2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年甘肃省白银市靖远一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.若棱长为的正方体的内切球的表面积为，则( )
A. B. C. D.
3.不透明的口袋中装有个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有个，从口袋中摸出一个球，若摸出白球的概率是，则摸出黑球的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知为坐标原点，，，，若为直线上一动点，当取最小值时，( )
A. B. C. D.
5.某湖中有一小岛，沿湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路处测得小岛在南偏西的方向上，汽车行驶公里到达处后，又测得小岛在南偏西的方向上，如图所示，则小岛到公路的距离为( )
A. 公里
B. 公里
C. 公里
D. 公里
6.已知外接圆的圆心为，半径为设点到边，，的距离分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，平面，，若，，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，，若，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，所对的边分别是，，，则( )
A. 若，则
B. 若是单位圆的内接三角形，则
C. 若，则
D. 若，则是锐角三角形
10.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则下列结论正确的是( )
A. 该选手闯过第一关的概率为 B. 该选手单独闯过第二关的概率为
C. 该选手能进入第三关的概率为 D. 该选手能进入第三关的概率为
11.如图，在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体，在这个过程中，下列结论正确的是( )
A. 在四面体中，当时，
B. 四面体的体积的最大值为
C. 在四面体中，与平面所成的角可能为
D. 四面体的外接球的半径为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，设，的夹角为，则的最小值为______．
13.已知，当时的零点为______．
14.如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，是棱的中点，设平面，经过直线，且平面，平面，若平面，则异面直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为．
当时，求的单调递减区间；
将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
16.本小题分
由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某个闯关游戏，第一关解密码锁，个人依次进行，每人必须在分钟内完成，否则派下一个人个人中只要有一人能解开密码锁，该团队就能进入下一关，否则淘汰出局根据以往次的测试，获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图，分别如图、图所示．
若甲解开密码锁所需时间的中位数为，求，的值，并分别求出甲、乙在分钟内解开密码锁的频率；
若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在分钟内解开密码锁的概率为，各人是否解开密码锁相互独立，求该团队能进入下一关的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点为上一点，且，点为中点．
Ⅰ若，证明：直线平面；
Ⅱ是否存在一个常数，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，设中的角，，所对的边是，，，为的角平分线，已知，，，点，分别为边，上的动点，线段交于点，且的面积是面积的一半．
求边的长度；
当时，求的面积．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若，又以，，为边长的三个正三角形的面积分别为，，，且．
求角的大小；
求的面积；
若，求的周长．
参考答案
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15.解：由题意可得：函数
为奇函数，，，．
相邻两对称轴间的距离为，，．
令，求得，故函数的减区间为，．
结合，可得的单调递减区间为
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，
当时， ，此时，，求函数
16.解：因为甲解开密码锁所需时间的中位数为，
所以，，
解得，．
由直方图可知甲在分钟内解开密码锁的频率；
乙在分钟内解开密码锁的频率．
由及条件知，甲在分钟内解开密码锁的概率是，乙是，丙是，且各人是否解开密码锁相互独立．
记“团队能进入下一关”为事件，“不能进入下一关”为事件，
则，
所以该团队能进入下一关的概率．
17.证明：Ⅰ作，交于，
点为的中点，，
，，
又，
四边形为平行四边形，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
直线平面．
解：Ⅱ存在一个常数，使得平面平面，
要使平面平面，只需，
此时，，
，
又平面，平面，
平面，平面平面，
．
18.解：由，
得，
因为，
所以；
因为为的角平分线，
所以，
所以，，
又，
所以，
即，
得，
因为，
又，，
所以；
设，，，
因为的面积是面积的一半，
所以，
所以，
，
由，得，
因为，，三点共线，
所以，
即，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
由解得，，
所以，此时点与点重合；
因为，
所以，
所以；
由，得，
所以．
19.解：因为由正弦定理可得为外接圆半径，
可得，，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
又
所以；
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以；
由题意，，
所以，
由代入得，，
所以，
又因为，
所以，即，
于是的周长为．
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