6.2.2导数与函数的极值、最值（二） 课件(共13张PPT) 2023-2024学年高二数学同步讲义（人教B版2019选择性必修第三册）

(共13张PPT)
6.2.2 导数与函数的极值、最值（2）
喜马拉雅山脉是世界海拔最高的山脉，位于中国与尼泊尔之间，其主峰珠穆朗玛峰，海拔8844．43米，也是世界上最高的山峰！
吐鲁番盆地位于新疆维吾尔族自治区东部，是中国最低的洼地，盆底的艾丁湖湖面海拔-154.31米，是我国大陆的最低处.
在数学学习中，也有类似的情况.例如,函数的最值问题！函数的极值与最值有什么关系呢？
1.理解函数最值的定义 . （重点）
2.理解函数的最值与极值的关系. (难点）
3.会利用导数求函数的最值.(难点）
探究点1: 函数的最值的定义
已知函数，，其图象如图.
解析:
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
思考：观察图象，指出函数 在区间上的最大值、最小值.
最小值是.
最大值是，
函数的最值
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
一般地，设函数的定义域为I，如果存在 ,对于任意的，都有 ,
那么，称是函数的 .
一般地，设函数的定义域为I，如果存在,对于任意的 ，都有 ,
那么，称是函数的 .
最大值
最小值
探究点2: 函数最值的存在性
思考：分别观察下列函数图象，分析函数 在开区间上的最值情况.
o
x
y
a
b
y=f(x)
o
x
y
a
b
y=f(x)
o
x
y
a
b
y=f(x)
有最大值
无最小值
有最小值
无最大值
无最大值
无最小值
函数最值存在性定理
一般地，如果函数 在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线,
那么它在上必有 .
最大值与最小值
o
x
y
a
b
y=f(x)
探究点3: 可导函数的最值的求法
观察函数的图像，回忆函数最值的定义，回答下列问题：
思考1:图中所示函数的最值点与最值分别是多少？
x
y
y = f (x)
O
最大值点为2，最大值为3；
最小值点为0，最小值为-3.
最大值
最小值
思考2:图中所示函数的极值点与极值分别是多少？
极大值点为-2，极大值为2；
极小值点为0，极小值为-3.
思考3:一般的函数的最值与函数的极值有什么关系？怎样求可导函数的最值.
y
x
O
a
b
y=f(x)
x1
x2
x3
x4
① 一般地，如果函数的定义域内为且存在最值，函数在内可导，则函数的最值点一定是某个极值点；
②如果函数的定义域为且存在最值，函数在内可导，那么函数的最值点要么是区间端点或，要么是极值点.
利用导数求出区间内的极值，并与区间端点处函数值比较，即可确定.
例 1.已知,. 求的极值点以及极值、最值点以及最值.
解： .
解方程，可得或
解不等式，可得或此时递增，
解不等式可得此时递减.
因此， 在上递增，在上递减，在上递增
所以极大值为 ;极小值为.
由于端点值 ，
函数 的最大值点为1,最大值为 ，最小值点为0，
最小值为 0.
【总结】
求函数 在区间 上的最值的步骤如下：
求函数 在区间 上的极值；
2.将函数 的各极值与端点处的函数值 、 比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
解:
经比较可知在区间 上,
跟踪训练：
求函数在区间上的最值.
当变化时，与的变化情况如下表：
极大值4
极小值3
1.函数最值的定义.
2.求可导函数y=f (x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（1）求f (x)在开区间(a,b)内所有使f′ (x)=0的点；
（2）计算函数f (x)在区间内使f′ (x)=0的所有点
和端点的函数值f (a)、 f (b);
本节课学习了哪些知识