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第十一章《三角形》章检测卷
一．选择题（共10小题）
1．下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
2．如图，小丽画了一个三角形，不小心被墨水污染了，只剩下一个角（锐角）．小丽画的三角形可能是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【思路点拔】根据此三角形只知道一个角为锐角，所以其他角可能有钝角或直角也可能都是锐角，进而得出小丽画的三角形可能的形状即可．
【解答】解：∵此三角形只知道一个角为锐角，其他角可能有钝角或直角也可能是都是锐角，
∴三角形可能为：A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形都有可能．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及三角形形状的判定方法，正确得出三角形内角可能的取值是解决问题的关键．
3．一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
【思路点拔】设这个多边形是n边形，就可以列出方程（n﹣2） 180°＝1260°，即可解得n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2） 180°＝1260°，
解得n＝9，
则这个多边形是九边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°是解答本题的关键．
4．用一根小木棒与两根长分别为4cm，7cm的小木棒拼成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【思路点拔】根据三角形三边关系可进行求解．
【解答】解：设这根小木棒的长度为x cm，
由题意得：7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11；
∴这根小木棒的长度可以为4cm；
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
5．下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
B．边数为n的多边形内角和是（n﹣2）×180°
C．两锐角互余的三角形是直角三角形
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【思路点拔】根据三角形的性质求解即可．
【解答】解：A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不符合题意；
B．边数为n的多边形内角和是（n﹣2）×180°，说法正确，不符合题意；
C．两锐角互余的三角形是直角三角形，说法正确，不符合题意；
D．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，说法错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的性质，多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握三角形的性质．
6．如图，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝3cm，BC＝8cm，CE＝6cm，则AD的长为（ ）
A．cm B．3cm C．cm D．4cm
【思路点拔】利用面积法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABC的面积BC ADAB CE，
∴BC AD＝AB CE，
∴8AD＝3×6，
∴AD，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握面积法是解题的关键．
7．如图，一艘货船在A处，巡逻艇C在其南偏西60°的方向上，此时一艘客船在B处，艇C在其南偏西20°的方向上，则此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是（ ）
A．80° B．60° C．40° D．30°
【思路点拔】将轮船航行的实际问题转化为方向角的问题解答．
【解答】解：从图中我们可以发现∠ACB＝60°﹣20°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了方位角，解答此类题需要认清方位角，再结合三角形的内角与外角的关系求解．
8．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6，下列结论错误的是（ ）
A．CO是△BCD的高 B．∠5＝30°
C．∠ABC＝100° D．DO＝OB
【思路点拔】根据等腰三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在△BDC中，∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，
∴CO⊥DB，
∴CO是△BCD的高；故A选项不符合题意；
∵CO⊥DB，
∴∠5＝90°﹣∠4＝90°﹣60°＝30°故B选项不符合题意；
∵∠1＝∠2，
∴CD＝BC，
∵OC⊥BD，
∴OD＝OB，故D选项不符合题意；
∵∠CDA＝∠1+∠4＝45°+60°＝105°，
∵∠5＝∠6＝30°
∴∠DAB＝∠5+∠6＝30°+30°＝60°，
∴∠ABC＝105°，故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和．
9．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【思路点拔】如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数．
【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（ ）
A．α+β B．α+2β C．2α+β D．
【思路点拔】由折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，再由邻补角的定义可得∠ADF＝180°﹣β，从而可求得∠ADE＝90°，由三角形的内角和可求∠AED，从而可求得∠AEF，再由邻补角的定义即可求∠FEC的度数．
【解答】解：由折叠可得：∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF，
∵∠FDB＝β，
∴∠ADF＝180°﹣∠EDB＝180°﹣β，
∴∠ADE（360°﹣∠ADF）＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝90°α，
∴∠AEF＝∠AED+∠DEF＝2∠AED＝180°﹣2α﹣β，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝2α+β．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
二．填空题（共5小题）
11．从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则m+n＝ ．
【思路点拔】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．
【解答】解：从a边形的一个顶点出发可以引（a﹣3）条对角线，这些对角线将这个多边形分成（a﹣2）个三角形，
∴从十边形的一个顶点出发可以引7条对角线，这些对角线将十边形分成8个三角形，
∴m＝7，n＝8，
∴m+n＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了多边形的对角线．明确从n边形的一个顶点出发可以引（n﹣3）条对角线，这些对角线将这个多边形分成（n﹣2）个三角形是解题的关键．
12．已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．则这个等腰三角形的周长为 ．
【思路点拔】利用非负数的性质可求得a、b的值，分腰长为3或7两种情况进行计算．
【解答】解：∵|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣7＝0，
解得a＝3，b＝7，
当腰长为3时，
此时三角形的三边为3、3、7，不满足三角形三边关系；
当腰长为7时，
此时三角形的三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3＝17；
综上可知，等此三角形的周长为17，
故答案为：17．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝72°，∠B＝70°，AD是BC边上的高，DE∥AC，则∠ADE的度数为 ．
【思路点拔】由三角形的内角和定理可求得∠C＝38°，再由AD是BC边上的高，可求得∠DAC＝52°，利用平行线的性质即可求得∠ADE＝∠DAC＝52°．
【解答】解：∵∠BAC＝72°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝38°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝52°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝52°，
故答案为：52°．
【点评】本题考查三角形内角和定理的综合问题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及平行线的性质，本题属于基础题型．
14．具备下列条件之一：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A∠B∠C；⑤∠A＝∠B∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件序号有 ．
【思路点拔】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义解答即可．
【解答】解：①∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x，
由三角形内角和定理得，x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
∠C＝3x＝90°，即△ABC为直角三角形；
③∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴．
解得，∠A＝（）°，三角形不是直角三角形；
④∵，
∴∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，
由三角形内角和定理得，∠A+2∠A+3∠A＝180°，
解得，∠A＝30°，
∴∠C＝3∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；
⑤∵，
∴由三角形内角和定理得，∠C∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝90°，即△ABC是直角三角形；
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
15．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝ ．
【思路点拔】根据多边形的内角和，分别得出∠ABE＝∠BEF＝135°，∠DCE＝∠CEG＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BEC，得出∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC即可．
【解答】解：由多边形的内角和可得，
∠ABE＝∠BEF，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°，
∵∠DCE＝∠CEG，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°，
由三角形的内角和得：
∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠FEG＝360°﹣∠BEF﹣∠CEG﹣∠BEC
＝360°﹣135°﹣120°﹣75°
＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．一个多边形的外角和与它的内角和的比是2：9，求这个多边形的边数．
【思路点拔】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和360°，列式计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴多边形的内角和是180°（n﹣2），
又∴多边形的外角和是360°，
∴，
解得n＝11，
经检验n＝11符合题意，
∴这个多边形的边数是11．
【点评】本题考查了多边形的内角和、外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和计算公式，外角和360°．
17．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴△ABC周长为11或12或13．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
18．如图，在△ABC中，AD是△AEC的角平分线．
（1）画BC边上的高AE；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝28°，∠BCA＝120°，求∠DAE的度数．
【思路点拔】（1）过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，可得AE是BC边上的高；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝32°，由角平分线定义得∠CAD＝16°，由三角形外角的性质得出∠CAE＝30°，从而可得结论．
【解答】解：（1）如图，AE即为所求．
（2）在△ABC中，∠B＝28°，∠BCA＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝32°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∵∠BCA是△ACE的外角，
∴∠CAE＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝46°．
【点评】本题考查了角平分线的性质，高线的性质及三角形的内角和定理．由题意得到角间关系是解决本题的关键．
19．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和32°．检验工人量得∠BDC＝148°．就断定这个零件不合格，这是为什么？
【思路点拔】延长CD交AB于点E，根据邻补角求出∠BDE＝32°，利用三角形外角性质求得∠AEC＝53°，利用三角形内角和求得∠A＝95°，所以这个零件是不合格产品．
【解答】解：延长CD交AB于点E，
因为工人量得∠BDC＝148°，
所以∠BDE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣148°＝32°，
又因为已知∠B＝21°，
所以∠AEC＝32°+21°＝53°，
因为∠C＝32°，
所以∠A＝180°﹣32°﹣53°＝95°≠90°，
所以零件不合格．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长．
【思路点拔】根据三角形的中线的概念得到CD＝BD，根据三角形的周长公式、结合题意计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，
∴CD＝BD，
∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，
∴（AC+CD+AD）﹣（AB+CD+AD）＝3cm，
∴AC﹣AB＝3cm，
∵AB+AC＝11cm，
∴AB＝4cm，AC＝7cm，即AC的长度是7cm．
【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
21．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．
试说明：AC+BD（AB+BC+CD+DA）．
【思路点拔】根据三角形的三边关系得到AO+BO＞AB，CO+BO＞BC，CO+DO＞CD，AO+DO＞DA，把四式子相加，并根据线段的和差化简即可证得结论．
【解答】证明：在△AOB中，AO+BO＞AB①，
在△BOC中，CO+BO＞BC②，
在△COD中，CO+DO＞CD③，
在△AOD中，AO+DO＞DA④，
①+②+③+④得：2（AO+CO+BO+DO）＞AB+BC+CD+DA，
∴2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
∴AC+BD（AB+BC+CD+DA）．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．
22．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，∠C＞∠B，且FD⊥BC于点D．
（1）试推出∠EFD，∠B，∠C的关系；
（2）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【思路点拔】（1）在△EFD中，由三角形的外角性质知：∠FED＝∠B∠BAC，所以∠B∠BAC+∠EFD＝90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EFD，∠B，∠C的关系．
（2）思路和解法与（1）完全相同．
【解答】解：（1）∠EFD∠C∠B，理由如下：
由三角形的外角性质知：∠FED＝∠B∠BAC，
故∠B∠BAC+∠EFD＝90°；①
△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠B+∠BAC+∠C＝180°，
即：∠C∠B∠BAC＝90°，②
②﹣①，得：
∠EFD∠C∠B．
（2）成立．理由与（1）相同
由三角形的外角性质知：∠FED＝∠B∠BAC，
故∠B∠BAC+∠EFD＝90°；①
△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠B+∠BAC+∠C＝180°，
即：∠C∠B∠BAC＝90°，②
②﹣①，得：
∠EFD∠C∠B．
【点评】此题考查三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和和三角形的外角性质以及角平分线的定义解答．
23．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为 °；
（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．
请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：
图2 图3 图4
∠C的度数 90°
∠C的伴随角∠APB的度数
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想： ；
（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．
【思路点拔】（1）由三角形外角的性质可知∠APB∠BAC＝∠1（∠BAC+∠C）150°＝75°，然后求得即可；
（2）根据测量结果直接得出即可；
（3）根据三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图1，
在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠1（∠BAC+∠C）150°＝75°，
∵∠1＝∠APB∠BAC，
∴75°＝∠APB+30°，
∴∠APB＝45°，
故答案为45；
（2） 图2 图3 图4
∠C的度数 90° 80° 120°
∠C的伴随角∠APB的度数 45° 40° 60°
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：
∠APB∠C；
（3）证明：如图3，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP∠BAC．
又∵BE平分∠ABD，
∴∠1∠ABD，
∵∠APB＝∠1﹣∠BAP，
∴∠APB∠ABD∠BAC，
∴∠APB（∠ABD﹣∠BAC）．
∴∠APB∠C．
【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．中小学教育资源及组卷应用平台
第十一章《三角形》章检测卷
一．选择题（共10小题）
1．下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，小丽画了一个三角形，不小心被墨水污染了，只剩下一个角（锐角）．小丽画的三角形可能是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
3．一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形是（ ）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
4．用一根小木棒与两根长分别为4cm，7cm的小木棒拼成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
5．下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
B．边数为n的多边形内角和是（n﹣2）×180°
C．两锐角互余的三角形是直角三角形
D．三角形的一个外角大于任何一个内角
6．如图，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝3cm，BC＝8cm，CE＝6cm，则AD的长为（ ）
A．cm B．3cm C．cm D．4cm
7．如图，一艘货船在A处，巡逻艇C在其南偏西60°的方向上，此时一艘客船在B处，艇C在其南偏西20°的方向上，则此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是（ ）
A．80° B．60° C．40° D．30°
8．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6，下列结论错误的是（ ）
A．CO是△BCD的高 B．∠5＝30°
C．∠ABC＝100° D．DO＝OB
9．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，若∠A＝α，∠FDB＝β，则∠FEC的度数是（ ）
A．α+β B．α+2β C．2α+β D．
二．填空题（共5小题）
11．从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则m+n＝ ．
12．已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0．则这个等腰三角形的周长为 ．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝72°，∠B＝70°，AD是BC边上的高，DE∥AC，则∠ADE的度数为 ．
14．具备下列条件之一：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A∠B∠C；⑤∠A＝∠B∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件序号有 ．
15．将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则∠FEG＝ ．
三．解答题（共8小题）
16．一个多边形的外角和与它的内角和的比是2：9，求这个多边形的边数．
17．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
18．如图，在△ABC中，AD是△AEC的角平分线．
（1）画BC边上的高AE；
（2）在（1）的条件下，若∠B＝28°，∠BCA＝120°，求∠DAE的度数．
19．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和32°．检验工人量得∠BDC＝148°．就断定这个零件不合格，这是为什么？
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长．
21．已知：如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．
试说明：AC+BD（AB+BC+CD+DA）．
22．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，∠C＞∠B，且FD⊥BC于点D．
（1）试推出∠EFD，∠B，∠C的关系；
（2）如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
23．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为 °；
（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．
请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：
图2 图3 图4
∠C的度数 90°
∠C的伴随角∠APB的度数
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想： ；
（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．
