6.2.1导数与函数的单调性（二） 课件(共14张PPT) 2023-2024学年高二数学同步讲义（人教B版2019选择性必修第三册）

(共14张PPT)
6.2.1导数与函数的单调性（2）
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快慢有关，这节课我们继续学习利用导数来研究函数的性质，体会导数在研究函数性质中的作用！
能用导数判断函数增减性的快慢；（重点）
能利用导数判断简单含参函数的单调性.（难点）
思考1：作出对数函数 y = ln x 及其导函数的图像，观察函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系
探究点1:函数的变化速度
因为 (x∈(0，+∞))，
当 越来越大时，越来越小，
所以函数 递增的越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.
x
y
O
y = ln x
思考2：作出对数函数 y = x3 及其导函数的图像，观察函数图像的变化趋势与导数值的大小有怎样的关系
y = x3
x
y
O
y′ = 3x2
因为y′ = ，在(- ∞ ，0)和(0，+ ∞) 上， y′＞0，当x=0时， y′ =0，所以y = 在R上单调递增；
在(- ∞ ，0)上，当 越来越大时，y′越来越小，
函数 y = 递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.
在 (0，+ ∞) 上，当 越来越大时，y′越来越大，
函数 递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”.
函数值增减快慢与导数的关系
函数的图像 的变化规律 函数值变化规律 图像特点
越来越大 函数值增加得越来越快 越来越陡峭
越来越小 函数值增加得越来越慢 越来越平缓
越来越大 函数值减少得越来越快 越来越陡峭
越来越小 函数值减少得越来越慢 越来越平缓
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
例 4.生物学上的种群研究表明，很多物种的数量与时间的关系都存在下述规律：一开始，由于物种数量较少，因此物种数量的增加比较慢；随着物种数量的增加，又因为有大量的资源可以加以利用，物种数量的增加会越来越快；到了一定程度之后，因为资源有限，再加上物种内部的竞争开始变得激烈，物种数量的增加将减缓. 假设是时间的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示(1)(2)中，哪个能近似地表示上述规律？
（1）
x
t
O
快
慢
快
x
t
O
（2）
慢
快
慢
跟踪训练：如图，设有圆C和定点O，当l从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？
探究点2:含参函数的单调性
例 5.讨论函数的单调性，其中a为实常数.
解：根据题意，函数的定义域为，
又，
令，可得，
①当，即时， 恒成立，此时在上单调递增；
②当，即时， 的解为，
此时在上单调递减，在 )上单调递增.
y
x
O
①
y
x
O
②
跟踪训练：讨论函数的单调性，其中a为实常数.
解：根据题意，函数的定义域为R，
又，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当时，令，可得，
的解为;
的解为，
此时在上单调递减，在 )上单调递增.
y
x
O
【总结】
讨论含参函数单调性的步骤：
(1)确定函数的定义域（定义域优先）；
(2)求导数；
(3)求的根：①讨论有根、无根；
②讨论根是否在定义域内；
③讨论根的大小.
(4)在定义域内解不等式，（或找出的点，这些点将定义域分成若干个小区间，确定在各个小区间内的符号）；
(5)根据(3)的结果确定函数的单调区间.
探究点3:已知函数的单调性求参数范围
思考：观察函数 y = x3 及其导函数的图像，判断如果函数在区间上单调递增，那么在区间内必有吗？
y = x3
x
y
O
y′ = 3x2
y = 在R上单调递增
y′ = ，在(- ∞ ，0)和(0，+ ∞) 上， y′＞0，当x=0时， y′ =0.
如果函数在区间上单调递增，那么在此区间内 .
如果函数在区间上单调递增，那么在此区间内 .
例6：已知函数在区间(0,1)上单调递减，求a的范围.
解：
因为在区间(0,1)上单调递减，
显然
所以有恒成立
，
令,
分离参数
求最小值
导数与函数的性质
求含参函数的单调性
已知函数单调性求参数范围
导数与函数
的变化速度