6.3利用导数解决实际问题 课件(共14张PPT)2023-2024学年高二数学同步讲义（人教B版2019选择性必修第三册）

(共14张PPT)
6.3 利用导数解决实际问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、
效率最高等问题，这些问题通常称为 ．
最优化问题
例如:圆柱形饮料罐的容积一定，如何确定其高与底半径,才能使它的用料最省？
1.理解导数在解决实际问题中的作用. （重点）
2.能利用导数知识解决实际中的最优化问题. (难点）
3.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.
(难点）
情境：如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=1.2 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
海
陆
思考：分别计算下列两种算法的铺设成本.
(1)先沿AC铺设，再沿CB铺设；
(2)直接沿着线段AB铺设.
海
陆
解：(1) 成本为万元.
(2)
所以直接沿线段AB铺设，成本为 2×50=100万元.
还有其他方案吗？
在岸上取一点D，设其距离C的距离为，则
，
.
设先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元，
则1.6
因此，当 时，
海
陆
令 可解得
可知在上递减，在上递增，从而在时取得最小值，而且最小值为
1.6
最少花费是96万元.
应用题解题的一般思路：
数学问题
实际问题
数学问题的结论
实际问题的结论
数
学
解
答
数学化
检验
回到实际问题
问
题
解
决
例 1.如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300km，现有一批药品要尽快送达海岛码头，已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的时速为130km，快艇时速为50km. 试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？
解：设点C与点B的距离为km，运输时间为T()h，则
.
因为 ，
令可解得.
因此可知在上递减，在上递增，
从而在最小值.
这就是说，点C选在离点B点为时可使运输时间最短.
例 2.如图所示，先有一块边长为1.2 m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相同的小正方形，然后做成一个长方形的无盖容器，则容器的容积V m3 立方是截下的小正方形边长x m的函数.
(1)写出函数解析式；
(2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？
解：(1)根据题意可知，容器底面的边长为(1.2m，高为m ，于是
又因为显然的长度必须小于原有正方形铁板的一半，因此，
所以.
解：(2)由题意有
.
令可解得
因此可知在上递增，在上递减，
故在时取得极大值，而且在此时取得最大值.
即截去的正方形边长为m时，容器的容积最大.
例 3.某种退烧药能够降低的温度R是血液中该药含量M的函数，而且
其中C是一个常数，试求这种退烧药在血液中的含量M为多少时，能够降低的温度最大.
解：因为
所以由可解得
因此可知在上递增，在上递减.
故R在时取得极大值，而且此时取得最大值.
例 4.已知某种工艺品总成本C元是产量Q件的函数，且
将Q看成能取区间[1, 30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件
产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？
解：记平均成本为元，则
因为时，有 ，
令，可解得.
因此可知在[1, 10]上递减，在[10, 30]上递增，
从而在时取得极小值，而且在此时取得最小值
=
即当月产量为10件，每件产品的平均成本最低，最低为400元.
1.最优化问题.
2.应用题解题的一般思路：
数学问题
实际问题
数学问题的结论
实际问题的结论
数
学
解
答
数学化
检验
回到实际问题
问
题
解
决
本节课学习了哪些知识