2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：解直角三角形
三角函数的基本概念：
例1.已知是锐角，且，则( )
A. B. C. D.21·cn·jy·com
变式训练1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cos A等于( )
A． B． C． D．
变式训练2．已知α为锐角，且tan (90°－α)＝，则α的度数为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
变式训练3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )
A． B． C． D．
变式训练4等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶，则顶角为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
变式训练5．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为( )．www.21-cn-jy.com
A．5 m B．2 m C．4 m D． m
解直角三角形的应用：
例2.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：， ，
变式训练：如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？ 21教育网
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）
例3.如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F。 （1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若 AC=3AE，求
变式训练：如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．
例4.如图，是吊车在吊一物品时示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）？（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17,cos10°＝sin80°＝0.98,sin20°＝cos70°＝0.3 ,tan70°＝2.75,sin70°＝0.94） 21世纪教育网版权所有
变式训练：如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。
求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。
备用数据：，
例5.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．
变式训练：如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）21cnjy.com
2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：解直角三角形答案
三角函数的基本概念：
例1.已知是锐角，且，则( )
A. B. C. D.21教育网
变式训练1．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cos A等于( )
A． B． C． D．
解析：由于∠C＝90°，由∠B＝2∠A可知∠A＝30°，所以cos A＝，故本题选择A
变式训练2．已知α为锐角，且tan (90°－α)＝，则α的度数为( )
A．30° B．60° C．45° D．75°
解析：∵tan (90°－α)＝，∴90°－α＝60°.∴α＝30°.故本题选择A．
变式训练3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )
A． B． C． D．
解析：构建如图所示的直角三角形，
即获得：故选择C
变式训练4等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶，则顶角为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：如图，通过作高将等腰三角形转化为两个直角三角形，
设BC=2，AD=，则BD=1.
在Rt△ABD中，an ∠BAD=.
∴∠BAD=30°.∴∠BAC=60°.故本题选A
变式训练5．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为( )．21cnjy.com
A．5 m B．2 m C．4 m D． m
解析：由坡度i＝1∶2，设竖直高度为x m，则水平距离为2x m，
根据勾股定理得x2＋(2x)2＝102，解得x＝2.故本题选择B
解直角三角形的应用：
例2.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：， ，
解析：作AD⊥CB延长线于点D，根据
Rt△ACD中∠ABD的正切值得出CD=AD；
根据Rt△ABD中∠ABD的正切值得出BD=AD，
根据BC=CD－DB=100求出AD的长度.
试题解析：如图，作AD⊥CB延长线于点D
由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45° 在Rt△ACD中，
∠ACD=35°
所以，在Rt△ABD中，∠ABD=45° 所以由题 所以 解得m
答：热气球到地面的距离约为233米
变式训练：如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？ 21·cn·jy·com
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）
解：在Rt△ABD中，tan∠ADC=tan64°=，
CD= ①
在Rt△ABE中tan∠ABE=tan53°=
BE=AB ②
BE=CD，得
解得AB=70cm，
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm．
例3.如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F。 （1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若 AC=3AE，求
解析：（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC，
∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC，
∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵AB是直径， ∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE， ∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=
在Rt△BEC中，tanC=
变式训练：如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．
（1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，∴FG=AF×sinA=9×=
（3）解：过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=3，DH=BH=3．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=AF=，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，
∴tan∠GDH=，∴tan∠FGD=tan∠GDH=
例4.如图，是吊车在吊一物品时示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）？（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17,cos10°＝sin80°＝0.98,sin20°＝cos70°＝0.3 ,tan70°＝2.75,sin70°＝0.94）
解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD=2，BC=4
∠BCH =30°，∠ABC=,80°，∠ACE=70°
∵∠BCH+∠ACB+∠ACE=180°
∴∠ACB=80°
∵∠ABC=80°
∴∠ABC=∠ACB
∴AC=BC=4
过点A作AM⊥BC于M，
∴CM=BM=2
∵在Rt△ACM中，CM=2，∠ACB=80°
∴∠ACB=
∴AC＝
∵在Rt△ACE中，AC＝，∠ACE=70°
∴∠ACE=
∴AE＝≈11.1
故可得点A到地面的距离为13.1米
变式训练：如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°。
求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）。
备用数据：，
解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°﹣60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE﹣BE=6米，
则x﹣x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE﹣QE=9+3﹣（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
例5.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC=1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=，升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．
解：作DG⊥AE于G，则∠BDG=α，
易知四边形DCEG为矩形．
∴DG=CE=35m，EG=DC=1.6m
在直角三角形BDG中，BG=DG?×tanα=35×=15m，
∴BE=15+1.6=16.6m．
∵斜坡FC的坡比为iFC=1：10，CE=35m，
∴EF=35×=3.5，
∵AF=1，
∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5，
∴AB=BE﹣AE=16.6﹣4.5=12.1m．
答：旗杆AB的高度为12.1m．
变式训练：如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）21世纪教育网版权所有
解：作CE⊥AB于E，
依题意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°，
设CE=x，则BE=x，
Rt△ACE中，tan30°=
整理得出：3x=1464+x，
解得：x=732（）≈2000米，
2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：解直角三角形作业
选择题：
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )
A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定
2．如图所示，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan B＝，AC边上有一点E满足AE：EC＝2：3，那么tan∠ADE的值是( )21·世纪*教育网
A. B． C. D．
3.如图所示．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC=2，AB＝2，设∠BCD＝，则cos的值为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C. D．
4.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=( )
A.45 B.5 C. D.
5.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )
A. B. C. D.
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB∶AC＝2∶1，则∠A的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sin A的是( ) A． B． C． D．2·1·c·n·j·y
8.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A. 5 B. C. 7 D.
9.如图，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
10.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）21cnjy.com
A．9m B．6m C．m D．m
二．填空题：
11．=
12．在直角坐标系中，点P(4，y)在第一象限内，且OP与x轴的正半轴的夹角为60°，则y的值是__________21教育网
13..等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________
14.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=
在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为 m．
如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 海里（结果精确到个位，参考数据：，，）【来源：21·世纪·教育·网】
17.在平面直角坐标系中,已知一次函数的图像经过点P（1,1）,与轴交于点A,与轴交于点B,且∠ABO=3,那么A点的坐标是 .www-2-1-cnjy-com
18如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AD=AC=9，DE⊥CD交BC于点E，tan∠DCB=，则BE= ．www.21-cn-jy.com
19.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=，则CD=_________21·cn·jy·com
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC= 2-1-c-n-j-y
三．解答题：
21.已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400
米到D处（即，米），测得A的仰角为，求山的高度AB．
一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？ 21*cnjy*com
23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。（1）求斜坡AB的水平宽度BC； 21世纪教育网版权所有
（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。（，结果精确到0.1m）
24.如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∥MN，EG距MN的高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）
25.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
2015学年浙教版九下数学期末总复习学案：解直角三角形作业答案
选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
B
C
D
A
B
B
二．填空题：
11. 12. 13. 15°或75° 14. 15. 2.3
三．解答题：
21.解:如图，作于E，于F，
在Rt△CDF中， ∠，CD=400米，
所以（米）
（米）
在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米，
则（米）
在矩形DEBF中，BE=DF=200米，
在Rt△ACB中， ，
即：，
∴ ， ∴(米)
22.解：由左图可知：BE⊥DC， m，.
在Rt△BEC中，（m）
由勾股定理得， m
在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形ABCD的面积＝梯形的面积．21世纪教育网版权所有
，
解得＝80（m）
∴ 改造后坡面的坡度
23.解析：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，
∴BC=4×2=8m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．
∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，
∴∠GDH=∠SBH，
∵DG=EF=2m， ∴GH=1m，
∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5－1）=5m，
设HS=xm，则BS=2xm，
m
24.解：作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如图2，FH=42cm，
在Rt△BFH中，∵sin∠FBH=，，
∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3（cm）；
在Rt△BDQ中，
在Rt△ADQ中，∵tan∠DAQ=，
∵BQ+AQ=AB=43，
，解得DQ≈56.999，
在Rt△ADQ中，∵sin∠DAQ=
（cm）
答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．
25.解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
