【答案】(1)15( + 4 )%
(2) 1 +1 = 5( + 4 )

(3) = + ( ― )
4
5
【分析】(1)由题意直接求解即可;
(2)由题意直接求解即可;
(3)由(2)可证明{ ― }是等比数列,结合等比数列的通项公式即可求解
% 1 %
【详解】(1) % = 4 11 1 1 = 5( + 4 )%;
4
1
(2) % =
% %
4 1
+1 1 1 = 5( + 4 )%,
4
即 1 +1 = 5( + 4 );
(3)由(2)知 1 +1 = 5( + 4 ),
即 +1 ― =
4
5( ― ),
所以 是一个公比为4{ ― } 5的等比数列,首项为 1 ― =
4
5( ― ),
―1
所以 ― =
4 4 4
5( ― ) =5 ( ― ) 5 ,

所以 = + ( ― )
4
5
题型八 斐波那契数列
1.(2020·湖南长沙·长郡中学校考二模)斐波那契数列( )又称黄金分割数列,因数学
家列昂纳多 斐波那契( )以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.在数学
上,斐波纳契数列被以下递推的方法定义:数列{ }满足: 1 = 2 = 1, +2 = + +1,现从数列的前
2024 项中随机抽取 1 项,能被 3 整除的概率是( )
A.1 14 B.3 C.
2 D.13 2
【答案】A
【解析】由题目 +2 = + +1,可列举该数列,该数列每项被 3 除以后的余数是周期为 8 的有序数字,
每一个周期里面有两个 0,即每个周期里面有两个数字可以被 3 整除,利用古典概型公式可得数列的前 2024
项中能被 3 整除的概率.
【详解】 ∵ +2 = + +1,即该数列从第三项起,每一项均为前两项数字的和,
∴数列为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,……,
该数列每项被 3 除后的余数分别为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,……,
可以发现余数是周期为 8 的有序数字,每一个周期里面有两个 0,
即每个周期里面有两个数字可以被 3 整除,前 2024 项里面共有20248 = 253(个)周期,
∴有253 × 2 = 506(个)数字可以被 3 整除,
记“从该数列的前 2024 项中随机抽取一项,能被 3 整除”为事件 A,
则 ( ) = 5062024 =
1
4,
故选:A.
【点睛】本题考查古典概型求概率,同时考查斐波那契数列( )又称黄金分割数列的应
用,考查归纳推理能力及综合分析能力,属于中等题.
2.(2021 下·河南新乡·高二统考期中)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一
列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点是前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等
于它前面两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列{ }称为“斐波那契数列”,记 是数列{ }的前 项
和,则 100 ― 98 = ( )
A.1 B.98 C. ―1 D.198
【答案】A
【分析】根的题意找出 +2 ― = 1的规律即可求解.
【详解】由题意得, 3 ― 1 = 1; 4 ― 2 = 1; 5 ― 3 = 1;….
所以可归纳总结为 +2 ― = 1,
故 100 ― 98 = 1.
故选:A
3.(多选)(2020 上·湖北·高三校联考阶段练习)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现
有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的
一列数组成的数列{ }称为“斐波那契数列”,记 为数列{ }的前 项和,则下列结论正确的是( )
A. 6 = 8 B. 9 = 54
2 2 2
C. 1 + 3 + 5 + + = D.
1 2 2019
2019 2020 = 20202019
【答案】ACD
【解析】由题意可得数列{ }满足递推关系 1 = 1, 2 = 1, = ―2 + ―1( ≥ 3),依次判断四个选项,即
可得正确答案.
【详解】对于 A,写出数列的前 6 项为1,1,2,3,5,8,故 A 正确;
对于 B, 9 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 88,故 B 错误;
对于 C,由 1 = 2, 3 = 4 ― 2, 5 = 6 ― 4,……, 2019 = 2020 ― 2018,可得: 1 + 3 + 5 + +
2019 = 2 + 4 ― 2 + 6 ― 4 + 8 ― 6 + + 2020 ― 2018 = 2020,故 C 正确.
对于 D,斐波那契数列总有 +2 = +1 + ,则 21 = 2 22 1, 2 = 2( 3 ― 1) = 2 3 ― 2 1, 3 = 3
( 4 ― 2) = 3 4 ― 2 3, …… , 22018 = 22018( 2019 ― 2017) = 2018 2019 ― 2017 2018, 2019 = 2019
2 2 2
― 1 2 2019 = 2019 20202020 2019 2018,可得 = 2019 2020,故 D 正确;2019
故选:ACD.
【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,
考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换,属于中档题.
4.(多选)(2023·山西·统考一模)1202 年,斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列 1,
1,2,3,5,8,13,21 该数列的特点是前两项为 1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和,人
们把这样的一列数组成的数列{ }称为斐波那契数列,19 世纪以前并没有人认真研究它,但在 19 世纪末和
20 世纪,这一问题派生出广泛的应用,从而活跃起来,成为热门的研究课题,记 为该数列的前 项和,
则下列结论正确的是( )
A. 11 = 89 B. 2023为偶数
C. 1 + 3 + 5 + + 2023 = 2024 D. 2 + 4 + 6 + + 2024 = 2023
【答案】ACD
【分析】根据递推关系计算出 11的值可判断选项 A;根据数列中项的特点可判断选项 B;由 ―1 + = +1
( ≥ 2)可得 = +1 ― ―1( ≥ 2),再化简可判断选项 C;由 2 = 1, ―1 + = +1( ≥ 2)化简整理
可判断选项 D,进而可得正确选项.
【详解】对于 A:由题意知: 1 = 1, 2 = 1, 3 = 2, 4 = 3, 5 = 5, 6 = 8, 7 = 13, 8 = 21, 9 = 7
+ 8 = 13 + 21 = 34, 10 = 8 + 9 = 21 + 34 = 55, 11 = 9 + 10 = 34 + 55 = 89,
故选项 A 正确;
对于 B:因为该数列的特点是前两项为 1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和,此数列中数字的特
点为:奇数、奇数、偶数的规律循环出现,每 3 个数一组,呈奇奇偶的顺序排列,而2023 ÷ 3 = 674(组)
1(个),故 2023为奇数,选项 B 错误;
对于C:由题意知: ―1 + = +1( ≥ 2),所以 = +1 ― ―1( ≥ 2) 1 + 3 + 5 + + 2023 = 1 +
( 4 ― 2) + ( 6 ― 4) + + ( 2024 ― 2022) = 1 + 2024 ― 2
= 2024,故选项 C 正确;
对于 D: 2 + 4 + 6 + + 2024 = 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + + ( 2022 + 2023) = 2023,
故选项 D 正确,
故选:ACD.
800
1.(2023 下·河南·高二校联考期末)如图,有一台擀面机共有 10 对轧辊,所有轧辊的半径 r 都是 mm,
π
面带从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的 0.8 倍
(整个过程中面带宽度不变,且不考虑损耗).若第 k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在面带上压出一个疵点,
则在擀面机最终输出的面带上,相邻疵点的间距 = ( )
A.800 × 0.2 ―10mm B.1600 × 0.8 ―10mm
C.1600 × 0.8 mm D.1600 × 0.2 ―10mm
【答案】B
【分析】据题意,第 9 对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处
两疵点间面带体积相等,因宽度不变,可得到1600 = 0.8 9,由此求出 9, 进而求出 .
【详解】轧辊的周长为2π = 1600,
由题意可知,第 9 对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长,
因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等,
又因为宽度不变,有1600 = 0.8 9,所以 9 = 2000,
而 10 = 1600,
所以数列{ }是以0.8为公比的等比数列,
所以 10 = 10―
10 ―10
0.8 ,即 = 0.810― = 1600 × 0.8 .
故选:B
2.(2023 上·安徽淮北·高二校考期中)小明用数列{ }记录某地区 2023 年 8 月份 31 天中每天是否下过雨,
方法为:当第 k 天下过雨时,记 = 1,当第 k 天没下过雨时,记 = ―1(1 ≤ ≤ 31),他用数列{ }记录
该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第 k 天有雨时,记 = 1,当预报第 k 天没有雨时,
记 = ―1记录完毕后,小明计算出 1 1 + 2 2 + 3 3 + + 31 31 = 25,那么该月气象台预报准确的总天
数为 .
【答案】28
【分析】由题意可知,气象台预报准确时

= 1,不准确时 = ―1,从而得到 = 2 从而得到最终得
结果.
【详解】由题意可知,气象台预报准确时 = 1,不准确时 = ―1, 1 1 + 2 2 + 3 3 + + = ,
设其中有 天准确,即等式左边有 个1,( ― )个 ―1,则 ― ( ― ) = ,解得 =

2 ,
所以准确天数为 = 25 312 = 28.
故答案为:28
3.(2023 上·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试)2020 年 12 月 17 日凌晨 1 时 59 分,嫦娥五号返回器携带
月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球
距离地球约 38 万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为 0.1 毫米的纸对折 次其厚度就可以超
过到达月球的距离,那么至少对折的次数 是 (lg2 ≈ 0.3,lg3.8 ≈ 0.6)
【答案】42
【分析】设对折 次时,纸的厚度为 毫米,根据条件得到{ }是以 1 = 0.1 × 2为首项,公比为2的等比数
列,从而求出{ }的通项,再解不等式 = 0.1 × 2 ≥ 38 × 104 × 106即可求解.
【详解】设对折 次时,纸的厚度为 毫米,每次对折厚度变为原来的2倍,
由题意知{ }是以 1 = 0.1 × 2为首项,公比为2的等比数列,
所以 = 0.1 × 2 × 2 ―1 = 0.1 × 2 ,
令 = 0.1 × 2 ≥ 38 × 104 × 106,
即2 ≥ 3.8 × 1012,所以lg2 ≥ lg3.8 + 12,即 lg2 ≥ lg3.8 + 12,
lg3.8 12
解得: ≥ 0.6 12lg2 ≈ 0.3 = 42,
所以至少对折的次数 是42,
故答案为:42.5.4 数列的应用
分层练习
题型一 等差数列的实际应用
1.(2023 上·福建三明·高二校联考期中)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、
立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这些节气的日影长依次成等差数列,冬至、
立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )
A.4.5尺 B.3.5尺 C.2.5尺 D.1.5尺
2.(2023 上·辽宁·高三校联考期末)我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它在世界
数学史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及
的是数的整除问题,其数学思想在近代数学,当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用,为世界数学
的发展做出了巨大贡献,现有这样一个整除问题:将 1 到 2022 这 2022 个数中能被 3 除余 2,且被 5 除余
3,且被 7 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{ },那么此数列的项数为( )
A.17 B.18 C.19 D.20
3.(2022 上·江苏淮安·高三校考阶段练习)天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十
天干即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,
天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以
此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,之后地支回到“子”重新
开始,即“丙子”,…,以此类推,2022 年是壬寅年,请问:在 100 年后的 2122 年为( )
A.壬午年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年
4.(2021 上·陕西汉中·高二校联考期中)《周髀算经》中有这样一个问题:冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊
蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满,芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,若立春当日
日影长为10.5尺,立夏当日日影长为4.5尺,则春分当日日影长为( )
A.4.5尺 B.5 尺 C.5.5尺 D.7.5尺
题型二 等比数列的实际应用
1.(2023 上·河南周口·高三校联考阶段练习)如图,正方形 1 1 1 1的边长为 1,记其面积为 1,取其四
边的中点 2, 2, 2, 2,作第二个正方形 2 2 2 2,记其面积为 2,然后再取正方形 2 2 2 2各边的
中点 3, 3, 3, 3,作第三个正方形 3 3 3 3,记其面积为 3,如果这个作图过程一直继续下去,记这
些正方形的面积之和 = 1 + 2 + 3 + + + ,则面积之和 将无限接近于( )
A.32 B.2 C.2 2 D.4
2.(2023 上·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中
有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,
问何日相逢?”描述的问题是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大 小鼠第一天都
进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则( )天后两鼠相遇.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(2022 上·黑龙江鸡西·高三校考期末)有一个人进行徒步旅行,他 6 天共走了 378 里路,第一天健步行
走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半. 则此人第 4 天和第 7 天共走了 里.
4. (2024·全国·高三专题练习)河南省某村在某荒山飞播种草(即用飞机酒种种草),由于生草过快且禁割
禁啃,致使第三年青草过旺,草根烂坏,山坡荒废,损失很大.村委会决定再次飞播时,需养殖一定数量
优质大白山羊,以控制青草过旺生长,他们面临以下调研结果:飞播种草第一年生草量100000kg,如果年
新生草量不超过 420 万kg,那么每年新生草将以200%的增长率递增(旧草自然枯竭、落种),若超过此量,
草地就有荒废的危险.每只大白山羊平均年食草量为500kg,若从飞播后第二年起养殖大白山羊量保持在
200 只,请你设计出一方案帮助村委会决策.
题型三 单利问题
1.(2023·全国·高二随堂练习)小蕾 2018 年 1 月 31 日存入银行若干万元,年利率为 1.75%,到 2019 年
1 月 31 日取款时,银行按国家规定给付利息 469 元,则小蕾存入银行的本金介于( )元之间,并说明
理由.
A.1 万~2 万 B.2 万~3 万 C.3 万~4 万 D.4 万~5 万
2.(2021 上·河南新乡·高二期中)2021年9月10日,小王开始读小学一年级,小王父母决定给他开一张银
行卡,每月的16号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账),用于小王今后的教育开支.2021年9月16日小
王父母往卡上存入500元,以后每月存的钱数比上个月多100元,则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行
利息)首次达到100000元的时间为( )
A.2024年11月16日 B.2024年12月16日
C.2025年1月16日 D.2025年2月16日
3.(2022·全国·高三专题练习)某银行在某段时间内,规定存款按单利计算,且整存整取的年利率如下:
存期 1 年 2 年 3 年 5 年
年利率(%) 2.25 2.4 2.73 2.88
某人在该段时间存入 10 000 元,存期两年,利息税为所得利息的 5%.则到期的本利和为( )元.
A.10373 B.10396 C.10422 D.10456
4. (2021 上·吉林·高三阶段练习)2015 年 7 月 31 日,国际奥委会正式确定 2022 年冬奥会的举办权为北
京——张家口.小明为了去现场观看 2022 年的冬奥会,他打算自 2016 年起,每年的 1 月 1 日都到某银行
存入1000元的一年期定期存款,若该银行的年利率为2.5%,且年利率保持不变,并约定每年到期存款本息
均自动转为新一年的定期.那么到 2022 年 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则小明一
共约可取回 元.
(参考数据:1.0255 ≈ 1.131,1.0256 ≈ 1.160,1.0257 ≈ 1.189)
题型四 复利问题
1.(2023 下·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中)某人从 2023 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 2 万
元(一年定期),若年利率为 2%保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2033 年 1 月 1
日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的线数约为( )(单位:万元)
参考数据:1.029 ≈ 1.195 1.0210 ≈ 1.219 1.0211 ≈ 1.243
A.2.438 B.19.9 C.22.3 D.24.3
2.(2023 下·江苏镇江·高二统考期中)某公司第 1 年年初向银行贷款 1000 万元投资项目,贷款按复利计
算,年利率为 10%,约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润 300 万元,利润随即存入银行,
存款利息按复利计算,年利率也为 10%,则到第 年年初该项目总收益为 万元,到第 年的年初,
可以一次性还清贷款.
3.(2023 上·江苏淮安·高二统考期末)小张计划连续十年向某公司投放资金,第一年年初投资 10 万元,以
后每年投资金额比前一年增加 2 万元,该公司承诺按复利计算,且年利率为 10%,第十年年底小张一次性
将本金和利息取回,则小张共可以取得 万元.(结果用数字作答).
参考数据:1.19 = 2.36,1.110 = 2.59,1.111 = 2.85.
4. (2023·全国·高二随堂练习)小王想用分期付款的方式购买一套价值 90 万元的商品房.首付 40 万元,贷
款期限为 20 年,银行住房贷款的年利率为4.9%,按复利计息,如果小王按年还款,每年还款的数额相同,
那么每年需要还款多少元?小王为购买此房共要付房款多少元?(精确到 0.01 元)
题型五 分期付款问题
1.(2021 下·北京·高二北京交通大学附属中学校考期末)某单位用分期付款方式为职工购买 40 套住房,总
房价 1150 万元.约定:2021 年 7 月 1 日先付款 150 万元,以后每月 1 日都交付 50 万元,并加付此前欠款
利息,月利率1%,当付清全部房款时,各次付款的总和为( )
A.1205 万元 B.1255 万元 C.1305 万元 D.1360 万元
2.(多选) (2023 下·广西钦州·高二校考阶段练习)刚考入大学的小明准备向银行贷款 0元购买一台笔记本
电脑,然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定:每个月还一次款,分12次还清所有的欠
款,且每个月还款的钱数都相等,贷款的月利率为 ,设小明每个月所要还款的钱数为 元,则下列说法正
确的是( )
A.小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B.小明选择的还款方式为“等额本息还款法
12
C.小明第一个月还款的现值为 元 D. = 0 (1 )1 (1 )12 1
3.(2022 下·辽宁·高二沈阳市第一二〇中学校联考期中)小李向银行贷款 14760 元,并与银行约定:每年
还一次款,分 4 次还清所有的欠款,且每年还款的钱数都相等,贷款的年利率为 0.25,则小李每年所要还
款的钱数是 元.
4. (2023·全国·高二随堂练习)小杨2017年向银行贷款20万元用于购房,银行住房贷款的年利率为4.9%,
并按复利计息若双方协议自2018年元月起生效,每年年底还银行相同金额的贷款,到2027年年底全部还清
(即用10年时间等额还款).则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元?(精确到1元)
题型六 产值增长问题
1.(多选)(2023 下·河北秦皇岛·高二统考期末)我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、
VAR 模型、队列要素法等多种方法,直接推算法使用的公式是 = 0(1 + ) ( > ―1),其中 为预测期
人口数, 0为初期人口数, 为预测期内人口增长率, 为预测期间隔年数,则下列说法正确的有( )
A.若在某一时期内 ―1 < < 0,则这期间人口数呈下降趋势
B.若在某一时期内 > 0,则这期间人口数呈上升趋势
C.若在某一时期内0 < < 1,则这期间人口数摆动变化
D.若在某一时期内 = 0,则这期间人口数不变
2.(2023 下·高二课时练习)某厂去年的产值记为1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%,则从
今年起到第五年这五年内,这个厂的总值约为 .(保留一位小数,取1.15 ≈ 1.6)
3.(2023·全国·高三专题练习)某企业 2021 年年初有资金 500 万元,资金年平均增长率可达到 20%.每年
年底扣除下一年必需的消费资金后,剩余资金全部投入再生产,为了实现 5 年后投入再生产的资金达到 800
万元的目标,每年应扣除的消费资金至多为 万元.(结果取整数,参考数据:1.24≈2.07,
1.25≈2.49)
4. (2022 上·高二单元测试)某工厂 2022 年 1 月的生产总值为 万元,计划从 2022 年 2 月起,每月生产
总值比上一个月增长 %,则到 2023 年 8 月底该厂的生产总值为 万元.
题型七 浓度问题
1.(2018 上·北京·高三北京八中阶段练习)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规
定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 / .如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量
将迅速上升到0.3 / ,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小,问他至少要经过几
小时才可以加强机动车(精确到小时)
A.1 小时 B.2 小时 C.4 小时 D.6 小时
2.(2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考三模)新型冠状病毒蔓延以来,世界各国都在研制疫苗,某专家认
为,某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用,假如规定每天早上 7:00 和晚上 7:00 各服
药一次,每次服用该药药量 700 毫克具有抗病毒功效,若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 70%,
该药在人体内含量超过 1000 毫克,就将产生副作用,若人长期服用这种药,则这种药 (填“会”
或者“不会”)对人体产生副作用.
3.(2019·高二课时练习)有纯酒精 20 升,倒出 3 升后以水补足 20 升,其后再倒出 3 升,再以水补足 20
升,如此继续下去,至少反复才做多少次,方能使酒精浓度降到 30%以下?
4. (2021·高二课时练习)已知0 < < < 100,在一容器内装有浓度为 %的溶液 1 kg,注入浓度为 %的
溶液14kg,搅匀后倒出混合液
1
4kg.如此反复进行下去.
(1)写出第 1 次混合后溶液的浓度 1%;
(2)设第 n 次混合后溶液的浓度为 %,试用 an 表示 an+1;
(3)写出{an}的通项公式.
题型八 斐波那契数列
1.(2020·湖南长沙·长郡中学校考二模)斐波那契数列( )又称黄金分割数列,因数学
家列昂纳多 斐波那契( )以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.在数学
上,斐波纳契数列被以下递推的方法定义:数列{ }满足: 1 = 2 = 1, +2 = + +1,现从数列的前
2024 项中随机抽取 1 项,能被 3 整除的概率是( )
A.1 B.1 C.24 3 3 D.
1
2
2.(2021 下·河南新乡·高二统考期中)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一
列数:1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点是前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等
于它前面两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列{ }称为“斐波那契数列”,记 是数列{ }的前 项
和,则 100 ― 98 = ( )
A.1 B.98 C. ―1 D.198
3.(多选)(2020 上·湖北·高三校联考阶段练习)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现
有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的
一列数组成的数列{ }称为“斐波那契数列”,记 为数列{ }的前 项和,则下列结论正确的是( )
A. 6 = 8 B. 9 = 54
2 2 2
C. + + + + = D. 1 2 20191 3 5 2019 2020 = 20202019
4.(多选)(2023·山西·统考一模)1202 年,斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列 1,
1,2,3,5,8,13,21 该数列的特点是前两项为 1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和,人
们把这样的一列数组成的数列{ }称为斐波那契数列,19 世纪以前并没有人认真研究它,但在 19 世纪末和
20 世纪,这一问题派生出广泛的应用,从而活跃起来,成为热门的研究课题,记 为该数列的前 项和,
则下列结论正确的是( )
A. 11 = 89 B. 2023为偶数
C. 1 + 3 + 5 + + 2023 = 2024 D. 2 + 4 + 6 + + 2024 = 2023
800
1.(2023 下·河南·高二校联考期末)如图,有一台擀面机共有 10 对轧辊,所有轧辊的半径 r 都是 mm,
π
面带从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出,每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的 0.8 倍
(整个过程中面带宽度不变,且不考虑损耗).若第 k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在面带上压出一个疵点,
则在擀面机最终输出的面带上,相邻疵点的间距 = ( )
A.800 × 0.2 ―10mm B.1600 × 0.8 ―10mm
C.1600 × 0.8 mm D.1600 × 0.2 ―10mm
2.(2023 上·安徽淮北·高二校考期中)小明用数列{ }记录某地区 2023 年 8 月份 31 天中每天是否下过雨,
方法为:当第 k 天下过雨时,记 = 1,当第 k 天没下过雨时,记 = ―1(1 ≤ ≤ 31),他用数列{ }记录
该地区该月每天气象台预报是否有雨,方法为:当预报第 k 天有雨时,记 = 1,当预报第 k 天没有雨时,
记 = ―1记录完毕后,小明计算出 1 1 + 2 2 + 3 3 + + 31 31 = 25,那么该月气象台预报准确的总天
数为 .
3.(2023 上·黑龙江哈尔滨·高三校考开学考试)2020 年 12 月 17 日凌晨 1 时 59 分,嫦娥五号返回器携带
月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球
距离地球约 38 万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为 0.1 毫米的纸对折 次其厚度就可以超
过到达月球的距离,那么至少对折的次数 是 (lg2 ≈ 0.3,lg3.8 ≈ 0.6)