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第2课时 配方法(2)
提优目标：1.会用配方法解一元二次方程.
2.会用配方法判别二次三项式的值的范围及有关的数学问题.
基础巩固
1．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
3．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
5．若一元二次方程x2﹣ax+b＝0配方后为（x﹣2）2＝1，则ab＝ ．
6．用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0；
（2）2x2+1＝3x；
（3）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
思维拓展
7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
8．一元二次方程x2+px+q＝0在用配方法配成（x+m）2＝n时，下面正确的是（ ）
A．m是p的一半 B．m是p的一半的平方
C．m是p的2倍 D．m是p的一半的相反数
9．若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 ．
10．阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 ．（根用i表示）．
11．用配方法证明：
（1）不论x为任何实数，代数式﹣x2+6x﹣10的值恒小于零；
（2）不论x为任何实数，代数式2x2﹣6x+9的值恒大于零．
12．已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．
13．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0．
小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为：
“①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3； ⑥x1＝4，x2＝﹣2．”
（1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根）
延伸探究
14．简读以下材料并解决问题：
①若a﹣b≥0，则a≥b；若a﹣b≤0，则a≤b．
②∵x2+6x+10＝（x+3）2+1∴x2+6x+10有最小值1
③∵2x2﹣8x﹣1＝2（x﹣2）2﹣9∴2x2﹣8x﹣1有最小值﹣9
（1）已知P＝2x2﹣4x﹣1，Q＝x2﹣6x﹣6，比较P与Q的大小．
（2）设x、y为实数，求式子4x2﹣2xy+y2﹣12x+13的最小值．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 配方法(2)
提优目标：1.会用配方法解一元二次方程.
2.会用配方法判别二次三项式的值的范围及有关的数学问题.
基础巩固
1．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
【思维点拔】根据等式的性质可判断第②步出现错误．
【解答】解：x2﹣4x＝1，
方程两边加4得到x2﹣4x+4＝4+1，
所以第②步出现错误．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
【思维点拔】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【思维点拔】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x，
则x2+2x+1，即（x+1）2，
∴a＝1，b，
∴a+b．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
【思维点拔】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．
5．若一元二次方程x2﹣ax+b＝0配方后为（x﹣2）2＝1，则ab＝ ．
【思维点拔】将（x﹣2）2＝1展开后，利用待定系数法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣2）2＝1，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴a＝4，b＝3，
∴ab＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6．用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0；
（2）2x2+1＝3x；
（3）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
【思维点拔】各方程整理后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）原方程可化为x2x，
∴x2x，即（x）2，
∴x±，
∴x1，x2；
（2）原方程可化为x2x，
∴x2x，即（x）2，
∴x±，
∴x1＝1，x2；
（3）原方程可化为x2x＝﹣1，
∴x2x，即（x）2，
∴x±，
∴x1＝2，x2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
思维拓展
7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．3
【思维点拔】根据完全平方式的特征对x2+6x+c＝0配方可得（x+3）2﹣9+c＝0，通过变形可得c的值．
【解答】解：∵对x2+6x+c＝0配方可得到（x+3）2﹣9+c＝0，
∴（x+3）2﹣9+c＝0变形可得（x+3）2＝﹣c+9，
∴﹣c+9＝2c，
∴c＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式和一元二次方程的综合运用，熟练完全平方式的配方是解题的关键．
8．一元二次方程x2+px+q＝0在用配方法配成（x+m）2＝n时，下面正确的是（ ）
A．m是p的一半 B．m是p的一半的平方
C．m是p的2倍 D．m是p的一半的相反数
【思维点拔】把（x+m）2＝n化成一般式即可判断．
【解答】解：（x+m）2＝n化为x2+2m+m2﹣n＝0，
∴p＝2m，
∴mp，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
9．若方程x2﹣4096576＝0的两根为x1＝2024，x2＝﹣2024，则方程x2﹣2x﹣4096575＝0的两根为 ．
【思维点拔】利用配方法、结合题目给出的方程的两根解出方程．
【解答】解：x2﹣2x﹣4096575＝0，
则x2﹣2x＝4096575，
∴x2﹣2x+1＝4096575+1，
∴（x﹣1）2＝4096576，
∴x﹣1＝±2024，
∴x1＝2025，x2＝﹣2023，
故答案为：x1＝2025，x2＝﹣2023．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
10．阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 ．（根用i表示）．
【思维点拔】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣2x＝﹣2，
配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1，
开方得：x﹣1＝±i，
解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i．
故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
11．用配方法证明：
（1）不论x为任何实数，代数式﹣x2+6x﹣10的值恒小于零；
（2）不论x为任何实数，代数式2x2﹣6x+9的值恒大于零．
【思维点拔】依据题意，利用完全平方公式把运算变形，根据偶次方的非负性判断即可．
【解答】证明：（1）﹣x2+6x﹣10
＝﹣（x2﹣6x）﹣10
＝﹣（x2﹣6x+9）﹣1
＝﹣（x﹣3）2﹣1，
∵（x﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2﹣1＜0，
∴代数式﹣x2+6x﹣10的值恒小于零．
（2）2x2﹣6x+9
＝2（x2﹣3x）
＝2（x）2，
∵2（x）2为非负数，
∴2（x）2为正数，
∴无论x取何值时，代数式2x2﹣6x+9的值恒大于零．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
12．已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．
【思维点拔】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可．
【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，
∴最小整数解为﹣2，
将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，
配方，得（x﹣2）2＝5．
直接开平方，得x﹣2＝±．
解得x1＝2，x2＝2．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
13．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0．
小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为：
“①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3； ⑥x1＝4，x2＝﹣2．”
（1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根）
【思维点拔】（1）根据移项要变号可知第⑤步错误；
（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）小静的解法是从第⑤步骤开始出现错误，正确解法如下：
∵x2+2x﹣8＝0，
∴x2+2x＝8，
∴x2+2x+1＝8+1，即（x+1）2＝9，
则x+1＝±3，
∴x＝﹣1±3，
∴x1＝2，x2＝﹣4；
（2）∵x2+2nx﹣8n2＝0，
∴x2+2nx＝8n2，
∴x2+2nx+n2＝8n2+n2，
∴（x+n）2＝9n2，
∴x+n＝±3n，
∴x1＝2n x2＝﹣4n．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
延伸探究
14．简读以下材料并解决问题：
①若a﹣b≥0，则a≥b；若a﹣b≤0，则a≤b．
②∵x2+6x+10＝（x+3）2+1∴x2+6x+10有最小值1
③∵2x2﹣8x﹣1＝2（x﹣2）2﹣9∴2x2﹣8x﹣1有最小值﹣9
（1）已知P＝2x2﹣4x﹣1，Q＝x2﹣6x﹣6，比较P与Q的大小．
（2）设x、y为实数，求式子4x2﹣2xy+y2﹣12x+13的最小值．
【思维点拔】（1）利用作差法比较大小．
（2）利用配方法进行解答．
【解答】解：（1）∵P＝2x2﹣4x﹣1，Q＝x2﹣6x﹣6，
∴P﹣Q＝（2x2﹣4x﹣1）﹣（x2﹣6x﹣6）＝x2+2x+5＝（x+1）2+4＞0，
∴P＞Q；
（2）∵4x2﹣2xy+y2﹣12x+13
＝x2﹣2xy+y2+3x2﹣12x+12+1
＝（x﹣y）2+3（x﹣2）2+1，
∴式子4x2﹣2xy+y2﹣12x+13的最小值是1．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式加减．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．
（1）求∠DCE的度数．
（2）设BC＝a，AC＝b．
①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根吗？说明理由．
②若D为AE的中点，求的值．
【思维点拔】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案；
（2）①直接利用勾股定理得出AB的长，再利用配方法解方程得出答案；
②直接利用勾股定理得出等式求出答案．
【解答】解：（1）∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE﹣∠DCE＝90°，
又∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，
则90°+2∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝45°．
（2）①线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根．
理由如下：
由勾股定理得：，
∴
解关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0，（x+b）2＝a2+b2，
得，
∴线段BE的长是关于x的方程x2+2bx﹣a2＝0的一个根；
②∵D为AE的中点，
∴，
由勾股定理得：，
则b2﹣ab＝0，故b﹣a＝0，
整理得：．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次方程的解等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质及勾股定理．
