6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
分层练习
题型一 基本初等函数的导数
1．（2024 上·重庆长寿·高二统考期末）下列导数公式不正确的是（ ）
A．( )′ = ―1 B．(e )′ = e C．(cos )′ = sin D．(sin )′ = cos
2．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
2
(1) = 3；
(2) = log2 ．
3．（2023 上·高二课时练习）求下列函数 = ( )的导数：
(1) ( ) = ；
(2) ( ) = 3 5；
(3) 1( ) = 3．
4．（2023 下·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1) = e0；
(2) = ―2；
(3) = 14；
(4) = 1 4；
(5) = 5 3；
(6) = 13 ；
(7) = log3 ；
(8) = cos .
题型二 导数的四则运算
1．（2023 下·四川成都·高二校联考期中）函数 ( ) = 2 + sin 的导数为（ ）
A． ′( ) = 2 + cos B． ′( ) = 2 ― cos
C． ′( ) = 2 + sin D． ′( ) = + cos
2．（2022 下·北京·高二校考期中）若 ( ) =e ln ，则 ′( ) = （ ）
A．e ln + e B．e
ln ― e C．
e D．e ln
3．（2023 下·河南郑州·高二校考期中）求下列函数的导数.
(1) = ln + 1 ；
(2) = 3e ；
4．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1) ( ) = sin ；
(2) ( ) = 2e ；
2
(3) ( ) = 1 ；
(4) ( ) = tan ．
题型三 复合函数的导数
1．（2023 下·北京·高二北京市第二十五中学校考期中）函数 = e
2―1的导数是（ ）
A． ′ = ( 2 ― 1) 2―1 B． = 2 2e ′ e ―1
C． ′ = ( 2 ― 1)e D． ′ = e
2―1
2．（2023 下·高二课时练习）函数 = cos(π4 ―3 )的导数为 ．
3．（2023 下·高二课时练习）指出下列函数是怎样复合而成的．
(1) = (3 + 5 )2；
(2) = log3( 2 ―2 + 5)；
(3) = cos3 .
4．（2023 上·高二课时练习）利用 ( + )型复合函数的求导法则求下列函数的导数：
(1) = (3 ― 2 )2；
(2) = sin2 ．
题型四 求一点的导数的值基础
1．（2024 上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末） ( ) = ln 在 = e处的导数 ′(e) = （ ）
A．1 B．2 C． D． + 1
2．（2023 下·高二课时练习）已知 ( ) = cos ，则 ′ π = .
3
3．（2023 上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）设函数 ( ) = 2e ，则 ′(1) = ．
1
4．（2023 下·高二课时练习）（1）求函数 ( ) = 3 在点(1,1)处的导数；
（2）求函数 ( ) = cos 在点 π , 2 处的导数．
4 2
题型五 求一点的导数的值中档
1．（2023 下·山东潍坊·高二统考期中）已知函数 ( )的导函数为 ′( )，若 ( ) = 2 ′(1) + ln ，则 ′(1) =
（ ）
A． ―1 B．1 C． ―2 D．2
2．（2023 上·江苏淮安·高三校联考期中）已知函数 ( ) = 3
1
′(1) ― 2 + ln + ′2（ ( )是 ( )的导函数），
则 ′(1) = （ ）
A．1 B．2 C．12 D． ―
1
2
3．（2023 下 ·上海闵行 ·高二上海市七宝中学校考期中）设 ′( 0)表示 ( )在 = 0处的导数值，已知
( ) = ′(1) 2 + ln ，则 ′(1) = ．
4．（2023 上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数 ( ) = ′( ―1) 4 +2 ，则 ′( ―1) = .
题型六 已知导数求参数
1．（2023 下·新疆伊犁·高二统考期中）设 ( ) = 3 + ，若 ′( ―1) = 4，则 = （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．（2023 下·重庆巫溪·高二校考期中）设 ( ) = + + 4，若 ′(1) = 2，则 等于（ ）
A．1 B． ―2 C．2 D． ―3
3．（2022 下·北京·高二校考期中）函数 ( ) = (1 + ln )，若 ′( 0) = 2，则 0 = （ ）
A．e2 B．1 C．ln2 D．e
2
4．（2023 上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）设函数 ( ) = e ，若 ′(0) = 1，则 = .
题型七 在一点的切线方程
1．（2022 上·陕西延安·高二校考期末）函数 ( ) = 3 + 在点 = 1处的切线方程为
2．（2023 上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）曲线 = 1 ― ln 在 = 1处的切线方程
为 ．
1
3．（2023·江西景德镇·统考一模）函数 ( ) = 1 + ln 在 = 1处的切线方程为 .
4．（2023 上·山东聊城·高三校考阶段练习）曲线 = e +2cos 在点(0,3)处的切线方程为 .
（化为 Ax+By+C=0）
题型八 过一点的切线方程
1．（多选）（2023 下·湖南·高二期中）过点 (2, ― 6)作曲线 ( ) = 3 ―3 的切线，则切线方程可能是（ ）
A．3 + = 0
B．24 ― ― 54 = 0
C．9 ― ― 24 = 0
D．12 ― ― 24 = 0
2．（2018·广东深圳·统考一模）曲线 = e ―1 + 的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为 .
3．（2021·全国·高二专题练习）过原点作曲线 y＝ex 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．
4．（2021 上·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数 ( ) = 3 + ― 16．
(1)求曲线 = ( )在点(2, ― 6)处的切线方程；
(2)直线 为曲线 = ( )的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐标．
题型九 已知切线求参数
1．（2022 上·河北唐山·高三校联考阶段练习）若直线3 + ― = 0是曲线 = 12
2 ―4ln 的一条切线，则实
数 = （ ）
A．1 B．3 C．5 D．72 2 2 2
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 ( ) = e ―1 + 2 +1的图象在 = 1处的切线与直线 + 3 ― 1 = 0垂直，
则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023 上·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知 ( ) = 2 ―
1
在点(1, (1))处的切线为直线
― 2 + = 0，则 = .
4．（2023 下·高二课时练习）若曲线 = ( ) = 2 +2 在点 处的切线垂直于直线 + 2 = 0，则点 的坐标
是 ．
题型十 公切线问题
1．（2022 下·湖南·高二南县第一中学校联考期中）已知函数 ( ) = ln ， ( ) = 2 ― ．若经过点 (1,0)
存在一条直线 l 与曲线 = ( )和 = ( )都相切，则 = （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
2．（2021 下·安徽六安·高二安徽省舒城中学校考阶段练习）曲线 = 1 与曲线 = ―
2的公切线方程为（ ）
A． = ―4 + 4 B． = 4 ― 4
C． = ―2 + 4 D． = 2 ― 4
3．（2012 下·浙江宁波·高二校联考期中）若存在过点(1,0)的直线与曲线 = 3和 = 2 + 154 ― 9都相切，
则 = .
4．（2023 下·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线 = 4 + 是曲线 = 3 ― + 13与曲线 = 2 +2ln 的公
切线，则 + = ．
题型十一 导数的运算技巧
1．（2022 下·湖北·高二安陆第一高中校联考期中）若函数 ( ) = 2 + cos + 满足 ′(2022) = 2，则 ′
( ―2022) = ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则 f′(0)＝ .
3
3．（2020 上·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数 ( ) = 1 +
3，其导函数为 ′( )，则 (2020) +
( ―2020) + ′(2021) ― ′( ―2021)的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 上·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数 ( )， ( )满足 ( ) + ( ) = 2，且 (1) = 1，则 ′(1) + ′
(1) = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2023 上·重庆·高二西南大学附中校考期末）设函数 ( )的导数为 ′( )，且 ( ) = ′ π cos + sin ，则
6
π = .
6
2．（2024 上·上海闵行·高二闵行中学校联考期末）已知 ( ) = sin ， ′( )是 ( )的导函数.则当 ∈ [0,π]时，
函数 = ( ) + ′( )的值域是 .
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ( ) = ln + 2( > 0)，若曲线 = ( )的所有切线中斜率最小的切线
方程为4 ― 2 + = 0，则 = ．6.1.3 基本初等函数的导数 6.1.4 求导法则及其应用
分层练习
题型一 基本初等函数的导数
1．（2024 上·重庆长寿·高二统考期末）下列导数公式不正确的是（ ）
A．( )′ = ―1 B．(e )′ = e C．(cos )′ = sin D．(sin )′ = cos
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的导数公式直接判断即可．
【详解】根据基本初等函数的导数公式可知，ABD 正确；C 错误，应为(cos )′ = ― sin .
故选：C.
2．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
2
(1) = 3；
(2) = log2 ．
1
【答案】(1) 2′ = ―33
(2) ′ = 1 ln2
【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式求解；
（2）利用基本初等函数的导数公式求解.
2 ′ 2
【详解】（1） = = 2 ―1 = 2 ―
1
′ 3 3 33 3 .
（2） ′ = (log 12 )′ = ln2.
3．（2023 上·高二课时练习）求下列函数 = ( )的导数：
(1) ( ) = ；
(2) ( ) = 3 5；
(3) = 1( ) 3．
【答案】(1) ′( ) = 0
2
(2) ′( ) =
5 33
(3) ′( ) = ―3 ―4
【分析】根据初等函数的求导公式分别计算即可求解.
【详解】（1） ′( ) = (π)′ = 0；
5 2
（2） ′( ) = ( 53)′ = 33 ；
（3） ′( ) = ( ―3)′ = ―3 ―4.
4．（2023 下·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1) = e0；
(2) = ―2；
(3) = 14；
(4) = 1 4；
(5) = 5 3；
1 (6) = 3 ；
(7) = log3 ；
(8) = cos .
【答案】(1)0
(2) ― 2 3
(3)14 13
(4) ― 4 5
3
(5)
55 2
1 (6) ln33
(7) 1 ln3
(8) ― sin
【分析】根据基本初等函数的导数公式求导即可.
【详解】（1） ∵ = e0 = 1，
∴ ′ = 0.
（2） ′ = ―2 ―3 = ― 2 3.
（3） ′ = 14 13.
（4） ∵ = 1 ―4 4 = ，
∴ ′ = ―4 ―5 = ― 4 5.
3
（5） ∵ = 5 3 = 5，
∴ = 3
2 3
′ ―55 = .55 2
1 （6） ′ = ln13 3.
（7） = 1′ ln3.
（8） ′ = ― sin .
题型二 导数的四则运算
1．（2023 下·四川成都·高二校联考期中）函数 ( ) = 2 + sin 的导数为（ ）
A． ′( ) = 2 + cos B． ′( ) = 2 ― cos
C． ′( ) = 2 + sin D． ′( ) = + cos
【答案】A
【分析】根据求导公式计算即可.
【详解】由 ( ) = 2 + sin ，
得 ′( ) = 2 + cos .
故选：A.
2．（2022 下·北京·高二校考期中）若 ( ) =e ln ，则 ′( ) = （ ）
A．e ln + e B．e ln ― e C．e D．e ln
【答案】A
【分析】根据乘法的导数的公式即可得到结论．
【详解】 ′( ) = (e )′ ln + e (ln )′ =e ln + e .
故选：A
3．（2023 下·河南郑州·高二校考期中）求下列函数的导数.
(1) = ln + 1 ；
(2) = 3e ；
【答案】(1) = 1′ 2
(2) ′ = 2e (3 + )
【分析】（1）（2）利用导数的运算法则可求得函数的导数.
′ ′
【详解】（1）解：因为 = ln + 1，则 ′ = ln +
1 = (ln )′ + 1 = 1 ― 1 1
2
= 2 .
（2）解：因为 = 3e ，则 = ( 3e )′ = ( 3)′e + 3(e )′ = 3 2e + 3e = 2e ( + 3).
4．（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：
(1) ( ) = sin ；
(2) ( ) = 2e ；
2
(3) ( ) = 1 ；
(4) ( ) = tan ．
【答案】(1)sin + cos
(2)2 e + 2e
2
(3) 1 2
(4) 1cos2
【分析】（1）（2）（3）（4）利用导数的乘除法运算法则求解.
【详解】（1） ′( ) = ( sin )′ = ′sin + (sin )′ = sin + cos
（2） ′( ) = ( 2e )′ = ( 2)′e + 2(e )′ = 2 e + 2e
2 ′ 2 2 2 2
（3） ′( ) = 1 = ( 1)′ ( 1) ′2 =
2 1 1
2
= 2
′
（4） ′( ) = (tan ) ′′ = sin = (sin ) cos sin (cos )′cos cos2
= cos cos sin ( sin ) = cos
2 sin2 1
cos2 cos2 = cos2 ．
题型三 复合函数的导数
1．（2023 下·北京·高二北京市第二十五中学校考期中）函数 = e
2―1的导数是（ ）
A． ′ = ( 2 ― 1) 2e ―1 B． ′ = 2 e
2―1
C． ′ = ( 2 ― 1)e D． =
2
′ e ―1
【答案】B
【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.
【详解】解：由已知可得 ′ = e
2―1 ( 2 ― 1)′ = 2 2e ―1，
故选：B.
2．（2023 下·高二课时练习）函数 = cos(π4 ―3 )的导数为 ．
【答案】 ′ = 3sin(π4 ―3 )
【分析】应用复合函数求导即可.
′
【详解】 ′ = cos π ― 3 = ― sin π ― 3 ( ― 3) = 3sin π4 ― 3 4 4
故答案为： ′ = 3sin(π4 ―3 )
3．（2023 下·高二课时练习）指出下列函数是怎样复合而成的．
(1) = (3 + 5 )2；
(2) = log 23( ―2 + 5)；
(3) = cos3 .
【答案】(1) = 2, = 3 + 5 ；
(2) = log3 , = 2 ―2 + 5；
(3) = cos , = 3
【分析】根据复合函数的定义分析即可.
【详解】（1） = (3 + 5 )2是由函数 = 2, = 3 + 5 复合而成的．
（2） = log3( 2 ― 2 + 5)是由函数 = log 23 , = ―2 + 5复合而成的．
（3） = cos3 是由函数 = cos , = 3 复合而成的．
4．（2023 上·高二课时练习）利用 ( + )型复合函数的求导法则求下列函数的导数：
(1) = (3 ― 2 )2；
(2) = sin2 ．
【答案】(1) ′ = 8 ― 12；
(2) ′ = 2cos2 .
【分析】根据复合函数的求导法则分别计算即可求解.
【详解】（1）令 = 3 ― 2 ，则 = (3 ― 2 )2变形为 = 2，
得 ′ = ( 2)′ ( ― 2) = ―4 = ―4(3 ― 2 ) = 8 ― 12；
（2）令 = 2 ，则 = sin2 变形为 = sin ，
得 ′ = (sin )′ 2 = 2cos = 2cos2 .
题型四 求一点的导数的值基础
1．（2024 上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末） ( ) = ln 在 = e处的导数 ′(e) = （ ）
A．1 B．2 C． D． + 1
【答案】B
【分析】利用导数公式求出 ′( )，再得 ′(e).
【详解】由 ( ) = ln ，得 ′( ) = ln + 1，所以 ′(e) = lne +1 = 2.
故选：B.
2．（2023 下·高二课时练习）已知 ( ) = cos ，则 ′ π = .
3
【答案】 ― 3
2
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】因为 ( ) = cos ，所以 ′( ) = ― sin ，则 ′ π = ― sinπ3 = ―
3.
3 2
故答案为： ― 3
2
3．（2023 上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）设函数 ( ) = 2e ，则 ′(1) = ．
【答案】3e
【分析】根据函数求导法则求导后，即可计算出结果.
【详解】因为 ′( ) = 2 e + 2e ，
所以 ′(1) = 2e + e = 3e.
故答案为：3e.
1
4．（2023 下·高二课时练习）（1）求函数 ( ) = 3 在点(1,1)处的导数；
（2）求函数 ( ) = cos 在点 π , 2 处的导数．
4 2
【答案】(1) ― 13，（2） ―
2
2
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
1 1 1 ′ 4 1
【详解】（1） ∵ ( ) = 3 =
―
3， ∴ ′( ) = ―3 = ―
1 ―33 = ― 3 4，3
1
∴ ′(1) = ― = ―
1
33 1 3；
（2）∵ ( ) = cos ， ∴ ′( ) = ― sin ，
∴ ′ π = ― sinπ4 = ―
2.
4 2
题型五 求一点的导数的值中档
1．（2023 下·山东潍坊·高二统考期中）已知函数 ( )的导函数为 ′( )，若 ( ) = 2 ′(1) + ln ，则 ′(1) =
（ ）
A． ―1 B．1 C． ―2 D．2
【答案】A
【分析】求得 ′( ) = 2 ′(1) +
1
，令 = 1，即可求解.
【详解】由函数 1( ) = 2 ′(1) + ln ，可得 ′( ) = 2 ′(1) + ，
令 = 1，可得 ′(1) = 2 ′(1) +1，解得 ′(1) = ―1.
故选：A.
2．（2023 上·江苏淮安·高三校联考期中）已知函数 ( ) = 3 ′(1) ― 2 + ln +
1
2（ ′( )是 ( )的导函数），
则 ′(1) = （ ）
A．1 B．2 C．12 D． ―
1
2
【答案】C
【分析】根据导数的求导法则，求导代入即可求解.
【详解】对 ( ) = 3
1
′(1) ― 2 + ln + 2求导可得 = 3 ―2 +
1
′( ) ′(1) ，
所以 ′(1) = 3 ′(1) ―2 + 1，所以
1
′(1) = 2，
故选：C
3．（2023 下 ·上海闵行 ·高二上海市七宝中学校考期中）设 ′( 0)表示 ( )在 = 0处的导数值，已知
( ) = ′(1) 2 + ln ，则 ′(1) = ．
【答案】 ―1
【分析】根据导数的运算公式求解即可.
【详解】因为 ( ) = ′(1) 2 + ln ，所以 1′( ) = 2 ′(1) + ，
令 = 1,则有 ′(1) = 2 ′(1) + 1,解得 ′(1) = ―1,
故答案为: ―1.
4．（2023 上·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数 ( ) = ′( ―1) 4 +2 ，则 ′( ―1) = .
【答案】25/0.4
【分析】求导，代入即可求解.
【详解】由 2( ) = ′( ―1) 4 +2 得 ′( ) = 4 ′( ―1) 3 +2，所以 ′( ―1) = ―4 ′( ―1) +2 ′( ―1) = 5，
故答案为：25
题型六 已知导数求参数
1．（2023 下·新疆伊犁·高二统考期中）设 ( ) = 3 + ，若 ′( ―1) = 4，则 = （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【分析】求出导函数，将 ―1代入导函数，即可求出
【详解】 ′( ) = 3 2 +1, ′( ― 1) = 3 + 1 = 4, ∴ = 1.
故选：D
2．（2023 下·重庆巫溪·高二校考期中）设 ( ) = + + 4，若 ′(1) = 2，则 等于（ ）
A．1 B． ―2 C．2 D． ―3
【答案】C
【分析】代入导数公式，即可求解.
【详解】由条件可知， ′( ) = ，所以 ′(1) = = 2.
故选：C
3．（2022 下·北京·高二校考期中）函数 ( ) = (1 + ln )，若 ′( 0) = 2，则 0 = （ ）
A．e2 B．1 C．ln2 D．e
【答案】B
【分析】求导，再根据 ′( 0) = 2即可得解.
【详解】∵ ( ) = (1 + ln )，
∴ ′( ) = (1 + ln ) +1 = ln + 2，
若 ′( 0) = 2，则ln 0 +2 = 2，解得 0 = 1.
故选：B．
2
4．（2023 上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）设函数 ( ) = e ，若 ′(0) = 1，则 = .
【答案】1
【分析】根据函数求导法则，建立方程，可得答案.
2 2
【详解】由题意可知 = 2e ( )′( ) e( )2 ，且 ′(0) = 1，则
2 1
2 = 1，
整理可得 2 ―2 + 1 = 0，解得 = 1.
故答案为：1.
题型七 在一点的切线方程
1．（2022 上·陕西延安·高二校考期末）函数 ( ) = 3 + 在点 = 1处的切线方程为
【答案】4 ― ― 2 = 0
【分析】求导，得切线斜率，即可由点斜式方程求解.
【详解】由 ( ) = 3 + 可得 ′( ) = 3 2 +1，所以 ′(1) = 4，又 (1) = 2，
所以(1,2)处的切线方程为 ― 2 = 4( ― 1)，即4 ― ― 2 = 0，
故答案为：4 ― ― 2 = 0
2．（2023 上·贵州黔西·高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习）曲线 = 1 ― ln 在 = 1处的切线方程
为 ．
【答案】2 + ― 3 = 0
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】 1 1′ = ― 2 ― ( > 0)，
则当 = 1时， ′ = ―2, = 1，
所以曲线 = 1 ― ln 在 = 1处的切线方程为 ― 1 = ―2( ― 1)，即2 + ― 3 = 0.
故答案为：2 + ― 3 = 0.
= 1 3．（2023·江西景德镇·统考一模）函数 ( ) 1 + ln 在 = 1处的切线方程为 .
【答案】 = 1 ― 12 2
【分析】根据求导公式和运算法则求出切线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】由题意知， (1) = 0，则切点为(1,0)，
2 1 2 1′( ) = ( 1)2 + = ( 1)2 ( > 0)，
所以切线的斜率为 ′(1) = 12，
故函数在 = 1处的切线方程为 ― 0 = 12( ― 1)，即 =
1
2 ―
1
2.
故答案为： = 12 ―
1
2.
4．（2023 上·山东聊城·高三校考阶段练习）曲线 = e +2cos 在点(0,3)处的切线方程为 .
（化为 Ax+By+C=0）
【答案】 ― + 3 = 0
【分析】求导，得到切线斜率，进而用点斜式写出直线的方程，然后化为一般式.
【详解】由题意， ∈ ，
在 = e +2cos 中， ′ = e ―2sin ，
在点(0,3)处， ′| 0 =0 = e ―2sin0 = 1，
∴在点(0,3)处的切线方程为： ― 3 = 1 × ( ― 0)，
即： ― + 3 = 0.
故答案为： ― + 3 = 0.
题型八 过一点的切线方程
1．（多选）（2023 下·湖南·高二期中）过点 (2, ― 6)作曲线 ( ) = 3 ―3 的切线，则切线方程可能是（ ）
A．3 + = 0
B．24 ― ― 54 = 0
C．9 ― ― 24 = 0
D．12 ― ― 24 = 0
【答案】AB
【分析】先设出切点的坐标，求出导函数，再将切点横坐标代入导函数求出切线的斜率，结合切点坐标写
出切线方程，再将点 P 的坐标代入切线方程，进而解出切点横坐标，最后得到答案.
【详解】
∵ ′ = 3 2 ―3.设曲线的切点为( 0, 0)，则 = 3 20 ―3， 0 = 30 ―3 0.
∴切线方程为 ― ( 30 ―3 0) = (3 20 ―3)( ― 0).
又切线经过点 (2, ― 6)，则 ―6 ― ( 30 ―3 0) = (3 20 ―3)(2 ― 0)，解得 0 = 0或 0 = 3，
∴切点为(0,0)时，切线方程为3 + = 0；切点为(3,18)时，切线方程为24 ― ― 54 = 0.
故选：AB.
2．（2018·广东深圳·统考一模）曲线 = e ―1 + 的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为 .
【答案】 = 2
【分析】设出切点的坐标，结合导数求得切线方程，根据切线过原点求得切点的横坐标，进而求得切线方
程.
【详解】设切点为( ,e 0―10 + 0)，则 ′ = e ―1 +1，即 = e 0―1 +1，
故切线方程为 ― e 0―1 ― 0 = (e 0―1 + 1)( ― 0)，
又切线过原点， ∴ 0 ― e 0―1 ― 0 = (e 0―1 + 1)(0 ― 0)，解得 0 = 1，
将 = 1代入 ― e 0―10 ― 0 = (e 0―1 + 1)( ― 0)，可得切线方程为 = 2 .
故答案为： = 2
3．（2021·全国·高二专题练习）过原点作曲线 y＝ex 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．
【答案】切点为(1,e)，斜率为e
【分析】设出切点坐标，结合导数列方程，由此求得切点的坐标及切线的斜率.
【详解】设切点为( ,e 0 0)，
′ = e ，故在点( 0,e 0)处切线的斜率为e 0，
0 0
所以e = e 0 0 0 = 1，0
所以切点为(1,e)，斜率为e.
4．（2021 上·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数 ( ) = 3 + ― 16．
(1)求曲线 = ( )在点(2, ― 6)处的切线方程；
(2)直线 为曲线 = ( )的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐标．
【答案】(1)13 ― ― 32 = 0
(2) = 13 ，切点为( ―2, ― 26)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解.
【详解】（1）由 ( ) = 3 + ― 16，得 ′( ) = 3 2 +1，
所以 ′(2) = 3 × 22 +1 = 13，
所以曲线 = ( )在点(2, ― 6)处的切线方程为 + 6 = 13( ― 2)，即13 ― ― 32 = 0.
（2）设切点为 0, 30 + 0 ― 16 ，由（1）得 ′( ) = 3
2
0 0 +1，
所以切线方程为 ― 30 + ― 16 = 3 20 0 + 1 ( ― 0)，
因为切线经过原点，
所以 ― 30 + 0 ― 16 = ― 0 3 20 + 1 ，
所以2 30 = ―16， 0 = ―2．
则 ′( ―2) = 3 × ( ―2)2 +1 = 13，
所以所求的切线方程为 = 13 ，切点为( ―2, ― 26)．
题型九 已知切线求参数
1．（2022 上·河北唐山·高三校联考阶段练习）若直线3 + ― = 0是曲线 = 12
2 ―4ln 的一条切线，则实
数 = （ ）
A．12 B．
3 C．5 D．72 2 2
【答案】D
【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得 .
【详解】因为 = 1 2 ―4ln ，所以 = ― 4′2 ，令 ―
4 2
= ―3，即 +3 ― 4 = 0，
得 = 1或 = ―4（舍去），所以切点是 1, 1 ，代入3 + ― = 0，
2
得3 + 12 ― = 0， =
7
2.
故选：D
2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 ( ) = e ―1 + 2 +1的图象在 = 1处的切线与直线 + 3 ― 1 = 0垂直，
则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出 的值．
【详解】由 ( ) = e ―1 + 2 +1，得 ′( ) = e ―1 +2 ，
因为函数 ( ) = e ―1 + 2 +1的图象在 = 1处的切线与直线 + 3 ― 1 = 0垂直，
所以 ′(1) = 1 + 2 = 3，则 = 1．
故选：A．
3．（2023 上·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知 1( ) = 2 ― 在点(1, (1))处的切线为直线
― 2 + = 0，则 = .
【答案】 ― 12/-0.5
【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.
【详解】因为 ( ) = 2
1
― ，所以 ′( ) = +
1
2，
因为 ( )在点(1, (1))处的切线为直线 ― 2 + = 0，
所以 ′(1) = + 1 = 12，解得 = ―
1
2.
故答案为： ― 12
4．（2023 下·高二课时练习）若曲线 = ( ) = 2 +2 在点 处的切线垂直于直线 + 2 = 0，则点 的坐标
是 ．
【答案】(0,0)
【分析】利用导数定义求出 ′( )，设 ( 0, 0)，根据垂直得出切线斜率为2，则可得2 0 +2 = 2，进而求出
点 坐标.
2
【详解】设 ( , )，则 ′( ) = lim ( 0 Δ ) 2( 0 Δ ) (
2
0 2 0)
0 0 0
Δ →0 Δ
= lim (2 0 +2 + Δ ) = 2 0 +2，
Δ →0
因为点 处的切线垂直于直线 + 2 = 0，
所以点 处的切线的斜率为2，
所以2 0 +2 = 2，解得 0 = 0，则 0 = 0，
即点 的坐标是(0,0)．
故答案为：(0,0)
题型十 公切线问题
1．（2022 下·湖南·高二南县第一中学校联考期中）已知函数 ( ) = ln ， ( ) = 2 ― ．若经过点 (1,0)
存在一条直线 l 与曲线 = ( )和 = ( )都相切，则 = （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先求得 ( ) 在 (1,0) 处的切线方程，然后与 ( ) = 2 ― 联立，由Δ = 0 求解
【详解】解析：∵ ( ) = ln ，∴ ′( ) = 1 + ln ，∴ ′(1) = 1 + ln1 = 1，∴ = 1，∴曲线 = ( )在 (1,0)处
的切线方程为 = ― 1，由 = ― 1 2 = 2 ― 得 ―2 + 1 = 0，由Δ = 4 ― 4 = 0，解得 = 1．
故选：B
2．（2021 下·安徽六安·高二安徽省舒城中学校考阶段练习）曲线 = 1 2 与曲线 = ― 的公切线方程为（ ）
A． = ―4 + 4 B． = 4 ― 4
C． = ―2 + 4 D． = 2 ― 4
【答案】A
【分析】画出图象，从而确定正确选项.
【详解】画出 = 1 2 , = ― 以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知 A 选项符合.
故选：A
3．（2012 下·浙江宁波·高二校联考期中）若存在过点(1,0)的直线与曲线 = 3和 = 2 + 154 ― 9都相切，
则 = .
【答案】 ―1 或 ― 25/ ― 2564 64或 ―1
【分析】设 ( 0, 30 )为曲线 = 3上任意一点，由导数的几何意思得出切线方程，根据切线过点(1,0)，求出
0，得出切线的方程，再与 = 2 +
15
4 ― 9联立，由Δ = 0可得答案.
【详解】由 = 3，得 ′ = 3 2 ，设 ( 0, 3 30 )为曲线 = 上任意一点
则曲线 = 3在点 处的切线的斜率为3 20
所以曲线 = 3在点 处的切线方程为 ― 30 = 3 20 ( ― 0)
将点(1,0)代入切线方程得到 ― 30 = 3 20 (1 ― 0)，解得 = 0或 =
3
0 0 2
当 0 = 0时，切线方程为 = 0，则 2 +
15
4 ― 9 = 0
所以Δ = 15
2
―4 × ( ―9) = 0，解得 = ―
25
4 64
当 3 27 27 2 150 = 2 时，切线方程为 = 4 ― 4 ，由 + 4 ― 9 =
27
4 ―
27
4
即 2 ―3 ― 9 24 = 0，所以Δ = ( ―3) ―4 × ―
9 = 0，解得 = ―1
4
故答案为： ―1 或 ― 2564
4．（2023 下·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线 = 4 + 是曲线 = 3 ― + 13与曲线 = 2 +2ln 的公
切线，则 + = ．
【答案】5
【分析】由直线 = 4 + 是曲线 = 2 +2ln 的切线求解 = ―3，可得切线方程，再设直线 = 4 ― 3与
曲线 = 3 ― + 13的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解 n，则
答案可求．
【详解】由 = 2 +2ln ，得 ′ = 2 + 2 ，由2 +
2
= 4，解得 = 1( > 0)，
则直线 = 4 + 与曲线 = 2 +2ln 相切于点(1,4 + )，
∴4 + = 1 + 2ln1 = 1，得 = ―3，
∴直线 = 4 ― 3是曲线 = 3 ― + 13的切线，
由 = 3 ― + 13，得 ′ = 3 2 ― ，设切点为( , 3 ― + 13)，
则3 2 ― = 4，且 3 ― + 13 = 4 ― 3，联立可得3 2 ― 2 ― 16 +4 = 4，
解得 = 2，所以 = 8．
∴ + = 8 + ( ―3) = 5．
故答案为：5．
题型十一 导数的运算技巧
1．（2022 下·湖北·高二安陆第一高中校联考期中）若函数 ( ) = 2 + cos + 满足 ′(2022) = 2，则 ′
( ―2022) = ．
【答案】 ―2
【分析】求出导函数 ′( )，证明其为奇函数，由奇函数性质计算．
【详解】 ′( ) = 2 ― sin ，易知 ′( ― ) = ― ′( )则 ′( )为奇函数，则 ′( ―2022) = ―2．
故答案为： ―2．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则 f′(0)＝ .
【答案】－120
【详解】f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－
2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
3
3．（2020 上·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数 ( ) = 3 1 + ，其导函数为 ′( )，则 (2020) +
( ―2020) + ′(2021) ― ′( ―2021)的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】求得可得 ′( )的解析式，求出 ′( ― )解析式，可得 ′( )为偶函数，即可求出 ′(2021) ― ′( ―2021)
的值，再求 ( ) + ( ― ) = 3，即可求得 (2020) + ( ―2020)的值，即可求得答案.
―
【详解】
3 3 3
′( ) = 2 2 2( 1)2 +3 ， ′( ― ) = ( ― 1)2 +3( ― ) = ( 1)2 +3 ，
所以 ′( )为偶函数，所以 ′(2021) ― ′( ―2021) = 0，
3 3 3
因为 ( ) + ( ― ) = 1 +
3 + 3 3 ― 1 ― = 1 + 1 = 3，
所以 (2020) + ( ―2020) = 3，
所以 (2020) + ( ―2020) + ′(2021) ― ′( ―2021) = 3．
故选：C．
4．（2023 上·陕西宝鸡·高二统考期末）若函数 ( )， ( )满足 ( ) + ( ) = 2，且 (1) = 1，则 ′(1) + ′
(1) = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】令 ( ) + ( ) = 2中 = 1，求出 (1) = 0，再对 ( ) + ( ) = 2两边求导，将 = 1代入即可得
出答案.
【详解】令 = 1，所以 (1) + (1) = 1，因为 (1) = 1，所以 (1) = 0，
因为 ′( ) + ( ) + ′( ) = 2 ，
所以 ′(1) + (1) + ′(1) = 2，
所以 ′(1) + ′(1) = 2 ― (1) = 2.
故选：B.
1．（2023 上·重庆·高二西南大学附中校考期末）设函数 ( )的导数为 ′( )，且 ( ) = ′ π cos + sin ，则
6
π = .
6
【答案】 3
3
【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，可得 ′( ) = ′ π ( ―sin ) + cos ，
6
所以 ′ π = ′ π ―sin π + cosπ π
1 π 3
6 6 6 6
，即 ′ = ― 2 ′ + ，6 6 2
解得： ′ π = 3.
6 3
故答案为： 3.
3
2．（2024 上·上海闵行·高二闵行中学校联考期末）已知 ( ) = sin ， ′( )是 ( )的导函数.则当 ∈ [0,π]时，
函数 = ( ) + ′( )的值域是 .
【答案】[ ―1, 2]
【分析】根据求导公式及两角和正弦公式化简后，根据自变量范围求正弦函数值域即可.
【详解】因为 ( ) = sin ，所以 ′( ) = cos ，
= ( ) + ′( ) = sin + cos = 2sin + π ，
4
当 ∈ 5[0, ]时，ππ 4 ≤ +
π
4 ≤
π
4 ，
所以 ― 2 ≤ sin + π ≤ 1， ―1 ≤ =2 2sin +
π ≤ 2，
4 4
故答案为：[ ―1, 2]
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ( ) = ln + 2( > 0)，若曲线 = ( )的所有切线中斜率最小的切线
方程为4 ― 2 + = 0，则 = ．
【答案】8
【分析】求导结合基本不等式得到 ′( )的最小值，再根据题意得关于 的方程，解方程得到 的值，得到切
点的坐标，将切点坐标代入直线方程得到 的值，即可得解.
【详解】由 ( ) = ln + 2，得 ( ) = 1′ +2 ( > 0)，
因为 > 0, > 0，则1 +2 ≥ 2 2 ，当且仅当 =
2 时等号成立，
2
由直线4 ― 2 + = 0的斜率为2，
所以曲线 = ( )的所有切线中斜率最小的切线的斜率 = 2 2 = 2，
所以 = 12，此时 =
2 = 1，
2
由 ( ) = ln + 1 22 ，则 (1) = ln1 +
1
2 =
1
2，所以切点为 1,
1 .
2
将 1, 1 代入4 ― 2 + = 0，
2
―3
得 = ―3，所以 = 1 = 82 ．
故答案为：8.
